第八章 平面向量第1讲平面向量及其线性运算考纲要求考纲研读1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示2向量的线性运算(1)掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义(2)掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义3平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强从近几年的高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示图形的平移等基本概念、运算及简单应用2本节主要掌握平面向量的加减法运算及其几何意义；掌握平面向量的线性运算坐标运算以及用向量的知识解决几何问题.1两个重要定理baba(a0)(1)向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得 ba，即_(2)平面向量基本定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数1，2，使_.a1e12e2(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)x1y2x2y10(x2x1，y2y1)1(2011 年广东惠州一模)若向量 a(x,6)(xR)，则“|a|10”是“x8”的()BA充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件D图 8114一质点受到平面上两个力 F1，F2(单位：牛顿)的作用已知 F1，F2 成 60角，且 F1，F2 的大小分别为 10 和 8，则此质点受到的合力 F 的大小为_.B100考点1 平面向量的基本概念例1：判断下列命题是否正确，并说明理由：(1)若|a|b|，则 ab；(2)若 ab，则|a|b|；(3)若 ab，bc，则 ac；(4)若 ab，bc，则 ac；(5)若|a|0，则 a0；(6)若0，则a0；(8)若将所有的单位向量都平移到同一个起点，则它们的终点构成的图形是一个单位圆解题思路：本题主要考查零向量、单位向量、相等向量、平行向量等向量的基本概念判断的主要依据是这些概念的定义解析：(1)不正确，因为a 与b 的方向不一定相同(2)正确，因为相等的两个向量的长度一定相等(3)正确ab，a 与b 的长度相等且方向相同bc，b 与 c 的长度相等且方向相同a 与c 的长度相等且方向相同，ac.(4)不正确，因为当b0 时，a 与 c 不一定平行(5)正确，因为长度为零的向量就是零向量(6)不正确，因为当0 时，a0.(7)不正确，因为 A，B，C，D 可能四点共线(8)正确，因为单位向量的长度都等于 1，若它们的起点相同，则它们的终点在同一个单位圆上(1)若要判定命题不正确，则只需举出一个反例若要判定命题是正确的，则需要证明(2)若ab，则ab；反之不成立，这点要特别注意(3)一般来讲，若ab0，则说明两向量共线并且方向向反【互动探究】图 812考点2 向量共线或平行问题【互动探究】2(2011 年广东广州一模)已知向量 p(2，3)，q(x,6)，且 pq，则|pq|的值为()B考点3向量的应用【互动探究】图 D13图 D14易错、易混、易漏14对向量概念不清楚造成的错误轨迹一定通过ABC 的()A外心B内心C重心D垂心答案：B【失误与防范】如果通过向量的基本运算则难以入手，不少1共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础2对于两个向量平行的充要条件：abab，只有b0才是正确的而当b0 时，ab 是 ab 的必要不充分条件3向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题1向量的运算性质与实数有关性质运算相混淆从而出现错误在学习本节内容时，注意这些运算性质的相同与不同之处2对向量的有关的几何意义不理解，向量问题大多数体现数形结合，希望同学们在学习过程中更多地关注向量的“形”