1函数的单调性与极值1.2函数的极值课前预习学案“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”说的是庐山的高低起伏，错落有致在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点. 同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是附近的最低点那么，在数学上，如何来刻画这种现象呢？(1)在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在_的函数值都_的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值(2)在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在_的函数值都_的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值(3)_与_统称为极值，_与_统称为极值点1函数极值的有关概念任何一点不大于x0点任何一点不小于x0点极大值极小值极大值点极小值点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧的领域而言的(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，也可能没有，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值即极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大(如图所示)(1)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是_，在区间(x0，b)上是_，则x0是极大值点，f(x0)是极大值(2)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是_，在区间(x0，b)上是_，则x0是极小值点，f(x0)是极小值2函数极值的判断增加的减少的减少的增加的函数的导数与极值的关系：(1)对于可导函数，极值点必为导数为零的点，但反之，导数为零的点不一定是极值点，如f(x)x3在x0处导数为零，但不是极值点(2)导数不存在的点也有可能是极值点，如f(x)|x|在x0处不可导，但该点为极值点综合(1)(2)可得，函数的极值点只能是不可导点或导数为零的点1关于函数的极值，有下列说法导数为零的点一定是极值点；极值点的导数一定为零；极大值一定大于极小值；f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数；f(x)在(x0x，x0x)上可导且f(x0)0，x0左侧f(x)0，右侧f(x)0那么x0是极大值点；f(x)在区间(x0x，x0x)上可导，f(x0)0，x0左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是函数的极小值其中正确说法是()ABCD解析：根据极值的概念逐一判断可知，错误，正确，故选D.答案：D2函数y13xx3有()A极小值1，极大值1B极小值2，极大值3C极小值2，极大值2 D极小值1，极大值3解析：y33x2，令y33x20，得x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x(，1)1(1,1)f(x)0f(x)递减极小值递增3已知函数f(x)x3ax2bx在x1处有极值为1，则f(2)等于_解析：由题意得f(1)0，f(1)1，f(x)3x22axb，即f(1)32ab0，f(1)1ab1，得a1，b1，f(2)84a2b2.答案：2课堂互动讲义求下列函数的极值：(1)f(x)x42x2；(2)f(x)x2ex.求函数的极值边听边记(1)函数f(x)的定义域为R.f(x)4x34x4x(x1)(x1)令f(x)0，得x0或x1或x1.列表：x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)f(x)000f(x)极小值极大值极小值求可导函数yf(x)极值点的步骤：(1)确定函数的定义域(2)求出导数f(x)(3)解方程f(x)0.(4)对于方程f(x)0的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0.求a、b的值思路导引解答本题可先求f(x)，利用x1时有极值0这一条件建立关于a、b的方程组解方程组可得a、b的值，最后将a、b代入原函数验证极值情况已知函数的极值求参数值当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.7分当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3).9分对于可导函数f(x)，通过极值点与导数的关系可知极值点必为f(x)0的根，而要明确是极大值点，还是极小值点必须考察极值点附近两侧的导数的符号，同时本题从逆向思维出发，实现了问题由已知向未知的转化，在转化过程中，利用了列表，直观易于得到极值2已知函数f(x)x5ax3bx1，仅当x1，x1时取得极值，且极大值比极小值大4.(1)求a、b的值；(2)求f(x)的极大值和极小值解析：(1)f(x)x5ax3bx1的定义域为R.f(x)5x43ax2b.x1时有极值，53ab0.b3a5.设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点思路导引(1)中利用求极值的步骤进行；(2)结合第(1)问的结论利用数形结合加以分析函数极值的应用利用极值判断方程根的问题，实际上是利用连续函数的一个原理，即若连续函数f(x)在区间(a，b)内，有f(a)f(b)0，则f(x)与x轴至少有一个交点具体解题时应结合图形作全面分析若函数f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则常数c_.【错解】f(x)(xc)2x2(xc)(xc)(3xc)由f(x)在x2处有极大值，f(2)0.即(2c)(6c)0，解得c2或c6.答案：2或6【错因】上述解答时没考虑极值点与导数的关系可导函数f(x0)0是x0为极值点的必要不充分条件若x0为极大值点，则f(x)在x0附近左正右负，若x0为极小值点，则f(x)在x0附近左负右正x2时，f(x)有极小值，与已知矛盾若c6时，f(x)(x6)(3x6)3(x2)(x6)当x2时，f(x)0，f(x)在(，2)上增加，当2x6时，f(x)0，f(x)在(2,6)上减少x2时，f(x)有极大值，符合题意满足条件的c的值为6.答案：6