一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 1 of 24 【例 1】如图，在ABCDY中，F是AD的中点，延长BC到点E，使12CEBC ，连接DE，CF（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若4AB，6AD，60B，求DE的长 A B C D E F（ 2013 北京中考）【答案】（1） 在ABCDY中， ADBCF是AD中点12DFAD，又12CEBCDFCE且DFCE四边形CEDF为平行四边形（2）过D作DHBE于H在ABCDY中60B60DCE4AB，4CD2CH，2 3DH在CEDFY中，132CEDFAD，1EH在RtDHE中，22(23)113DEg一、定义【例 1】 如图，在平行四边形ABCD中， EFBCGHABEF，与GH相交于点O，图中共有 _个平行四边形课堂练习真题链接平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 2 of 24 OHGFEDCBA【答案】9个【例 2】 如图3，一个平行四边形被分成面积为1S、2S、3S、4S四个小平行四边形，当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时14S S 与23S S 的大小关系为_ 已知点C与点A、B不重合时，图中共有_个平行四边形，S4S3S2S1(3)DCBA【答案】 1423S SS S ；9【解析】 1423SSS S （利用平行线处处距离相等，设出1S 、2S 、3S 、4S 对应的底和高，用底和高表示14S S 与23S S 即可发现结论） ；9二、性质【例 3】 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（）A2 个B3个C 4 个D5 个【答案】 B 【例 4】 如图，平行四边形ABCD中，35ABBCAC，的垂直平分线交AD于E，则CDE的周长是 _EDCBA【答案】 8 【解析】由中垂线定理可知AE=EC，则CDE的周长为8ADCD【例 5】 如图，在平形四边形ABCD中，CEAB，E为垂足如果125A，则BCE_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 3 of 24 EDCBA【答案】35【解析】过 A 作AFCE交 CD 于点 F，可得四边形AECF 为矩形，从而有(BCEAFD HL）则1259035BCEFAD【例 6】 如图，,E F 是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AECF求证：（1）ADFCBE；（2）EBDFAFEDCB【答案】 （1）AECF，AEEFCFFE，即AFCE又ABCD是平行四边形，,ADCB ADBCDAFBCEADFCBE（2）ADFCBEDFABECDFEB【例 7】 平行四边形ABCD 中，对角线AC 和 BD 交于 O，若 AC8，BD6，则边AB 长的取值范围是【答案】17AB【例 8】 如图，在平行四边形ABCD中，ABC的平分线交AD于E，150BED， 则A的大小为（） A150B130C120D100EDCBA（ 2014 海淀一模）【答案】 C 【例 9】 如图， ABCD中，对角线AC和BD长度之和为12，如果ABO的周长为11，则AB的长为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 4 of 24 _ODCBA【答案】5 【例 10】已知平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于O点，AOB的周长比BOC的周长多8cm，则AB的长度为 _ cm ODCBA【答案】19【解析】如图，AOB的周长为ABAOBO，BOC的周长为BCBOCO由平行四边形的对角线互相平分可得8ABAOBOBCBOCOABBC6082194AB【例 11】若平行四边形ABCD的对角线AC 平分 DAB，则对角线AC 与 BD 的位置关系是_【答案 】垂直【例 12】M为平行四边形ABCD两个角平分线AM和BM的交点，AM3，4BM，平行四边形ABCD的周长为18，则BC_ MDCBA【答案】 4 【解析】由于AM、BM 均为角平分线，故90oAMB，则由勾股定理可得AB=5 即可得 BC=4 【例 13】如图，已知：在平行四边形ABCD中，BCD的平分线CE交边AD于E，ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G若4AE，则GD_FGEDCBA【答案】 四边形ABCD是平行四边形（已知 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 5 of 24 ADBC，ABCD（平行四边形的对边平行且相等）GBCBGA，BCECED（两直线平行，内错角相等）又BG平分ABC，CE平分BCD（已知 ）ABGGBC，BCEECD（角平分线定义 ）ABGAGB，ECDCEDABAG，CEDE（在同一个三角形中，等角对等边）AGDEAGEGDEEG，即AEDG=4 【例 14】如图，已知平行四边形BDEF，AD是ABC的角平分线，连接DEEF，若2BF，3EF，则AE_FEDCBA【答案】 2 【例 15】如图， 将平行四边形ABCD沿AE翻折， 使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是（） AAFEFBABEFCAEAFDAFBE【答案】 C 【例 16】如图，已知平行四边形纸片ABCD的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D与点B重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则ABE的周长为 _ABCDEFC（ 2014 昌平一模）【答案】 10 【例 17】如图，在平行四边ABCD中，AC、BD为对角线，6BC，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 6 of 24 A3 B6 C12 D24 (1)DCBA【答案】 C 【解析】利用平行线的性质及割补法可得C【例 18】现有如图2 的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案(2)【答案】答案不惟一【例 19】若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为_【答案 】16； 11【例 20】已知： 如图， 在ABCD 中，从顶点 D 向 AB 作垂线， 垂足为 E，且 E 是 AB 的中点， 已知ABCD的周长为86cm， ABD 的周长为6cm，AB、BC 的长为 _【答案】 26cm；17cm【例 21】若在ABCD 中， A30 ，AB7cm，AD6cm，则 SABCD_【答案 】21【例 22】平行四边形的两个邻边得长分别为16 和 20， 两条长边间的距离为8， 则短边间的距离为_ 【答案】 10 【解析】由平行四边形面积公式即可得20816=10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 7 of 24 【例 23】如图，在平行四边形ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，若4,6AEAF，平行四边形的周长为40，则平行四边形ABCD的面积为 _FEDCAB【答案】 48 【解析】连接AC，将平行四边形面积分为两个面积相等的三角形的面积和可设BCx，则20CDx ，有46(20)xx，可得12BC，8CD则平行四边形的面积为：(124)2(86)248【例 24】在平行四边形ABCD中，点1A、2A、3A、4A和1C、2C、3C、4C分别为AB和CD的五等分点，点1B、2B和1D、2D分别是BC和DA的三等分点，已知四边形4242A B C D的面积为1，则平行四边形ABCD面积为 _【答案】53【解析】将其中的两块阴影部分拼到两块三角形空白区域，得到9 块小平行四边形的面积为1，故 15 块的面积为53D2D1DC3C4C2C1B2B1BA4A3A2A1A【例 25】已知：如图，在ABCD 中，点 E 在 AC 上， AE2EC，点 F 在 AB 上， BF2AF，若 BEF 的面积为22cm ，则ABCD 的面积为 _【答案】 9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 8 of 24 【解析】根据AFAB、的长度之比可以算出ABES，然后利用AEAC、的长度之比，就可以算出ABCS的面积，进而算出ABCD 的面积【例 26】如图，点 EF，是平行四边形ABCD对角线上的两点，且BEDF，那么AF和CE相等吗？请说明理由21FEDCBA【答案】AFCE【解析】因为ABCD是平行四边形所以 ADBCADBC，所以12，又因为1180ADF，2180EBC所以ADFEBC又因为BEDF，所以ADFCBE，所以AFCE【例 27】已知：如图，在ABCD 中， CEAB 于 E， CFAD 于 F， 230 ，求 1、 3 的度数【答案】 6030，【例 28】如图，在平行四边形ABCD 中（ AB BC），直线EF 经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点 M、N，交 BA、DC 的延长线于点E、F，下列结论：（1）AO=BO ；（ 2）OE=OF ；（ 3）EAM EBN；（ 4） EAO CNO，其中正确的是（）A （1） （2）B （2） （3) C （ 2） （4) D （3） （4）FNMEODCBA【答案】 B 【例 29】将两块全等的含30 角的三角尺如图1 摆放在一起，设较短直角边为1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 9 of 24 30ABCD30图 1ABCDB1C1D1图 2ABCD图 3图 4DCBA（1）四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_（2）如图 2，将 RtBCD沿射线BD方向平移到111RtB C D的位置， 四边形11ABC D是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_ （3） 在 RtBCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为_时，四边形11ABC D为矩形，其理由是_ ；当点B的移动距离为_时，四边形11ABC D为菱形，其理由是_（图 3、图 4 用于探究）【答案】（1） 是，ADBC，AD=BC；（2）是，因为始终有AB11C D；（3）33，此时190ABC；3，11ACBD【例 30】如图，平行四边形ABCD 的对角线AC、BD 交于点 O，ACAB，AB=2，且 ACBD=23（ 1）求 AC 的长；（ 2）求 AOD 的面积（ 2013 西城一模）【答案】（1） 平行四边形ABCD 的对角线AC、 BD 交于点 O，OA=12AC，OB=12BDACBD=23，OAOB=23设 OA=2x（x0），则 OB=3xACAB， BAC =90 在 RtOAB 中， OA2+AB2=OB2AB=2， （2x）2+22=（ 3x）2解得 x=255（舍负 ）AC=2OA= 8 55（2）平行四边形ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O， OB=ODSAOD=SAOB=12AO AB = 124 55 2= 455【例 31】已知：如图，在ABCD中， BAD， ADC 的平分线AE，DF 分别与线段BC 相交于点E，F，AE 与 DF 相交于点G（1）求证： AEDF；（2）若 AD=10，AB=6，AE=4，求 DF 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 10 of 24 GAEBCDF（ 2013 昌平一模）【答案】 （1）证明： 四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC BAD+ADC= 180 AE、DF 分别平分 BAD 、ADC，111,222BADADC112()902BADADCAGD= 90 AEDF 4321GAEBCDF（2）由（1）知： ADBC,且 BC= AD = 10， DC =AB =6，1=3,2=4 1=AEB,2=DFC 3=AEB,4=DFCBE=AB =6，CF=DC =6BF=4EF=2ADBC, EFG ADG15EGEFAGAD145EGEGEG=23AG=103由（1）知FGE= AGD= 90 ，由勾股定理，得DG=2023，FG=4 23DF=82【例 32】在ABCDY中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图 1 中证明CECF；（2）若90ABC，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若120ABC，FGCE，FGCE，分别连结DB、DG（如图 3），求BDG的度数图1图2图3ABCFEDADBECGFADECGFB（2011 北京中考）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 11 of 24 【答案】（1） 证明：AF平分BAD ，BAFDAF四边形ABCD是平行四边形， ADBCABCD，DAFCEFBAFF，CEFFCECF（2）BDC45321G图 2ABCFED（3）解：分别连结GB、GE、GC120ABDCABC，120ECFABCFGCE且 FGCE ，四边形CEGF是平行四边形由（ 1）得 CECF ，CEGFY是菱形1602EGECGCFGCEECF，ECG是等边三角形 EGCG，60GECEGCGECGCFBEGDCG由ADBC及AF平分BAD可得BAEAEBABBE在ABCDY中，ABDCBEDC由得BEGDCG BGDE ，12132360BGDEGC180602BGDBDG【解析】此题与第一讲的例3 的第 2 问类似，第 （2） 问已知CEG为等腰直角三角形， 欲证BDG为等腰直角三角形，只需证DCGBEG；第（3）问已知CEG为等边三角形， 欲证BDG为等边三角形，只需证DCGBEG图2图1DBCGEEGCBD（选讲）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 12 of 24 【例 33】在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四边形平分为面积相等的两部分？他画出了如下示意图（如图1） ，得到了符合要求的直线AF小明的作图步骤如下：第一步：连结AC ；第二步：过点B作 BEAC交 DC 的延长线于点E；第三步：取ED中点F，作直线AF；则直线AF即为所求请参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 2，五边形 ABOCD ，各顶点坐标为：(3, 4)A，(0 , 2)B，(0 , 0)O，(4 , 0)C，(4 , 2)D请你构造一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD 分为面积相等的两部分，并求出该直线的解析式（ 2014 丰台一模）【答案】 解：连结 AO 、 AC ，过点B作 BMAO交x轴于M，过点D作 DN 交x轴于 N ，取 MN 的中点F，连接AF即可直线 AO 的解析式是：43yx，则直线BM的解析式是：423yx，得到3(, 0)2M；直线 AC 的解析式是：416yx，则直线 DN 的解析式是：418yx，得到9(, 0)2N；MN 的中点(1.5, 0)F，直线AF的解析式为：843yx三、判定【例 34】如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线BD，过 A C， 两点分别作AEBDCFBDEF， ， 为垂足，求证：四边形AECF 是平行四边形yxODCBA图 2 1 FEDCBA图 1 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 13 of 24 FEDCBA【答案】因为ABCD 是平行四边形，所以ABCD 且 ABCD所以ABECDF因为 AEBDCFBD，所以90AEBCFD所以ABECDF，所以 AECF因为90AEOCFO，所以 AECF所以四边形AECF 是平行四边形【例 35】已知：如图，在平行四边形ABCD 中，,E F分别是,AB CD的中点求证：（1）AFDCEB ；（2）四边形AECF 是平行四边形CEFDBA【答案】（1） 四边形 ABCD 平行四边形，,ABCD ADBCBD又,E F分别是,AB CD的中点，11,22BEAB DFCD,BEDF AECFAFDCEB （2）由（1）知 AECF ，AFDCEB AFCE 四边形AECF 是平行四边形【例 36】如图， 在平行四边形ABCD 中，点 EF，在 ADBC，上，且 AECF ，AF与BE交于点M，CE 与DF交于点 N ，求证：四边形EMFN 是平行四边形NMFEDCBA【答案】 先证四边形AFCE 是平行四边形， 得出 AFCE，再证四边形BEDF是平行四边形， 得BEDF，所以四边形EMFN 是平行四边形【例 37】如图，在平行四边形ABCD 中，点M、 N 是对角线AC 上的点，且AMCN ，DEBF，求证：四边形 MFNE 是平行四边形ENFMDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 14 of 24 【答案】 四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD， ABCDMAFNCE又DEBF AFCE又 AMCN显然AFMCEN FMEN 且AMFCNEFMNENM四边形 MFNE 是平行四边形【例 38】已知：如图，AD BC ，EDBF，且 AFCE 求证：四边形ABCD 是平行四边形FEDCBA【答案】 EDBF， DEFBFE，AEDBFC又 AFCE ， AECFAD BCEADFCB ，AEDCFB ADBC ， ABCD 是平行四边形【例 39】如图，在平行四边形ABCD 的各边 ABBCCDDA，上，分别取EFGH， ， ，使 AECG ，BFDH，求证：四边形EFGH 为平行四边形HGFEDCBA【答案】利用AEHCGF，AEHDFE，证明 HEFGHGEF，【例 40】能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是：A BC D 的值为（） （A）1234 （B）1 423 （C）122 1 （D）1 212 【答案】D【例 41】如图，过四边形ABCD 对角线的交点O 作直线EF交AD、BC 分别于E、F， 又 G 、H分别为 OB 、OD 的中点，求证：四边形EHFG 为平行四边形OGFHEDCBA【答案】易证EOFO ， HOGO四边形 EHFG 为平行四边形四、中位线【例 42】已知：如图，四边形ABCD 中， E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 15 of 24 求证：四边形EFGH 是平行四边形【答案】连接BD，通过中位线就能证明四边形 EFGH 是平行四边形【例 43】如 图， ABC 的周长为64，E、F、G 分别为AB、AC、BC 的中点， A 、B、C分别为EF、EG、GF 的中点， AB C的周长为 _如果 ABC、 EFG、 ABC分别为第1 个、第2个、第 3 个三角形， 按照上述方法继续作三角形，那么第 n 个三角形的周长是_【答案】 16；11642n【例 44】已知： ABC 的中线 BD、CE 交于点 O，F、G 分别是 OB、OC 的中点求证：四边形DEFG 是平行四边形【答案】12EDBCEDBC，12FGBCFGBC， EDFGEDFG，【例 45】已知：如图， E 为ABCD 中 DC 边的延长线上的一点，且CE DC，连结 AE 分别交 BC、BD 于点 F、 G，连结 AC 交 BD 于 O，连结 OF求证： AB2OF【答案】ABFCEF，BFCF，12OFAB【例 46】已知：如图，在ABCD 中， E 是 CD 的中点， F 是 AE 的中点， FC 与 BE 交于 G求证： GFGC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 16 of 24 【答案】取BE中点P，连接FP，12PFABPFAB，故四边形EFPC为平行四边形，故GFGC【例 47】已知：如图，在四边形ABCD 中， ADBC，E、F 分别是 DC、AB 边的中点， FE 的延长线分别与AD、BC 的延长线交于H、G 点求证：AHF BGFHGFEDCBA【答案】取AC中点P，连接 EPFP、，故1122EPADPFBCADBCEPFP，EPAH，AHF =PEF，PFBH，PFHBGF AHFBGFPHGFEDCBA【例 48】已知： 如图， ABC 中， D 是 BC 边的中点， AE 平分 BAC，BEAE 于 E 点，若 AB 5，AC7，求 ED【答案】延长BE交AC于点G，故2GCED，1ED【例 49】如图在 ABC 中， D、 E 分别为 AB、AC 上的点，且BDCE，M、N 分别是 BE、CD 的中点过MN 的直线交AB 于 P，交 AC 于 Q，线段 AP、AQ 相等吗 ?为什么 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 17 of 24 【答案】取BC中点F，连接 MFNF、，得到 NFABMFAC，又12MFEC 、12NFBD ，APNFNPFMQAQP， APAQ【例 50】AD是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E求证：13AEAC FEDCBA【答案】取EC的中点G，连接DG易得DGBE，F为AD的中点，所以AEEG，从而可证得：13AEAC GFEDCBA【例 51】在ABC中，90ACB，12ACBC ，以BC为底作等腰直角BCD，E是CD的中点，求证：AEEB且AEBEEDCBA【答案】过E作EFBC交BD于F135ACEACBBCE45DFEDBC135EFB，又 EFBC，12EFBC ，12ACBCEFAC，CEFBEFBACECEADBE，又 90DBEDEB90DEBCEA，故90AEBAEEB且AEBE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 18 of 24 FEDCBA【例 52】如 图，在五边形ABCDE中，90ABCAED，BACEAD，F为CD的中点求证：BFEFFEDCBA【答案】取AC中点M，AD中点N连结MF、NF、MB、NE，则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有12MFADNE ，12NFACMB ，MFAD，NFAC，DNFCADCMF，BMAM，MBACAB2BMCMBACABCAB同理可证2DNEDAEBACEAD，BMCENDBMCCMFFNDDNE，即BMFENF， MBFNFE，BFEFNMFEDCBA【例 53】如图所示，在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DEDF过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N求证：（1）DEMFDN； （2）PAEPBFPNMFEDCBA【答案】 （1）如图所示，根据题意可知DMBN且DMBN=，DNAM且DNAM=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 19 of 24 所以AMDAPBDNB而M、N分别是直角三角形AEP、BFP的斜边的中点，所以EMAMDN，FNBNDM，又已知DEDF，从而DEMFDN（2）由（1）可知EMDDNF，则由AMDDNB可得AMEBNF而AME、BNF均为等腰三角形，所以PAEPBFPNMFEDCBA【例 54】已知：在 ABC 中，分别以 AB、 AC 为斜边作等腰直角三角形ABM， 和 CAN， P 是边 BC 的中点求证： PMPNNPMCBA【答案】证明：取AB 中点 Q，AC 中点 R连结 PQ， PR，MQ，NRPQAC，PQ12ACNR PRAB，PRMQ PQMPRN（两边分别垂直），BQPBACPRCPQMNRP，PMPNRQNPMCBA【例 55】在ABC中，CD、AE分别为AB、BC边上的高，60Bo，求证：12DEAC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 20 of 24 EDCBA【答案】取AB、BC的中点，连结MN，60B，30BAEBCD从而得12BEBMAB ，12BDBNBC ，BDEBNM，MNDE又因12MNAC ，故12DEAC NMEDCBA【例 56】如 图，180AD，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上（ 1）探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系（ 2）探讨线段BE与CE之间的位置关系EDCBA【答案】 （ 1）ABCDBC； （ 2）BECE在线段BC上取点F，使FBAB，连结EF在ABE和FBE中ABFBABEFBEBEBEABEFBEAEBFEB，BAEBFE180AD而180BFECFECDECFE在CDE和CFE中CDECFEDCEFCECECECDECFEDECFEC，CDCFABCDBC，90BECBEFCEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 21 of 24 FEDCBA（选讲）【例 57】在RtABC中，90ACB，1tan2BAC点D在边AC上（不与A，C重合） ，连结BD，F为BD中点（1）若过点D作DEAB于E，连结CF、EF、CE，如图 1设CFkEF，则k_；（2）若将图1中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2 所示求证：2BEDECF；（3） 若6BC， 点D在边AC的三等分点处， 将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值【答案】解：（1）1k；（2）如图 2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为 Q 由题意，1tan2BAC，12BCDEACAED、E、B三点共线，AEDBBQCAQD ，90ACB，QBCEAQ 90ECAACG，90BCGACG，ECABCGBCGACE12BCGBACAEBGDEF是BD中点，BCADEFBDEAFCBAC1图2图备图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 22 of 24 F是EG中点在RtECG中，12CFEG，2BEDEEGCF（3）情况 1：如图，当13ADAC 时，取AB的中点M，连结MF和CM，90ACB，1tan2BAC，且6BC，12AC，6 5ABM为AB中点，3 5CM，13ADAC ，4ADM为AB中点，F为BD中点，122FMAD当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时23 5CFCMFM情况 2：如图，当23ADAC 时，取AB的中点M，连结MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为43 5综合情况 1 与情况 2， 可知当点D在靠近点C的三等分点时， 线段CF的长度取得最大值为43 5 【练 1】如图，在ABCD 中， DBDC、 A65 ，CEBD 于 E，则 BCE_【答案】25ADFCMBADMFCB2图BDEAFCGQ课后作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 23 of 24 【练 2】如图， ABCD中，ABO和BOC的周长分别为10 和 14，且平行四边形的周长为22，则对角线的长度之和为_，AB和BC的长分别为 _ODCBA【答案】13；7.5；3.5【练 3】如图，在平行四边ABCD中，已知8cmAD，6cmAB，DE平分ADC交BC边于点E，则BE等于 _cm EDCBA【答案】 2 【练 4】如图，平行四边形ABCD的周长是28cm，ABC的周长是22cm，则AC的长为 _DCBA【答案】 8cm 【解析】ABBC的长为14cm ，ABBCAC的长为22cm，故AC的长为22 148cm【练 5】如图，平行四边形ABCD中，BECD于E，BFAD于点F，2,1,60 ,CEDFEBF则平行四边形ABCD的面积为 _FEDCAB【答案】12 3【解析】由于60EBF且 BECD ，则30ABFo，60Ao，30EBCo又有2CE，可得4CB又由1DF，可得3 3BF则平行四边形的面积为：43 312 3【练 6】已知：如图，ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AECF求证：（ 1） BEDF ；（ 2）BEDF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页一轮复习课程 四边形 平行四边形习题集 教师版Page 24 of 24 【答案】略【练 7】如图，已知：AD是ABC 的角平分线，DEAB，在AB上截取BFAE，连接 DEEF，求证：四边形BDEF是平行四边形FEDCBA【答案】因为AD平分BAC所以BADCAD因为DEAB，所以BADADE所以EADADEDEAE，因为BFAE，所以DEBF因为DEBF，所以BDEF是平行四边形【练 8】如图，E、F分别是平行四边形ABCD的AD、BC边上的点，且AECF（1）求证：ABECDF ；（2）若 MN， 、分别是BE、DF的中点， 连接MF、 EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论ENMCDFBA【答案】 （1）由 ABCD 是平行四边形可知，ABCD ，BAEDCF又 AECF ，故ABECDF（2）由（1）可知，AEBCFD ，BEDF又 FNDN ，BMME， MENF而AD BC ，有AEBCBECBECFD ， BEDF 四边形 MFNE 为平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页