北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 必修必修5不等式不等式第三章第三章本章本章归纳总结第三章第三章专专 题题 研研 究究3知知 识识 结结 构构 1知知 识识 整整 合合2知知 识识 结结 构构知知 识识 整整 合合一、不等关系1不等关系体现在日常生活中的方方面面，在数学意义上，不等关系可以体现：(1)常量与常量之间的不等关系；(2)变量与变量之间的不等关系；(3)函数与函数之间的不等关系；(4)一组变量之间的不等关系2实数比较大小的方法：作差法(1)ab0ab；(2)ab0ab；(3)ab0a0时，解形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)的一元二次不等式，一般可分为三步：确定方程ax2bxc0的解；画出对应函数yax2bxc的简图；借助于图像的直观性写出不等式的解集(2)特别地，若a0(或0时，若相应一元二次方程的判别式0，则求两根或分解因式，根据“大于在两边，小于夹中间”写出解；若0或0用数轴标根法(或称区间法、穿根法)求解，其步骤是：将f(x)的最高次项的系数化为正数；将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次用曲线把每个根串联起来；根据曲线呈现出f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集；奇次根依次穿过，偶次根穿而不过2利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值，利用均值不等式求最值常见的有：已知某些变量(正数)的积为定值，求和的最小值已知某些变量(正数)的和为定值，求积的最大值(2)利用基本不等式应注意的问题：各数(或式)均为正；“和”或“积”为定值；等号能成立即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可(3)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”、将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点3创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而“拆”与“凑”的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需构造出“积为定值”或“和为定值”(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法四、简单线性规划1判断二元一次不等式(组)表示区域的方法以线定界、以点(原点)定域以AxByC0(A0，B0)为例“以线定界”，即画二元一次方程AxByC0表示的直线定边界，其中，还要注意实线或虚线“以点定域”，由于对在直线AxByC0同侧的点，实数AxByC的值的符号都相同，故为了确定AxByC的值的符号，可采用取特殊点法，如取坐标原点(0,0)等2最优解的确定方法最优解可有两种确定方法：(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解；(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断若围成可行域的直线l1，l2，ln的斜率分别为k1k2kn，而且目标函数的直线的斜率为k，则当kik0，y0，且xy4xy12，求xy的最小值方法总结对于通过方程求条件的最值，一般有两种思路：一是通过不等式的放缩将其变为不等式；一是转化为函数问题比较来看，方法一运算量小，但对x，y的范围有限制，且要求取到“”；方法二的适用范围更广，更好地体现了函数的思想解含参数的不等式，由于解答过程中的不确定因素，常需进行分类讨论，如一元二次不等式的二次项系数，含参数时分系数等于0、不等于0两类；不等式两边同乘以(或除以)一个数时，要讨论这个数的符号；解一元二次不等式对应方程根的情况不定或有实根但大小不定时要讨论等解含参数的不等式 例3解关于x的不等式：x2(aa2)xa30.分析先将不等式的左边分解因式，由此得方程x2(aa2)xa30的两根，然后由a的取值范围比较两根的大小，从而写出不等式的解集方法总结含参数的不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应方程是否有根(如果有可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定着不等式是否为一元二次不等式对于不等式恒成立求参数取值范围问题常见类型及解法有以下几种1变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元不等式的恒成立问题 2分离参数法：若 ag(x)恒成立，则ag(x)恒成立，则ag(x)max.3数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化答案Cf(x)ax2ax1在R上满足f(x)0，求a的取值范围求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域，三是在可行域内求目标函数的最优解特别注意目标函数zaxbyc在直线axby0平移过程中的变化规律和图中直线斜率的关系，简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛的应用也是高考的热点二元线性规划问题 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5 元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/吨和1.6 元/吨煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图设直线xy280与y260的交点为M，则M(20,260)把直线l0：0.5x0.8y0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小点M的坐标为(20,260)，甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少