学习必备精品知识点基础强化（ 8）解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180 ； C=180-(A+B) ；. 三角形三边关系：a+bc; a-bBC则6090 ,060AC2、三角形中的基本关系：sin()sin,ABC cos()cos,ABCtan()tan,ABCsincos,cossin,tancot222222ABCABCABC3、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC4、正弦定理的变形公式：化角为边：2sinaR，2sinbR，2 sincRC；化边为角：sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC；sinsinsinsinsinsinabcabcCC=2R 5、两类正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 已知两角和其中一边的对角，求其他边角.( 对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）) 6、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac=2R2sinAsinBsinC=Rabc4=2)(cbar7、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC8、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab9、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角，求其余的量。已知三边求角10、三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点11. 仰角与俯角，方向角与方位角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备精品知识点题型一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题例 1. （1）在ABC 中，已知45A，60B，42acm，解三角形（2）在6,45 ,2,ABCcAabB C中，求 和（3）在3,60 ,1,ABCbBcaA C中，求 和（4）在 ABC 中，已知3a，2b，45B，求,A C 和 c （5）在 ABC 中，已知三边长3a，4b，37c，求三角形的最大内角1 .在ABC中，4a，5b，6c，则sin2sinAC2.在ABC中，已知66cos,364BAB，AC边上的中线BD=5，求 sinA 的值题型二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状例 2 （1）在ABC中，Cbacos2，则此三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形（2）在ABC中，若BACsincos2sin，则此三角形必是（）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形（3）设ABC的内角C,B,A的对边分别为cba,，若()cosabcC,则ABC的形状是A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.锐角三角形1、在ABC中，若,2lgsinlglgcoslgsinCBA则ABC的形状是 ( ) A直角三角形B等边三角形C不能确定D等腰三角形2在ABC中，若coscossinbCcBaA, 则ABC的形状为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定题型三：与面积有关问题例 3、已知向量),sin3,(sinxxm),cos,(sinxxn设函数,)(nmxf若函数)(xg的图象与)(xf的图象关于坐标原点对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备精品知识点(1)求函数)(xg在区间6,4上的最大值，并求出此时x 的值；(2)在ABC中，cba,分别是角CBA,的对边， A 为锐角，若,23)()(AgAf,7cbABC的面积为,32求边 a 的长1.、在ABC中，内角CBA,的对边分别为.,cba已知,32cosA.cos5sinCB(1)求Ctan的值； (2)若,2a求ABC的面积 . 2.已知ABC的周长为21，且sinsin2sinABC（I）求边AB的长；（II）若ABC的面积为1sin6C，求角C的度数题型之四：三角形中求值问题1. 在ABC中，CBA、所对的边长分别为cba、，设cba、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值2在锐角ABC中，角ABC， ，所对的边分别为abc， ，已知22sin3A， （1）求22tansin22BCA的值； （2）若2a，2ABCS，求b的值。3在ABC中，内角ABC， ，对边的边长分别是abc， ，已知2c，3C（）若ABC的面积等于3，求ab，；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备精品知识点（）若sinsin()2sin 2CBAA，求ABC的面积题型五：解三角形中的最值问题例 5.在 ABC中，角 A， B，C所对的边分别为a，b，c，已知2c，3C（1）求 ABC周长的取值范围（2）求 ABC面积的取值范围1.在 ABC中， 角 A， B， C 所对的边分别为a， b， c， 已知cos(cos3sin)cos0CAAB. 1）求角 B的大小； (2)若1ac，求 b 的取值范围2ABC在内角,A B C的对边分别为, ,a b c, 已知cossinabCcB. ( ) 求B;( ) 若2b, 求ABC面积的最大值 . 3.已知, ,a b c分别为ABC的三个内角,A B C的对边，a=2，且(2)(sinsin)()sinbABcbC，则ABC面积的最大值为. 4. 设锐角三角形ABC的内角 A， B，C的对边分别为a，b，c， a=2bsinA. （）求B 的大小；（）求cosA+sinC的取值范围 . 5.ABC的三个内角为ABC、 、，求当 A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备精品知识点题型六：图形中的解三角形例 6. 如图，在ABC中，D是边AC上的点，且BDBCBDABADAB2,32,，则Csin的值为A.33B.63C.36D.661.如图ABC中,已知点D在BC边上 , ACAD, 2 2sin,3 2,33BACABAD，则BD的长为 _ _. 题型七：正余弦定理解三角形的实际应用（一）测量问题1.如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C， 测得 CAB=30 ， CBA=75 ，AB=120cm，求河的宽度。（二）遇险问题2.某舰艇测得灯塔在它的东15 北的方向，此舰艇以30 海里 /小时的速度向正东前进，30 分钟后又测得灯塔在它的东30 北。若此灯塔周围10 海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？（三）追击问题3.如图 3，甲船在 A 处，乙船在A 处的南偏东45 方向，距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南偏西15 方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？图 1 A B C D 图 3 A B C 北4515西北南东A B C 3015图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页