数字通信数字通信 (第七讲第七讲)通信中的常见噪声通信中的常见噪声2008-10 Yuping Zhao (Professor)Department of ElectronicsPeking UniversityBeijing 100871, Chinaemail: yuping.1 白噪声白噪声白噪声的定义白噪声的定义：功率谱密度函数在整个频域(-+)内是常数的噪声不符合上述条件的噪声称为有色噪声白噪声的功率谱密度函数白噪声的功率谱密度函数 n0 是一个常数，单位为W/Hz2白噪声的自相关函数白噪声的自相关函数由于功率信号的功率谱密度与其自相关函数 R() 互为傅氏变换对因此，白噪声的自相关函数白噪声的自相关函数为白噪声的自相关函数是一个位于=0 处的冲激函数，即白噪声只有在 n0 /2 时才相关，而在任意两个不同时刻上的随机取值都是不相关的。3高斯噪声高斯噪声高斯噪声的定义高斯噪声的定义：概率密度函数服从高斯分布（即正态分布）的噪声。式中，a 为噪声的数学期望值，也就是均值；2 为噪声的方差。通常，通信信道中噪声的均值 a=0。4在噪声均值为零时，噪声的平均功率等于噪声的方差。因为噪声的平均功率为 而噪声的方差为所以 Pn=25标准正态分布标准正态分布 误差函数误差函数互补误差函数互补误差函数6误差函数和互补误差函数的主要性质误差函数和互补误差函数的主要性质7误差函数的其他表示方法误差函数的其他表示方法8带通系统中的高斯噪声带通系统中的高斯噪声1 定义与表达式定义与表达式高斯噪声通过以c 为中心的窄带系统可形成窄带高斯噪声窄带高斯噪声。特点：特点：频谱局限在c 附件很窄的频率范围内，包络和相位作缓慢随机变化。窄带高斯噪声 n(t) 可表示为 (t)为噪声 n(t)的随机包络，(t)为噪声 n(t)的随机相位。9窄带高斯噪声的另外一种表达式为其中 式中 nc(t) 及 ns(t) 分别称为 n(t) 的同相分量和正交分量。102 统计特性统计特性(1)一个均值为零，方差为x2 的窄带高斯噪声 n(t)，假定它是平稳随机过程，则它的同相分量 nc(t)、正交分量 ns(t)同样是平稳高斯噪声，且均值都为零，方差也相同，即 其中这里，x2、c2、s2分别表示窄带高斯噪声 n(t)、同相分量 nc(t)和正交分量 ns(t)的方差（亦即功率）。11(2)一个均值为零，方差为x2 的窄带高斯噪声 n(t)，假定它是平稳随机过程，则其随机包络(t) 服从瑞利分步，相位(t) 服从均匀分布，即 p() 和 p() 的波形如下图所示。12在通信系统中，概率论与随机过程是重要的数学工具。在通信系统中，概率论与随机过程是重要的数学工具。接收机的设计：接收机的作用是设法去除信道对随机信源的影响，恢复出原始的随机信源信号。系统性能评估：性能评估实际上是对接收机恢复原始信源能力的评估。这种评估一般用错误概率来表示。数学描述数学描述信号传输：接收机：系统评估：接收信号（随机）信道特征（随机）信源（随机）噪声（随机）13在任何通信系统中，高斯噪声都是存在的，它作为加性噪在任何通信系统中，高斯噪声都是存在的，它作为加性噪声叠加到接收信号上声叠加到接收信号上高斯噪声的表达式14联合事件联合事件 考虑两个事件，其联合概率记做考虑两个事件，其联合概率记做 P(A, B)，联合概率，联合概率满足以下条件满足以下条件且;15统计独立统计独立事件事件A 的发生不依赖事件的发生不依赖事件B 的发生，即的发生，即 16随机变量的和随机变量的和假设假设 Xi, i=1,2,n 是统计独立且同分布的随机变量，是统计独立且同分布的随机变量，有限均值有限均值 mx ，有限方差有限方差 x2。Y 定义为归一化总和，定义为归一化总和，称为样本平均称为样本平均 Y 的均值的均值 Y 的方差的方差17若若Y 没有被归一化，即没有被归一化，即 ，其它条件同上，则有，其它条件同上，则有 均值：均值： 方差：方差：18Example:设发射信号为设发射信号为 ， P(s1)=p，P(s2)=1-p接收信号接收信号yn(T)为零均值高斯噪声为零均值高斯噪声 19接收信号的概率密度函数为2021若若Y 没有被归一化，即没有被归一化，即 ，其它条件同上，则有，其它条件同上，则有 均值：均值： 方差：方差：在高斯信道中，将固定数据重复发送后，求系统信噪比在高斯信道中，将固定数据重复发送后，求系统信噪比的变化的变化信噪比的定义为：信噪比的定义为：问题问题:22接收信号相加之后，噪声的方差变为接收信号相加之后，噪声的方差变为 ，信号的幅度加倍，能量则变为，信号的幅度加倍，能量则变为原来的原来的 4 倍。倍。则信噪比变为：则信噪比变为：结论：结论：在加性高斯白噪声通道中，若某发射信号重复发射在加性高斯白噪声通道中，若某发射信号重复发射两次，接收端将两次接收结果相加，则接收信号信噪比有两次，接收端将两次接收结果相加，则接收信号信噪比有2倍的提高。倍的提高。1.单发一次时，信号能量单发一次时，信号能量2.若同样信号发送两次，接收端将两次信号相加，则有若同样信号发送两次，接收端将两次信号相加，则有3. 此时信号能量为此时信号能量为 ，噪声方差为，噪声方差为解答解答:23问题分析问题分析为了提高接收端的信噪比，通信系统中可以为了提高接收端的信噪比，通信系统中可以采用重复发送的方法采用重复发送的方法同样的信号重复发送两次，两次的幅度可能同样的信号重复发送两次，两次的幅度可能不同，经过信道叠加噪声之后分别为不同，经过信道叠加噪声之后分别为 和和 ，接收端对两个接收信号以一定，接收端对两个接收信号以一定比例合并：比例合并：讨论：接收端以怎样的比例合并可以使接收讨论：接收端以怎样的比例合并可以使接收信噪比达到最大？信噪比达到最大？ 24问题分析问题分析已知：已知：求为了使：求为了使：假设：假设：1. 每次发送时的加性高斯噪声功率不变每次发送时的加性高斯噪声功率不变 2. 原始信号功率原始信号功率 3. 原始信噪比原始信噪比 25理论推导理论推导接收信号为：接收信号为：信号平均功率为：信号平均功率为：噪声平均功率为：噪声平均功率为：信噪比为：信噪比为：26理论推导理论推导对对 求导：求导： 要使要使27理论推导理论推导 结论：结论： 28讨论如下信号的合并方法tT2T当信号有加性高斯噪声，如何得到最大信噪比的信号？合并后的信噪比增大了多少倍？29讨论如下信号的合并方法tT2T当信号有加性高斯噪声，如何得到最大信噪比的信号？合并后的信噪比增大了多少倍？30讨论如下信号的合并方法1。如何进行信号合并达到信噪比最大？2。要保证接收信号的信噪比为某一确定值，在采样率确定情况下，如何在信号采样点上加噪声？31过采样与信噪比32高斯信号的产生方法高斯信号的产生方法中心极限定理33中心极限定理中心极限定理 假设假设 Xi, i=1,2,n 是统计独立且同分布的随机变量，是统计独立且同分布的随机变量，有限均值有限均值mx，有限方差，有限方差 x2。定义归一化随机变量定义归一化随机变量 (零均值和单位方差零均值和单位方差) 令 当当n 时，时，Y 的极限分布为高斯分布。的极限分布为高斯分布。3401 的均匀分布的均匀分布(一次记录一次记录) rand();高斯信号产生方法高斯信号产生方法 1 35多次多次 01 的均匀分布的的均匀分布的PDF直方图直方图366次事件相加，高斯分布？次事件相加，高斯分布？3760次事件相加，高斯分布？次事件相加，高斯分布？38书面作业书面作业 1书上第书上第 2-1 题及第题及第 2-4 题题书面作业书面作业 21.什么是二项分布什么是二项分布 (binomial distribution)，举例说明其应用举例说明其应用2.什么是瑞利分布，其特性是怎样的什么是瑞利分布，其特性是怎样的3.什么是莱斯分布，它与瑞利分布的关系是怎样的什么是莱斯分布，它与瑞利分布的关系是怎样的39随机变量的函数随机变量的函数设设随随机机变变量量 X，概概率率密密度度函函数数给给定定 p(x)，另另一一个个随随机机变变量量 Y 可以表示成可以表示成 X 的确定函数。的确定函数。随机变量随机变量Y 定义为：定义为： 首先确定首先确定Y 的概率分布函数的概率分布函数 x040再作微分，得到概率密度函数再作微分，得到概率密度函数 则则 也可以写成也可以写成上述的结果相应的是方程的两个解。上述的结果相应的是方程的两个解。 41一一般般情情况况，如如果果x1, x2, ., xn 是是方方程程g(x)=y 的的实实数数解解(即即x用用y表表示示的的解解)，x的的概概率率密密度度函函数数为为p(x)，则则随随机机变量变量Y=g(X) 的概率密度函数为的概率密度函数为42仿真中出现的实际问题仿真中出现的实际问题如何观察噪声的大小实部与虚部叠加的噪声方法仿真经验43利用星座图观察噪声利用星座图观察噪声正确的星座图正确的星座图44利用星座图观察噪声利用星座图观察噪声错误的星座图错误的星座图1噪声实部大于虚部噪声实部大于虚部45利用星座图观察噪声利用星座图观察噪声错误的星座图错误的星座图2噪声仅有实部噪声仅有实部46利用星座图观察噪声利用星座图观察噪声xnoisy = x + sigma * randn(size(x); 47利用星座图观察噪声利用星座图观察噪声xnoisy = x + sigma * randn(size(x) * (1 + i);48利用星座图观察噪声利用星座图观察噪声正确的加噪声方法是给实部和虚部分别加噪声正确的加噪声方法是给实部和虚部分别加噪声xnoisy_real = real(x) + sigma * randn(size(x);xnoisy_imag = imag(x) + sigma * randn(size(x);xnoisy = xnoisy_real + i * xnoisy_imag;49利用星座图观察噪声利用星座图观察噪声正确的星座图正确的星座图50不同信噪比下接收信号星座图不同信噪比下接收信号星座图51