反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如xky（k 为常数，ok）的函数称为反比例函数。xky还可以写成kxy12. 反比例函数解析式的特征：等号左边是函数 y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数 k ） ，分母中含有自变量x，且指数为 1. 比例系数0k自变量x的取值为一切非零实数。函数 y 的取值是一切非零实数。3. 反比例函数的图像图像的画法：描点法 列表（应以 O为中心，沿 O的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线，xky（ k 为常数，0k）中自变量0x，函数值0y，所以双曲线是不经过原点， 断开的两个分支， 延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是xy或xy） 。反比例函数xky（0k）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky（0k）上任意引x轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。4反比例函数性质如下表：k 的取值图像所在象限函数的增减性ok一、三象限在每个象限内， y 值随x的增大而减小ok二、四象限在每个象限内， y 值随x的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 k ）6 “反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky中的两个变量必成反比例关系。7. 反比例函数的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页二、例题【例 1】如果函数222kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xky， （0k）即kxy1（0k）又在第二，四象限内，则0k可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得：01222kkk解得0211kkk或1k1k时函数222kkkxy为xy1【例 2】在反比例函数xy1的图像上有三点1x，1y，2x，2y，3x，3y。若3210xxx则下列各式正确的是（）A213yyy B 123yyy C 321yyy D 231yyy【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。解法一：由题意得111xy，221xy，331xy3210xxx，213yyy所以选 A 解法二：用图像法，在直角坐标系中作出xy1的图像描出三个点，满足3210xxx观察图像直接得到213yyy选 A 解法三：用特殊值法213321321321, 1, 1,211, 1, 2,0yyyyyyxxxxxx令【例 3】如果一次函数的图像与反比例函数xmnymnmxy30相交于点（221，） ，那么该直线与双曲线的另一个交点为（）【解析】12132212213nmmnnmxxmnynmxy解得，相交于与双曲线直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页221111121, 122211yxyxxyxyxyxy得解方程组双曲线为直线为11，另一个点为【例 4】 如图，在AOBRt中，点 A是直线mxy与双曲线xmy在第一象限的交点，且2AOBS，则m的值是_. 图解: 因为直线mxy与双曲线xmy过点 A, 设 A点的坐标为AAyx ,. 则有AAAAxmymxy,. 所以AAyxm. 又点A在第一象限 , 所以AAAAyyABxxOB,. 所以myxABOBSAAAOB212121?. 而已知2AOBS. 所以4m. 三、练习题1. 反比例函数xy2的图像位于（）A第一、二象限 B 第一、三象限 C 第二、三象限 D 第二、四象限2. 若 y 与x成反比例，x与z成正比例，则 y 是z的（）A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数D、不能确定3. 如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm 与宽xcm 之间的函数图象大致为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页o y x y x o y x o y x o A B C D4. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积 V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示当气球内气压大于 120 kPa时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应（）A、不小于54m3 B、小于54m3 C 、不小于45m3 D 、小于45m3 5如图 ，A、C是函数xy1的图象上的任意两点， 过 A作x轴的垂线，垂足为B，过 C作 y 轴的垂线，垂足为D，记 RtAOB 的面积为 S1，RtCOD 的面积为 S2则 （）A S1S2 B S1 S2C S1=S2 D S1与 S2的大小关系不能确定6 关于 x 的一次函数 y=-2x+m和反比例函数 y=1nx的图象都经过点A （-2， 1） . 求： （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）两函数图象的另一个交点B的坐标；（3）AOB的面积7. 如图所示，一次函数yaxb 的图象与反比例函数ykx的图象交于 A、B两点，与 x 轴交于点 C已知点 A的坐标为（ 2，1） ，点 B的坐标为（12，m ） （1）求反比例函数和一次函数的解析式；OyxABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围OCAB8 某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6 小时可将满池水全部排空（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q （m3） ，那么将满池水排空所需的时间 t （h）将如何变化？（3）写出 t 与 Q的关系式（4） 如果准备在 5 小时内将满池水排空， 那么每小时的排水量至少为多少？（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？.9. 某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60 元，在营销中发现，该衬衣的日销售量 y（件）是日销售价x 元的反比例函数，且当售价定为100 元/ 件时，每日可售出 30 件. （1）请写出 y 关于 x 的函数关系式；（2） 该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800 元，则其售价应为多少元？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页10 如图，在直角坐标系 xOy中，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数myx的图象交于 A(-2 ，1)、B(1，n) 两点。(1) 求上述反比例函数和一次函数的表达式；(2) 求AOB 的面积。四、课后作业1对与反比例函数xy2，下列说法不正确的是（）A点（1,2）在它的图像上B它的图像在第一、三象限C当0x时，的增大而增大随xyD当0x时，的增大而减小随xy2. 已知反比例函数0kykx的图象经过点（ 1，-2 ） ，则这个函数的图象一定经过（）A、 （2，1） B、 （2，-1） C、 （2，4） D、 （-1，-2 ）3在同一直角坐标平面内，如果直线xky1与双曲线xky2没有交点，那么1k和2k的关系一定是（）A. 1k+2k=0 B. 1k2k0 D.1k=2k4. 反比例函数 ykx的图象过点 P（1.5 ，2） ，则 k_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页5. 点 P（2m 3，1）在反比例函数y1x的图象上，则 m _6. 已知反比例函数的图象经过点 （m ， 2） 和 （ 2， 3） 则 m的值为 _7. 已知反比例函数xmy21的图象上两点2211,yxByxA， 当210xx时，有21yy，则m的取值范围是？8. 已知 y 与 x-1 成反比例，并且 x-2 时 y7，求：(1) 求 y 和 x 之间的函数关系式； (2)当 x=8 时，求 y 的值；(3)y -2 时，x 的值。9. 已知3b, 且反比例函数xby1的图象在每个象限内，y 随x的增大而增大, 如果点3 ,a在双曲线上xby1，求 a 是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页