第一章数与式考点一、概念及分类1、实数按定义分类正整数整数零有理数负整数实数正分数分数有限小数和无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、实数按正负分类正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负分数负实数负无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一本质，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率 ，或化简后含有的数，如3+8 等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001等，一定要注意后面要带省略号；（4）某些三角函数，如sin60o等考点二、数轴、倒数、相反数、绝对值1、数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。对应：实数和数轴上的点是一一对应的关系。 2、倒数如果 a 与 b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1 和-1。零没有倒数。 a 的倒数为a1。3、相反数 :如果 a与 b 互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。相反数等于本身的数是0，任何数都有相反数。a 的相反数为 -a。4、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a| 0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若 |a|=a，则 a 0；若 |a|=-a，则 a 0。绝对值等于本身的是正数和零。化简绝对值的一般步骤：（1）由条件判断绝对值里的式子的正负即绝对值里的式子与0 作比较， （2）化简一个个的小绝对值，（3）绝对值化小括号，（4）去括号，合并同类项。考点三、平方数、立方数、平方根、算数平方根和立方根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 38 页1、平方数正数的平方为正数，0 的平方为 0，负数的平方为正数。平方后等于本身的数是0，1。2、立方数正数的立方为正数，0 的立方为 0，负数的立方为负数。立方后等于本身的数是0，1，-1。3、平方根如果一个数的平方等于a， 那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟） 。 正数 a的平方根记做“a” 。正数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。平方根为本身的数是0. 4、算术平方根如果一个正数的平方等于a，那么这个数叫做a 的算术平方根，记作“a”。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零，负数没有算术平方根。正数a 的算术平方根记做“a”。算术平方根为本身的数是0 和 1。a（a0）0aaa2；注意a的双重非负性：-a（a0）a0 3、立方根如果一个数的立方等于a， 那么这个数就叫做a 的立方根（或 a 的三次方根） 。 a 的立方根记做 “3a” 。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。立方根等于本身的数是0,1，-1。注意：33aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。考点五、实数大小的比较（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b 是实数，,0baba,0babababa0（3）求商比较法：设a、b 是两正实数，;1;1;1babababababa（4）绝对值比较法：设a、b 是两负实数，则baba，即两个负数，绝对值大的反而小。（5）平方法：设a、b 是两负实数，则baba22。（ 6）类别比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。考点六、非负数（1）非负数式子有三个：2a，a，a（a0）。（ 2）若几个非负式子和为零，则每个式子均为0。考点七、实数的运算1.基本运算有：加减乘除乘方开方。3.实数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 38 页第二部分代数式（初中阶段式的最大范围是代数式）考点一、概念及分类代数式按定义分类整式里有单项式、多项式两种。共学了加减乘除四种运算。乘法运算整式有同底数幂的乘法、单项式x 单项式，单项式x 多项式，多项式x 多有理式项式，除法运算有同底数幂除法，单项式除以单项式，多项式除以单项式。代数式分式里只学了分式的加减乘除运算。分式无理式只学了二次根式的运算（包括加减乘除）考点二、整式的有关概念1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。2、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如ba2314，这种表示就是错误的，应写成ba2313。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如cba235是 6 次单项式。3、多项式几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。如36x4y3z+3x5yz3-4xy-1 叫做九次四项式。4.多项式的升降幂排列：指的是按某一个字母的指数从大到小排列叫降幂排列，从小到大排列叫升幂排列。5.整式的概念：单项式和多项式统称整式。6.代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。注意：（ 1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。7.同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。考点二：整式的运算1.整式的加减法：（1）去括号；（ 2）合并同类项；（3）按降幂排列。2.整式的乘法：同底数幂乘法：),(都是正整数nmaaanmnm幂的乘方：),(都是正整数）（nmaamnnm积的乘方：)()(都是正整数nbaabnnn单项式乘以单项式：系数相乘做积的系数，相同字母相乘，对于只在一个单项式中存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。单项式乘以多项式：用单项式去乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加。多项式乘以多项式：用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加。几种特殊形式的多项式乘以多项式：平方差公式：（相同项的平方减去相反项的平方）22)(bababa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 38 页完全平方公式：2222)(bababa2222)(bababa3.整式的除法：同底数幂除法：底数不变，指数相减。)0,(anmaaanmnm都是正整数单项式除以单项式：系数相除，相同字母相除，对于只在被除式里存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。注意：（ 1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。（3）计算时要注意符号，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。（6）),0(1);0( 10为正整数paaaaapp4.幂的性质同 底 数 幂 乘 法 ：),(都 是 正 整 数nmaaanmnm幂 的 乘 方 ：),(都是正整数）（nmaamnnm积的乘方：)()(都是正整数nbaabnnn同底数幂除法：)0,(anmaaanmnm都是正整数), 0(1);0(10为正整数paaaaapp考点三、因式分解（整式的一种变形）1、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：公因式是系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。（2）运用公式法：包括平方差公式)(22bababa完全平方公式222)(2bababa222)(2bababa十字相乘法（口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中，横写因式。）（3）分组分解法：四项式分组分解：二二分，分后提取新的大公因；一三分，分后套用平方差公式。3、因式分解的一般步骤：一提。如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。二套。提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2 项式可以尝试运用平方差公式法分解因式；3 项式可以尝试运用完全平方公式法和十字相乘法分解因式；三分。如果多于三项可考虑分组分解法。四查。只查多项式因式，一查是否为化简的最后结果，二查会否为因式分解的最后结果。考点四、分式1、分式的概念一般地，用A、B 表示两个整式， AB 就可以表示成BA的形式，如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 38 页分式的值不变。（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。3、分式的运算法则;bcadcdbadcbabdacdcba);()(为整数nbabannn;cbacbcabdbcaddcba4.分式的乘除步骤：（1）统一为乘法；（2）把分子分母都因式分解；（3）约分；（ 4）用分子的积做分子，用分母的积做分母。5.分式的加减的步骤：（1）统一成最简公分母，即各个分母系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积；（2）分母不变，分子相加减；（3）处理分子，先化简，再因式分解；（4）约去分子与分母的公因式考点五、二次根式1、二次根式式子)0(aa叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。2、最简二次根式:若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2） 如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。3、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。4、二次根式的性质（1）)0()(2aaa)0(aa（2）aa2)0(aa（3）)0,0(babaab（4）)0, 0(bababa5、二次根式的加减步骤：（1）化为最简二次根式（2）将被开方数相同的二次根式合并。6.二次根式的乘除步骤：（1）统一为乘法；（ 2）根号内的和根号内的乘除，根号外的和根号外的乘除；（3）用分子的积做分子，用分母的积做分母。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 38 页7.二次根式的混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。8.考查a中 a0 的式子，如y=a+2b+11cc-2，可由被开方数大于等于0求得 a=0，b=0，c=1，y=-2 。9. 考查a是非负数的式子（1）若03212cbx，则 x= ，y= ，z= 。（2）当 x= 时，2x有最小值，为。第二章方程（组）与不等式（组）考点一、一元一次方程的概念1、方程含有未知数的等式叫做方程。2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0ax0bax叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数 x 的系数， b 是常数项。5、解方程的五个步骤：一去分母，二去括号，三移项，四合并同类项，五系数化为一。考点二、一元二次方程1、一元二次方程的定义含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式)0(02acbxax，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项， a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数；c叫做常数项。3、一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax是 b 的平方根，当0b时，bax，bax，当 b0时，方程有两个不相等的实数根；当acb42=0 时，方程有两个相等的实数根；当acb420，经过一三象限；若k0，经过一二象限；若b0，y 随 x 的增大而增大，减小而减小；若kc 可以看做是一次函数y=ax+b 在函数值大于 c 时，求自变量 x 的范围； 从图像上看相当于直线y=ax+b 上纵坐标大于c 的部分对应的横坐标的范围。C、一次函数与二元一次方程组的关系：从数的角度看， 解二元一次方程组相当于求自变量为何值时，两个函数的函数值相等；从形的角度看，解二元一次方程组相当于求两条直线交点的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 38 页考点四、反比例函数1、反比例函数的概念一般地，函数xky（k 是常数，k0）叫做反比例函数。 反比例函数的解析式也可以写成1kxy的形式。自变量x 的取值范围是x0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质x 的取值范围是x0， y 的取值范围是y0；当 k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。当 k0 时，抛物线开口向上，a0 时，抛物线开口向下。（2）开口大小：与a有关。a越大开口越小，a越小开口越大。（3）极值：当a 大于0 时，函数有最小值，抛物线有最低点，当x=ab2时， y 有最小值，abacy442最小值；当 a0 时，在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；当 a0 时，在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；2、二次函数)0(2akhxay的性质：（1）开口方向：与a 的正负有关。a0 时，抛物线开口向上，a0 时，抛物线开口向下。（2）开口大小：与a有关。a越大开口越小，a越小开口越大。（3）极值： 当 a 大于 0 时，函数有最小值，抛物线有最低点，当 x=h 时，y 有最小值，ky最小值；当 a0 时，在对称轴的左侧，即当xh 时， y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；当 a0时，在对称轴的左侧，即当xh 时， y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；3、二次函数与一元二次方程的关系(1) 二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，当已知函数值为m， 求自变量 x 的值时，可看做是解一元二次方程ax2+bx+c=m; 反过来，解一元二次方程ax2+bx+c=m，可看做是二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，当已知函数值为m，求自变量x 的值。（2）一元二次方程中的ac4b2，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。当0 时，图像与x 轴有两个交点；当=0 时，图像与x 轴有一个交点；当0 时，图像与x 轴没有交点。4.无论是什么函数，左右移影响着x 的变化，左移x 加，右移 x 减；上下移影响着y 的变化，上移y减，下移 y 加。第四章统计初步与概率初步考点一、平均数1、平均数的概念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 38 页（1）平均数：一般地，如果有n 个数,21nxxx那么，)(121nxxxnx叫做这 n个数的平均数，x读作“ x 拔”。（2）加权平均数：如果n 个数中，1x出现1f次，2x出现2f次，kx出现kf次（这里nfffk21） ， 那 么 ， 根 据 平 均 数 的 定 义 ， 这n个 数 的 平 均 数 可 以 表 示 为nfxfxfxxkk2211，这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中kfff,21叫做权。考点二、统计学中的几个基本概念1、总体所有考察对象的全体叫做总体。2、个体总体中每一个考察对象叫做个体。3、样本从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。4、样本平均数样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。5、总体平均数总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。考点三、众数、中位数1、众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。2、中位数将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。考点四、方差1、方差的概念在一组数据,21nxxx中， 各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数， 叫做这组数据的方差。通常用“2s”表示，即)()()(1222212xxxxxxnsn2.方差的大小决定波动的大小，方差越大波动越大，方差越小波动越小。考点五、频率分布1、频率分布的意义在许多问题中， 只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。2、研究频率分布的一般步骤及有关概念（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：计算极差（最大值与最小值的差）决定组距与组数决定分点列频率分布表精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 38 页画频率分布直方图（2）频率分布的有关概念极差：最大值与最小值的差频数：落在各个小组内的数据的个数频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。考点六、确定事件和随机事件1、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。考点七、随机事件发生的可能性一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。考点八、概率的意义与表示方法1、概率的意义一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p就叫做事件 A 的概率。2、事件和概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母A，B，C，表示事件A 的概率 p，可记为 P（A）=P 考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系1、确定事件概率（1）当 A 是必然发生的事件时，P（A）=1 （2）当 A 是不可能发生的事件时，P（A）=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系事件发生的可能性越来越小0 1 概率的值不可能发生必然发生事件发生的可能性越来越大考点十、列表法求概率1、列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。2、列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。考点十一、树状图法求概率1、树状图法就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。2、运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 38 页通常采用树状图法求概率。考点十二、利用频率估计概率1、利用频率估计概率在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。第五章几何图形考点一、直线、射线和线段1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。2、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线，线动成面，面动成体。3、直线的概念一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。4、射线的概念直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。5、线段的概念直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。6、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示。一条直线可以用一个小写字母表示。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。注意：（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。（2）直线和射线无长度，线段有长度。（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。（4）点和直线的位置关系有线面两种：点在直线上，或者说直线经过这个点。点在直线外，或者说直线不经过这个点。7、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。（2）过一点的直线有无数条。（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 38 页（4）直线上有无穷多个点。（5）两条不同的直线至多有一个公共点。8、线段的性质（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。（3）线段的中点到两端点的距离相等。（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。考点二、角1、角的相关概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。2、角的表示角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：用数字表示单独的角，如1， 2， 3 等。用小写的希腊字母表示单独的一个角，如， ， ， 等。用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如B， C 等。用三个大写英文字母表示任一个角，如BAD ， BAE ， CAE 等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。3、角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180 等分，每一份就是1 度的角，单位是度，用“”表示，1 度记作“ 1”， n 度记作“ n”。把 1的角 60 等分，每一份叫做1 分的角， 1 分记作“ 1 ”。把 1的角 60 等分，每一份叫做1 秒的角， 1 秒记作“ 1” ”。1=60 =60”4、角的性质（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角的大小可以度量，可以比较（3）角可以参与运算。5、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的平分线的判定定理：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。考点三、相交线1、相交线中的角（1）在两条直线相交的图样中，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 38 页邻补角互补，对顶角相等。（2）在三线八角图样中：直线AB ，CD 与 EF 相交（或者说两条直线AB ，CD 被第三条直线EF 所截），构成八个角。其中1 与 5 这两个角分别在AB ，CD 的上方，并且在EF 的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；3 与 5这两个角都在AB ，CD 之间，并且在 EF 的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；3 与 6 在直线 AB ，CD 之间，并侧在EF 的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。2、垂线两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。直线 AB，CD 互相垂直，记作“ABCD”（或“ CDAB”)，读作“ AB 垂直于 CD”（或“ CD 垂直于 AB”）。垂线的性质：性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。考点四、平行线1、平行线的概念在同一个平面内， 不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号 “” 表示，如“ABCD”，读作“AB平行于 CD”。同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。注意：（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。2、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。3、平行线的判定平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。平行线的两条判定定理：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。考点五、命题、定理、证明1、命题的概念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 38 页判断一件事情的语句，叫做命题。理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。3、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。4、定理用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。5、证明判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。6、证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形。（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。考点六、投影与视图1、投影投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。2、视图当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。考点七、三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 38 页4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C 的三角形记作“ABC ”，读作“三角形ABC”。5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注： 在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积三角形的面积 =21底高 =21x 周长 x 内切圆半径。9、全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。10、全等三角形的表示和性质全等用符号 “”表示，读作“全等于” 。如 ABC DEF， 读作“三角形 ABC 全等于三角形DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 38 页11、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理： 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成 “边角边” 或“SAS”）（2）角边角定理： 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成 “角边角” 或“ASA ”）（3） 角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或 “AAS” ）（4）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）12、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。13、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。（2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于45等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为 b，则2ba 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为 B、 C，则 A=180 2B， B= C=2180A14、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形角平分1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 38 页线等腰三角形。高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角等角对等边边底的一半 腰长 周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形15、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。考点八：四边形1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。2、凸四边形把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。3、对角线在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。4、四边形的不稳定性三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。5、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360。推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于)2(n180；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360。6、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为2)3(nn。7、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“ABCD ”表示，如平行四边形ABCD记作“ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 38 页8、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。（2）平行四边形的对边平行且相等。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。（3）平行四边形的对角线互相平分。（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。9、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形10、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。11、平行四边形的面积S平行四边形=底边长高 =ah 12、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。13、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形14、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形15、矩形的面积S矩形=长宽 =ab 16、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形17、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形18、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形19、菱形的面积S菱形=底边长高 =两条对角线乘积的一半精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 38 页20、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。21、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4 条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。22、正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。23、正方形的面积设正方形边长为a，对角线长为b，则 S正方形=222ba24、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的两底的距离叫做梯形的高。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分类如下：一般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形25、梯形的判定（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。26、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。（3）等腰梯形的对角线相等。（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。27、等腰梯形的判定（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。28、梯形的面积（1）如图，DEABCDSABCD)(21梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 38 页（2）梯形中有关图形的面积：BACABDSS；BOCAODSS；BCDADCSS考点九圆1、圆的定义在一个个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。2、圆的几何表示以点 O 为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”2、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）直径等于半径的2 倍。（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧 AB ”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）3、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧4、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 38 页圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。5、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。6、圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。7、点和圆的位置关系设 O 的半径是 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则有：dr点 P 在 O 外。8、过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 38 页9、反证法先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。10、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果 O的半径为 r ，圆心 O到直线 l 的距离为 d, 那么：直线 l 与 O相交dr；11、切线的判定和性质1、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。12、三角形的内切圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。13、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 38 页3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R 和 r，圆心距为d，那么两圆外离dR+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-rdr）两圆内含dr）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。14、弧长和扇形面积1、弧长公式n的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180Rnl2、扇形面积公式lRRnS213602扇其中 n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积raraS221其中 a 是圆锥的母线长，r 是圆锥底面圆的半径。考点十： 解直角三角形一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：C=90A+B=902、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。A=30可表示如下：BC=21AB C=903、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 38 页ACB=90 可表示如下：CD=21AB=BD=AD D为 AB的中点4、勾股定理直角三角形两直角边a，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222cba5、常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=AC BC 二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c 有关系222cba，那么这个三角形是直角三角形。三、锐角三角函数的概念 1、如图，在 ABC中， C=90 锐 角A 的 对 边 与 斜 边 的 比 叫 做 A 的 正 弦 ， 记 为sinA ， 即casin斜边的对边AA 锐 角A 的 邻 边 与 斜 边 的 比 叫 做 A 的 余 弦 ， 记 为cosA， 即cbco s斜边的邻边AA锐角 A的对边与邻边的比叫做A的正切，记为tanA，即batan的邻边的对边AAA2、锐角三角函数的概念锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30 45 60 sin 212223精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 38 页cos232221tan331 34、锐角三角函数的增减性当角度在 0 90 之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在 RtABC 中， C=90， A， B， C 所对的边分别为a，b，c （1）三边之间的关系：222cba（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A+B=90（3）边角之间的关系：,tan,cos,sin; ,tan,cos,sinabBcaBcbBbaAcbAcaA考点十一： 图形的变换一、平移1、定义把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。2、性质（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。二、轴对称1、定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。2、性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。3、判定如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。4、轴对称图形把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 38 页这条直线就是它的对称轴。三、旋转1、定义：把一个图形绕某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。四、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。五、坐标系中对称点的特征1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P （-x，-y）2、关于 x 轴对称的点的特征两个点关于x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等， y 的符号相反，即点P（x，y）关于 x 轴的对称点为 P （x，-y）3、关于 y 轴对称的点的特征两个点关于y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等， x 的符号相反，即点P（x，y）关于 y 轴的对称点为 P （-x，y）考点十二：图形的相似一、预备定理1、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。2、平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线所得的对应线段的比相等。二、相似三角形1、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 38 页用数学语言表述如下：DEBC， ADE ABC 相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一ABC ，都有 ABC ABC ；（2）对称性：若ABC A B C ，则 A B C ABC （3）传递性：若ABC A B C ，并且 A B C ABC，则 ABC ABC。3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法以上各种判定方法均适用定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。4、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。5、相似多边形（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）相似多边形的性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比相似多边形面积的比等于相似比的平方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 38 页6、位似图形如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。附：几何中重要性质定理与判定定理整理一.直线公理：过两点有且只有一条直线。二线段：1.线段公理：两点之间线段最短。2.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合3.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等4.线段的垂直平分线的判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上三补角与余角的性质：同角或等角的补角相等。同角或等角的余角相等。四. 角的平分线1. 定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。2. 性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等3. 判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上五.垂线的性质：（1）过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短六. 平行线的性质：1. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。2两直线平行，同位角相等。3. 两直线平行，内错角相等。4. 两直线平行，同旁内角互补。5. 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等6. 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例七、平行线的判定1. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2. 同位角相等，两直线平行3. 内错角相等，两直线平行4. 同旁内角互补，两直线平行八、三角形的性质1. 三角形的任意一边大于两边之差，小于两边之和。2. 三角形三个内角的和等于1803. 直角三角形的两个锐角互余4. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和5. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角6. 全等三角形的对应边相等、对应角相等7. 三角形全等的判定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 38 页a. 边角边公理 (SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等b. 角边角公理 ( ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等c. 角角边推论 (AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等d. 边边边公理 (SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等e. 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等8.三角形相似的性质：a. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。b. 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比c. 相似三角形周长的比等于相似比d. 相似三角形面积的比等于相似比的平方9. 三角形相似的判定：a. 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似b. 两角对应相等，两三角形相似（ASA ）c. 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）d. 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）e. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似f. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似10. 等腰三角形的性质a. 等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）b 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合11. 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）12 等边三角形的性质a. 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60b. 正三角形面积243a( a 表示边长 ) 13. 等边三角形的判定：a. 三个角都相等的三角形是等边三角形b. 有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形14. 直角三角形的性质：a. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的一半b. 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半c. 勾股定理直角三角形两直角边a、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即a2+b2=c215. 直角三角形的判定a. 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形b. 有一个角为直角的三角形是直角三角形c. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形16. 推论 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边17. 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半18. 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例19 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 38 页三角形的第三边九.四边形的性质1.四边形的内角和等于3602.四边形的外角和等于3603.多边形内角和定理n 边形的内角的和等于（n-2） 1804.任意多边的外角和等于3605. 平行四边形的性质：a. 平行四边形的对角相等,邻角互补。b. 平行四边形的对边相等，对边平行。C平行四边形的对角线互相平分6 平行四边形的判定：a两组对角分别相等的四边形是平行四边形b. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形c. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形d. 一组对边平行相等的四边形是平行四边形e. 对角线互相平分的四边形是平行四边形7.矩形的性质a. 矩形的四个角都相等，均为直角b. 矩形的对边平行，对边相等。c. 矩形的对角线互相平分且相等8. 矩形的判定a. 有三个角是直角的四边形是矩形b. 有一个角为直角的平行四边形为矩形c. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形d. 对角线相等的平行四边形是矩形9. 菱形的性质a. 菱形的四条边都相等,对边平行。b. 菱形的对角线互相平分、互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角c. 菱形面积 =对角线乘积的一半，即S=（a b） 2 10. 菱形的判定a. 四边都相等的四边形是菱形b. 一组邻边相等的平行四边形是菱形c. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形d. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形11. 正方形的性质a. 正方形的四个角都是直角。b. 正方形的四条边都相等，对边平行。c. 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角12. 正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。13. 等腰梯形的性质a. 等腰梯形在同一底上的两个角相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 38 页b. 等腰梯形的两条对角线相等14. 等腰梯形的判定a. 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形b. 对角线相等的梯形是等腰梯形15. 梯形的性质a. 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b） 2 S=Lh (L 为梯形的中位线) b. 推论 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰十圆的性质1 圆是定点的距离等于定长的点的集合2 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合3 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合4 同圆或等圆的半径相等5 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6 不在同一直线上的三点确定一个圆。7 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧8 推论 1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧9 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧10 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧11 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等12 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形13 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等14 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等15 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半16 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等17 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径18 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角19.直线和圆的位置关系：直线L 和 O 相交dr 直线 L 和 O 相切 d=r 直线 L 和 O 相离 dr 20.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线21 切线的性质定理a.圆的切线垂直于经过切点的半径b. 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点c. 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心d. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，e. 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角22 圆的外切四边形的两组对边的和相等23.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等24 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上25. 圆与圆的位置关系两圆外离dR+r 两圆外切d=R+r 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 38 页两圆相交R-rdR+r(Rr) 两圆内切d=R-r(Rr) 两圆内含dR-r(Rr) 26 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦27 定理 把圆分成 n(n 3): 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形28 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆29 正 n 边形的每个内角都等于（n-2） 180 n 30 定理 正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的直角三角形31. 弧长计算公式：L=180rn32. 扇形面积公式：S 扇形 =lrrn213602十一 .轴对称的性质1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上4. 逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称十二、中心对称的性质1. 关于中心对称的两个图形是全等的2. 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分3. 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称某些数列前 n 项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+ +n=21nn, 1+3+5+7+9+11+13+15+(2n -1)=n22+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 38 页