1 / 10 第 7 章三角形精练精析提要： 本章的考查重点是三角形的性质，包括等腰三角形、直角三角形的一些特殊性质由于全等三角形是研究图形相等的重要工具，所以这一部分内容也是学好其它几何知识的基础本章虽然内容较多，但各部分知识之间的联系密切，既要注意了解各部分知识之间的联系，又要保持各部分知识相对的独立性本章的难点是推理入门以前在第一册中已了解了推理证明，以及证明几何命题的一般方法步骤，是为现在正规练习证明做准备的证明要求掌握有理有据地推理，精练准确地表达过程，有一定难度习题一、填空题1如果三角形的一个角等于其它两个角的差，则这个三角形是_三角形2已知 ABC 中， AD BC 于 D，AE为 A 的平分线，且B=35 ， C=65 ，则 DAE 的度数为 _ 3三角形中最大的内角不能小于_，两个外角的和必大于_ 4三角形 ABC 中， A=40 ，顶点 C 处的外角为110 ，那么 B _ 5锐角三角形任意两锐角的和必大于_6三角形的三个外角都大于和它相邻的内角，则这个三角形为 _ 三角形7在三角形ABC 中，已知 A80 ， B50 ，那么 C 的度数是8已知 A=12B=3C，则 A= 9已知，如图7-1， ACD130 ， A B，那么 A 的度数是10如图7-2，根据图形填空：（1） AD 是 ABC 中 BAC 的角平分线，则 （2）AE 是 ABC 中线，则（3）AF 是 ABC 的高，则90 11如图 7-3 所示，图中有个三角形，个直角三角形12在四边形的四个外角中，最多有个钝角，最多有个锐角，最多有个直角13四边形ABCD 中，若 A+B=C+D，若 C=2D，则 C14一个多边形的每个外角都为30 ，则这个多边形的边数为；一个多边形的每个内角都为 135 ，则这个多边形的边数为15某足球场需铺设草皮，现有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形6 种形状的草皮，请你帮助工人师傅选择两种草皮来铺设足球场，可供选择的两种组合是16若一个n 边形的边数增加一倍，则内角和将17在一个顶点处，若此正n 边形的内角和为，则此正多边形可以铺满地面18如图 7-4， BCED 于 O， A=27 ， D=20 ，则 B= ， ACB= 图 7-1 图 7-2 图 7-3 图 7-4 图 7-5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 / 10 19 如 图7-5 ， 由 平 面 上 五 个 点A 、 B 、 C 、 D 、 E连 结 而 成 ， 则A+B+C+D+E= 20以长度为5cm、 7cm、9cm、 13cm 的线段中的三条为边，能够组成三角形的情况有种，分别是二、选择题 21已知三角形ABC 的三个内角满足关系B C=3 A，则此三角形（）A一定有一个内角为45B一定有一个内角为60C一定是直角三角形D一定是钝角三角形 22如果一个三角形的三个外角之比为2： 3： 4，则与之对应的三个内角度数之比为（）A 4：3：2 B3：2：4 C5： 3：1 D3：1：5 23三角形中至少有一个内角大于或等于（）A 45B55C60D65 24如图 7-6，下列说法中错误的是（）A 1 不是三角形ABC 的外角B BA+B25如图 7-7，C 在 AB 的延长线上， CEAF 于 E，交 FB 于 D，若 F=40 ， C=20 ，则FBA 的度数为（）A50B60C70D8026下列叙述中错误的一项是（）A三角形的中线、角平分线、高都是线段B三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部C只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形D三角形的三条角平分线都在三角形内部27下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）A1，5，7 B3，4， 7 C 7，4，1 D5，5，5 28如果三角形的两边长为3 和 5，那么第三边长可以是下面的（）A1 B9 C3 D 10 29三条线段a5， b3，c 的值为整数，由a、b、c 为边可组成三角形（）A1 个B 3个C5 个D无数个30四边形的四个内角可以都是（）A锐角B直角C钝角D以上答案都不对31下列判断中正确的是（）A四边形的外角和大于内角和B若多边形边数从3 增加到 n（n 为大于 3的自然数），它们外角和的度数不变C一个多边形的内角中，锐角的个数可以任意多D一个多边形的内角和为188032一个五边形有三个角是直角，另两个角都等于n，则 n 的值为（）A108 B125 C 135 D15033多边形每一个内角都等于150 ，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（）A7 条B8 条C9 条D10 条34如图 7-9，三角形ABC 中， D 为 BC 上的一点，且SABD=SADC，则 AD 为（）A高B角平分线C中线D不能确定图 7-6 图 7-7 图 7-9 图 7-10 图 7-11 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 / 10 35如图 7-10，已知 1 2，则 AH 必为三角形ABC 的（）A角平分线B中线C一角的平分线D角平分线所在射线36现有长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）A 1B 2 C 3 D 4 37如图7-11，三角形ABC 中， AD 平分 BAC， EGAD ，且分别交AB、AD、AC 及 BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（）38如图 7-12，在三角形ABC 中， 1 2，G 为 AD 的中点，延长BG 交 AC 于 EF 为AB 上的一点， CFAD 于 H下列判断正确的有（）（1）AD 是三角形 ABE 的角平分线（2）BE 是三角形ABD 边 AD 上的中线（3）CH 为三角形ACD 边 AD 上的高A1 个 B2个 C3 个D0 个三、解答题39如图，在三角形ABC 中， B C，D 是 BC 上一点，且FD BC，DEAB， AFD140 ，你能求出 EDF 的度数吗？40如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，甲、乙、丙在同一条直线上，而且乙、丙在甲的正东方，丁岛在丙岛的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52 方向，乙岛在丁岛的南偏东40 方向那么，丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向？41如图，已知三角形ABC 的三个内角平分线交于点I，IH BC 于 H，试比较 CIH 和BID 的大小42如图，在三角形ABC 中， ADBC ，BEAC，CF AB， BC=16， AD 3，BE=4，CF=6，你能求出三角形ABC 的周长吗？图 7-12 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 / 10 43如图，在三角形ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，三角形ABD 的周长比三角形ACD 的周长小 5，你能求出AC 与 AB的边长的差吗？44已知等腰三角形的周长是16cm（ 1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（ 3）若三边长都是整数，求三角形各边的长45如图，四边形ABCD 中， A C=90 ，BE 平分 ABC，DF 平分 ADC，试问 BE 与DF 平行吗？为什么？46某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是1125 ，老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少？47把边长为2cm 的正方形剪成四个一样的直角三角形，如图所示请用这四个直角三角形拼成符合下列条件的图形：（1）不是正方形的菱形；（2）不是正方形的长方形；（3）梯形；（ 4）不是长方形、菱形的的平行四边形48下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题“ 已知等腰三角形ABC 的角 A 等于 30 ，请你求出其余两角” 同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说: “ 其余两角是30和 120”；王华同学说：“ 其余两角是75 和 75 ” 还有一些同学也提出了自己的看法（1）假如你也在课堂中, 你的意见如何? 为什么？（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受？（用一句话表示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 / 10 49如图，凸六边形ABCDEF 的六个角都是120 ，边长AB2cm，BC=8cm， CD11cm，DE6cm，你能求出这个六边形的周长吗？参考解读：一、填空题1 直角2 15 3 60 ，1804 70 5 90 6锐角7 C180 80 50 50 8设 A 的度数为x则 B2x， Cx所以 x2xx180 ，解得 x54 所以 A54 9 A BACD65 10（ 1）BAD， CAD，BAC；（2）BE， CE，BC；（3）AFB，AFC 11解：有5 个三角形，分别是ABD ， ADE， CDE ， ADC， ABC；有 4 个直角三角形，分别是ABD，ADE， CDE， ADC123，2，4 131201412， 8 15正三角形和正四边形、正三角形和正六边形、正四边形和正八边形中任选两种即可16增加（ n 4） 18017360 或 720 或 18018解：因为 BED A D=47 ，所以 B180 90 47 43 所以 BCD27 43 70 所以 ACB180 70 110 19解：连结BC，如图，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 / 10 则 DBC ECB D+E所以 A+B+ C+D+E A+B+C+DBC ECB180 20解：有3 种分别以长为5cm，7cm，9cm； 7cm，9cm13cm；5cm， 9cm，13cm 的线段为边能组成三角形二、选择题21A22C23C24D25C26C27D28C29C30B31B32C33C34C（点拨：可能会错选A 或 B有的同学一看到面积就认为与高相关，故错选A；有的同学认为平分内角必平分三角形的面积，故错选B其实，因为ABD 与 ACD 同高h，又SABD=SADC，即BD h= CD h，所以， BD=CD，由此可知， AD 为三角形ABC 中 BC 边的中线）35D（点拨：可能会错选A 或选C错选A 的同学，只注重平分内角而忽视了三角形的角平分线为一线段这一条件；而错选C 的同学，实质上与错选A 的同学犯的是同一个错误，显然这里 “ 角平分线 ” 与 “ 一角的平分线” 是一个意思，因为前提条件是说“ AH 必为三角形ABC的” ）36A（点拨：由三角形的三边关系知：若长度分别为2cm、4cm、6cm，不可以组成三角形；若长度分别为4cm、6cm、8cm，则可以组成三角形；若长度分别为2cm、4cm、8cm，则不可以组成三角形；若长度分别为2cm、6cm、8cm，则不可以组成三角形即分别为2cm、4cm、6cm、8cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为1，故应选A）37C（点拨：因为EGAD，交点为H，AD 平分 BAC，所以在直角三角形AHE 中， 190，在三角形ABC 中，易知 BAC180 （ 2 3），所以 190 180 （ 2 3） =（ 3+2）又因为 1 是三角形EBG 的外角，所以12 G所以 G 1 2（ 3+2） 2（ 3 2）38A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 / 10 （点拨：由1 2，知 AD 平分 BAE，但 AD 不是三角形ABE 内的线段，所以（1）不正确；同理， BE 虽然经过三角形ABD 边 AD 的中点 G，但 BE 不是三角形ABD 内的线段，故（ 2）不正确；由于CHAD 于 H，故 CH 是三角形ACD 边 AD 上的高，（ 3）正确应选 A）三、解答题39解读：要想求EDF 的度数，我们可以利用平角定义，只要能求出EDB 即可而EDB 在三角形BDE 中，只要能求出B 就可以利用三角形内角和求EDB而 B 又等于 C，题中告诉了三角形DFC 的一个外角AFD140 ，所以我们能得出C 的度数解：因为 AFD 是三角形DCF 的一个外角所以 AFD =C+FDC 即 140 C90 解得 C50 所以 B C50 所以 EDB180 90 50 40 所以 FDE 180 90 40 50 40解读：我们可以用字母代替甲、乙、丙、丁，用角度代表方向把题中数据与图形一一对应，利用各方向的关系可求出丁岛分别在甲岛和乙岛的方向解：设甲岛处的位置为A，乙岛处的位置为B，丙岛处的位置为D，丁岛处的位置为C如图：因为丁岛在丙岛的正北方，所以 CD AB因为甲岛在丁岛的南偏西52 方向，所以 ACD52 所以 CAD180 -90 -52 38 所以丁岛在甲岛的东偏北38 方向因为乙岛在丁岛的南偏东40 方向，所以 BCD=40 所以 CBD180 -90 -40 50 所以丁岛在乙岛的西偏北50 方向41解读：利用角平分线的性质解解：因为AI、BI、CI 为三角形ABC 的角平分线，所以 BAD=BAC， ABI=ABC， HCI =ACB所以BADABI+HCI =BAC+ABC+ACB（ BAC+ABC+ACB） 180 90 所以 BAD ABI90 HCI 又因为 BAD ABI BID，90 HCI CIH ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 / 10 所以 BID CIH 所以 BID 和 CIH 是相等的关系42解读：本题已知一边长和三条高，我们可以利用三角形的面积公式求得另外两边长，三边相加即可得到三角形的周长解：由三角形面积公式可得SABCBC ADAC BE，即 16 34 AC，所以AC12由三角形面积公式可得SABCBC ADAB CF，即 16 36 AB所以 AB8所以三角形ABC 的周长为 16+12+83643解读：本题要求AC 与 AB 的边长的差，且AC 与 AB 的长度都不知道，不少同学感到无从下手其实，只要我们仔细分析分析题中条件：三角形ABD 的周长比三角形ACD 的周长小 5，即 AC-AB+CD-BD=5，又 AD 是 BC 边上的中线，所以BD=CD所以 AC-AB=5解： AC-AB=544解读：在第（1）和第（ 2）问中，没有说明所给边长是腰长还是底边长，因此我们要进行分类讨论在第（3）问中，只给出了三边长都是整数，而此三角形又是等腰三角形，所以其最长边小于8cm，我们可以用列表法一一列出各组边长解：（ 1）如果腰长为4cm，则底边长为16-4-48cm三边长为4cm，4cm， 8cm，不符合三角形三边关系定理所以应该是底边长为4cm所以腰长为（16-4） 26cm三边长为 4cm， 6cm，6cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为6cm（ 2）如果腰长为6cm，则底边长为16-6-64cm三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理所以另外两边长分别为6cm 和 4cm如果底边长为6cm，则腰长为（16-6） 25cm三边长为6cm，5cm，5cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为5cm（ 3）因为周长为16cm，且三边都是整数，所以三角形的最长边不会超过8cm 且是等腰三角形，我们可用列表法，求出其各边长如下： 7cm，7cm，2cm； 6cm，5cm，5cm；6cm，6cm，4cm，共有这三种情况45解读：要想BE 与 DF 平行，就要找平行的条件题中只给出了A C=90 ，BE 平分 ABC，DF 平分 ADC那么我们是利用同位角相等呢还是利用同旁内角互补？经过仔细观察图形我们知道BFD 是三角形ADF 的外角，则BFD A+ADF 而 ADF 是ADC 的一半， ABE 是 ABC 的一半，所以我们选择用同旁内角互补来证平行解： BE 与 DF 平行理由如下：由 n 边形内角和公式可得四边形内角和为（4-2） 180 360 因为 A C=90 ，所以 ADC+ABC=180 因为 BE 平分 ABC，DF 平分 ADC，所以 ADF ADC ， ABEABC因为 BFD 是三角形ADF 的外角，所以 BFD A+ADF 所以 BFD ABE A+ADCABC A+（ ADC+ABC） 90 90180 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 / 10 所以 BE 与 DF 平行46解读：我们发现1125 不能被 180 整除，所以老师说少加了一个角的度数我们可设少加的度数为x，利用整除求解解：设少加的度数为x则 1125 180 7-135 因为 0 x180 ，所以 x135 所以此多边形的内角和为1125 +135 1260 设多边形的边数为n，则（ n2） 180 1260 ，解得 n9所以此多边形是九边形，少加的那个内角的度数是135 47解读：题中告诉了我们按要求拼成解：如图：48解读：本题首先要求考生在阅读数学课堂的一个学习片断后，对两名学生的说法提出自己的看法，这时考生应抓住题中条件“ 等腰三角形ABC 的角 A 等于 30”这个不确定条件进行分析研究当A 是顶角时，设底角是 ， 30+=180， =75，其余两底角是75和 75 当 A 是底角时，设顶角是 ， 30+30+=180， =120，其余两角是30 和120 由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题的错误对于第（ 2）问应在第（1）问的解答的基础上，可总结出“ 根据图形位置关系，实施分类讨论思想方法解多解型问题” ，“ 考虑问题要全面” 等小结：三角形的中线、角平分线、高（线）是三角形中三条十分重要的线段，初学者常因不能准确理解其概念的实质内涵，而出现这样或那样的错误，现举例分析如下，以达到亡羊补牢或未雨绸缪的目的49解读：要求六边形的周长，必须先求出边EF 和 AF 的长由六边形ABCDEF 的六个角都是120 ，可知六边形的每一个外角的度数都是60 ，如图4，如果延长BA，得到的PAF=60 ，延长EF，得到的 PFA=60 ，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF中， P 的度数为180 60 60 60 ，因此三角形APF 是等边三角形同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC 为等边三角形分别延长FE、CD 交于点 H，则三角形DHE 也是等边三角形所以P= G=H=60 所以三角形GHP 也是等边三角形于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE 、三角形GHP 四个等边三角形于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF 和 EF 的长，从而求出六边形ABCDEF 的周长解：如图4，分别作直线AB、 CD、EF 的延长线使它们交于点G、H、 P因为六边形ABCDEF 的六个角都是120 ，所以六边形ABCDEF 的每一个外角的度数都是60 所以三角形APF、三角形BGC、三角形 DHE 、三角形GHP 都是等边三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10 / 10 所以 GC=BC=8cm，DH=DE6cm所以 GH=811625cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-815cm，EF=PH-PF-EH =25-15-64cm所以六边形的周长为28+11+6+4+1546cm小结：本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，利用六边形构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到解决方程思想应用非常广泛我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页