学习必备欢迎下载一、函数、极限、连续（一）函数1、 分段函数讨论 y=f（x）在分段点处的极限、连续、 导数等问题时， 必须分别 先讨论 左、右极限，左、右连续性和左、右导数，需要强调：分段函数不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。Eg：f(x)=|x|; 和符号函数f(x)=sgn x; 两个都是分段函数。2、 隐函数由方程 F（x，y）=0 确定 y=y（x）称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数，（不一定一个单值函数） ，有的不可以化。3、 反函数只讨论单值函数。4、 区分基本初等函数和初等函数(1) 基本初等函数：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；他们的 概念、性质、图像意义深远，如利用图像求极限(2) 初等函数： 由常数和基本初等函数经过有限次 的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。Eg：分段函数不是初等函数。5、复合函数6、考研数学中常出现的非初等函数(1)用极限表示的函数)(limxfynn),(limxtfyxt(2)用变上、下限积分表示的函数xxfdxdytfdtxfy0)()(,)(连续，则其中)()(11222121)()()()()(xx,)(xxxxfxxfdxdytfdttfy则连续，）可导，（），（其中7、函数的几种性质（1）有界性；（2）奇偶性；（2）单调性：区分（严格）单调增加（)()(2121xfxfXxx，定义域） ，单调不减（ )()(21xfxf） ；单调减少，单调不增。（3）周期性 ;)()(xfTxf，一般把最小正周期称为周期。例题： 1、函数的定义域（1）求|5|ln1xxxy的定义域定义域为),6()6 ,5()5,4()4, 10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载（ 2 ） 设f （ x ） 的 定 义 域 为 -a ， a （ a0 ） , 求f(12x) 的 定 义 域 。a-1-xa1-a1xa-11|1,01101|1,01111,1222或也即时，当，则时，当则解：要求axaaaaxaxaaaxaaxa（重点是掌握这种方法及解题速度）2、函数的值域（ 1）有时直接不好求时，运用反函数的定义域即是原函数的值域！（ 2）分段函数求值域和反函数时，要一段一段地考虑去求。3.求复合函数有关表达式（第一、二种较多，第三种较少）（ 1）已知 f（x）和 g（x） ，求)(xgf。，对正整数根据数学归纳法可知，则若解：求：设2222221222221)1(111/1)(1)()(,121)(1)()()()()(.,1)(egnxxxfnxkxkxxkxxxfxfxfkxxxfxxxfxfxffxfxfxfffxxxfnkkkkn(2)已知 g(x)和 fg(x) ，求 f（x）-换元法（设中间变量t）分，求出原函数。先求导函数，再运用积，因此解：令，求，且已知xxffxtdtttfxftttfeftxtexffxeefegxxxxxx21212ln21)(,0) 1 (ln21|ln21ln)1()(ln)()(,ln,)(0)1 ()(:(3)()()(xgxgfxf，求和已知1)()(1ln)()(:)(,)(),1ln()(:1xexgxxgxgfxfxgxgxxgfxxfeg实际上为求反函数问题解求已知（4）有关复合函数方程-换元法的灵活应用4、有关四种性质为偶函数。为奇函数，则若）设（)()(),()(1xFxfxfxF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载xfdttfFxF0,)()0()(证明：为奇函数程中换元。莱布尼茨公式和运算过运用牛顿为偶函数。-)()()()0()()()0()()0()(000xFxFduufFudufFdttfFxFxxx（2）求定积分时，函数奇偶性的应用：aaaxfdxxfxfdxxf0)()(2)(-0)(为偶函数，当为奇函数，当必须记住的公式：（二）极限1、性质：(1)唯一性： 设 limBABxfAxf则,)(lim,)(2)不等式性质：BxgAxf)(lim,)(lim设)0,0)()()(,),()(性情形也称为极限的保号注：当变化一定以后，有则反之，则变化一定以后，总有若BxgxgxfxBABAxgxfx。， 而 不 能 保 证 恒只 能 保 证 极 限 值若 变 量00,0)(xf(如 1/n 的极限 ) (3) 局部有界性：是有界的。当变化一定以后，则设)()(limxfxAxf(4) 运算法则：BxgAxf)(lim,)(lim设)0()(lim)5()0()()(lim)4()()(lim)3()()(lim)2()()(lim) 1()(AAxfBBAxgxfBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxg则2、无穷小与大不 是 无 穷 小 ）或 其 它 时 ，而为 无 穷 小 ，时，当的变化过程有关，（注：无穷小与为无穷小。，则称若xxxxxxxfxfx1x101lim)(0)(lim)1 (0数列的极限，x时,为无穷小；函数的极限，只有当自变量取某种极限状态时，函数的极限等于0，它称为无穷小。（2）为无穷大。则称变化一定以后，总有，当任给)(,|)(|0xfMxfxM)(l i mxf记以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载（3）无穷小与无穷大的关系（4）无穷小与极限的关系：0)(lim)()()(limxxAxfAxf其中（5）两个无穷小的比较：等价低阶的无穷小。同阶、是比；记为高阶的无穷小，是比，则，若fg)()()()(0)()(limxgoxfxgxfllxgxf（6）常见的等价无穷小：)()(xgxf。时，；时，)(1)(10)(1)1( ,)1ln(,1,21cos12sin2,arcsin,arctan,tan,sin022xfxfxfxxxxxexxxxxxxxxxxxx（7）无穷小的重要性质：有界变量乘无穷小仍是无穷小。3、求极限的方法（ 1）利用极限的四则运算和幂指数运算法则（见上面）（ 2）两个准则准则 1、单调有界数列极限一定存在mAAxnmxnxxnnnnn存在，且则为正整数又为正整数若lim)()(1MAAxnMxnxxnnnnn存在，且则为正整数又为正整数若lim)()(1准则 2、 （夹逼准则）)()()(xhxfxg设AxfAxhAxg)(lim,)(lim,)(lim则若(3) 两个重要极限exxxxxxxxx100)1 (lim)11(lim21sinlim1、公式、公式（4）用无穷小重要性质和等价无穷小代换(见上面 ) （5）用泰勒公式（比等价无穷小更深刻）)()!2()1(! 4! 21cos)()!12()1(! 5! 3sin)(! 2102421212532nnnnnnnnxxonxxxxxonxxxxxxonxxxex时，当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载)(!)1() 1(! 2) 1(1)1 ()(12)1(53arctan)()1(32)1ln(21212153132nnnnnnnnxoxnnxxxxonxxxxxxonxxxxx（6）洛必达法则法则 1、 （00型）设情形）不存在且不是无穷大量情形，则不能得出不存在且不是无穷大量（注：如果或则或皆存在变化过程中，)()(lim)()(lim)()()(lim)()()(lim3)(),(20)(lim,0)(lim1xgxfxgxfAxgxfAxgxfxgxfxxgxf法则 2、 （型）设)()()(lim)()()(lim3)(),(2)(lim,)(lim1或则或皆存在变化过程中，AxgxfAxgxfxgxfxxgxf（7）利用导数定义求极限基本公式：)()()(lim0000如果存在xfxxfxxfx（8）利用定积分定义求极限基本公式：nkndxxfnkfn110)()(1lim如果存在函数连续的前提下（9）其他综合方法（10） 求极限的反问题有关方法例题： 1、通过各种基本技巧化简后直接求出极限（1）提取相同因子，变成相似的分子与分母，再求。（2）等差数列：2)1(2)()1(111dnnnaaansdnaannn；等比数列：11)1(11111qqqaqnasqaannnn，；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载提取公因子，利用等比数列公式，然后利用因式分解，求极限Eg1：rarraararaarararannnnnn111lim)(lim)(lim, 1| ,011解：当设Eg2：2)1(1 121lim)1(111lim02222ddnnnndnndndnn解：原式为常数，求设（3）分子、 分母同除以一个公因子的n 次方， 主要利用当0lim1|nnrr时，。（4）裂项法之后，再求和，得极限222222212222222222122111211)(1)2(1)1(11211)()2()(11)()()()2()()2(lim:21211111112111)(1)11(1)(1)(1lim:llnnnllkklkllkklkkklklkklkllkklklleglllnnlllkklkkllkklkklegnknknnknkn因此原式解：是正整数，求设）（因此原式是正整数，求设(5)利用平方差公式、立方差公式)(2233babababa构造后等价无穷小代换，洛必达法则2、用两个重要公式(1)三角函数的倍角公式：)12s i n2lim(2sin22cos4cos2cos2sin2lim010:2cos4cos2coslim1nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx时，原式当时，原式当解求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载xxxxxxxxxxxnnnnnnnnns i n2s i n2s i nlim2sin22sin2cos4cos2cos2lim11121)2(cos)sin(120sin2cos20cot022222)sin(1lim)sin1 (lim)(coslimexxxxxxxxxxx(2)“凑”公式的形式分子、分母分别求指数，再求极限换元凑：eetxxtxtxtxxxxttxxxxxx1)1(lim)1232(lim0211122)1221 (lim)1232(lim12110111于是时，当，则令3、用夹逼准则求极限4、用洛必达法则求极限：针对函数求为连续变量型。（ 1） “00”型和“”型：（数列型不能直接应用）离散型不能直接用洛必达法则，故考虑样 的 技 巧用 像 等 价 无 穷 小 代 换 这。 。 。 应 用 过 程 中 也 应原式等价无穷小代换.61616sinlim3cos1limsinlimsinsinlim0203030xxxxxxxxxxxxxx收敛的极限（离散型）不能直接应用，而用一个相应的函数求。有时直接求导麻烦，先用一个变量替换（注意自变量范围的变化），再应用。（2） “”型和“0”型34124sin4lim64cos1lim24sin41lim42cos2sin442lim2sin41limsincossinlim)cossin1(lim02030304202222202220xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1 “”型 :先用通分后化简为“00”型，再应用。2 “0”型：把其中一项放在分母的位置，变成“”型，再应用。bababbaatbabaxbatttttttxxxlnlnln)lnln(limlim)(lim0,000111x原式常数，则设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载（ 3） “1”型，“00”型和“0”型的情形处理型，按都是而形式，可化为这类都是)2(0)(ln)(lim)(lim)(ln)(lim)(xfxgexfxfxgxg21)2(c o s)s i n(120s i n2c o s20c o t022222)sin(1lim)sin1(lim)(coslimexxxxxxxxxxx210020202002c o tlim212tanlimcoslnlimtancoslnlimcoslncotlimlnlimcoslncotln,)(cos2eyxxxxxxxxyxxyxyxxxxxxx令用洛必达法则极限公式求的，下面采上面的方法是两个重要5、用无穷小重要性质和等价无穷小代换2cos1limcos11)(1limcos111lim:201|1sin|013111lim131lim.1sin131lim:1202020233232232xxxxnxxnnxxxxnnegnnnnnnnnnnnnegxxnnxnnn为正整数，设仍是无穷小，可知原式根据有界变量乘无穷小注：等价无穷小代换只能用在乘和除的因子里，不能用在和、差中。6、求分段函数的极限在则在分段处的极限不存注意分段点，若，巧用方法。仔细审题原式)0()0(1110)sin12(lim112)sin12(lim)|sin12(lim4340410410afafxxeeexxeexxeexxxxxxxxxx7、求极限的反问题? Eg15,4322)1cos(22lim01,0)(lim00.,3)1sin(lim2121221baaxxaxbabaxxbaxbaxxxxx；，原式再对极限用洛必达法则解：由题设可知，求设Eg200.,1sin1lim020badttatxbxxx，求设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载412,22limcos11lim1101cos/lim02020aaaxaxxxabbxbxaxxxx，得出由因此，原式左边，则令极限为，则极限值为如果原式左边把极限用洛必达法则，（三）连续1、函数在点0x处连续和函数在区间内（上）连续设函数在点)(xfy0x的某个邻域内有定义，如果处连续在点则称函数或0000000)()()(lim)(lim)()(lim)()(limlim000xxfyxfxfxfxfxfxfxxfyxxxxxxxx并且有lim)()(lim000xfxfxfxxxx，如果函数在点0x处连续，则在点0x处可以交换极限号和函数号的顺序。2、函数的间断点（三种情形）及分类第一类： 函数在间断点处的左、右极限都存在， 分为可去 （左、 右极限相等）、跳跃 （不等）第二类：除第一类以外的其他间断点，左、右极限至少有一个不存在，常见为无穷、振荡3、初等函数的连续性（1）在区间 I 连续的函数 的和、差、积、商（分母不为零），在区间 I 仍是连续的。（2）由 连续函数 经有限次 复合而成的复合函数在定义区间 内仍是连续函数。（3）在区间 I 连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。（4）初等函数在它的定义区间 内是连续的（就是包含在定义域内的区间）。注：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。4、闭区间 ba,上连续函数的性质(1)有界定理：如果函数上有界。必在上连续，则在闭区间,)(,)(baxfbaxf（2）最大值和最小值定理：如果函数上连续在闭区间,)(baxf，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m。（3）)(,)(,)(baCfbaCMmmMbaxf使得上至少存在一个点，在之间的任何实数和，则对于介于和为最小值分别上连续，且其最大值和在闭区间介值定理：如果函数0)(),()()(,)(:fbabfafbaxf，使得内至少存在一个点则在开区间异号，与上连续，且在闭区间（零点定理）如果函数推论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载例题： 1、讨论函数的连续性主要讨论分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。（即按左、右两侧分别去讨论）2、已知函数的连续性求未知参数根据极限值 =函数值进行求解。3、求函数的间断点并确定其类型确定类型时，主要看间断点两侧的极限怎么样；有时直接求该点的极限。连 续 。在则，义可 去 间 断 点 。 若 补 充 定是 第 一 类 间 断 点 ， 且 为故由于对于为无穷间断点。故是第二类间断点，且由于对于跳跃间断点。是第一类间断点，且为故，由于对于下面确定它们的类型是所给函数的间断点。没有定义，因此解：所给函数在点型的间断点，并确定其类：求函数2)(41)2(241)2)(2()2(lim)02()02(,2)2)(2(|)2(lim)02()02(,2021)2)(2()2(lim)00(,21)2)(2()2(lim)00(0:2,2, 02,2,0)4(|2)(1eg220022xxffxxxxxxffxxxxxxffxxxxxxxfxxxxxfxxxxxxxxfxxxxEg2：是连续的，此函数在它的定义区间内函数都解：这是初等函数，在型的间断点，并确定其类求函数xxxftan)(点是以上的。无定义，所以它的间断及)2, 1,0(20kkxx可去间断点是第一类间断点，且是，所以时，由于当01tanlim00xxxxx无穷间断点。是第二类间断点。且是所以时，由于当)2, 1,0(2)2, 1, 0(tanlim)2, 1,0(22kkxkxxkkxkx4、求连续函数的极限-分两种情形：（1）就行了。换成它的极限值中把自变量即只需在函数的表达式，则定义区间内的一点，是初等函数，如果是000)()lim()(lim)()(00xxxfxfxfxfxxfxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载eg：)sin2ln(lim2xx求3ln)2sin2ln()sin2ln(lim2)sin2ln(2xxxx点，所以是它的定义区间内的一是初等函数，解：(2)()(lim()(lim)()(lim000afxgfxgfauufyaxgxxxxxx则连续，在点，而函数如果Eg：,0,0),1(log,12.12lim20txtxtxxxx时且当则令求2ln1log1)1(limlog1)1(log1lim12limlog1,)1 (lim)1 (log1lim)1(loglim12lim21021200210120200ettxeuuyettttxttttxxttttxxx处连续，所以在点而函数由于于是5、利用介值定理的推论（零点定理）判断方程的根补充： 1、奇偶函数的七个性质（1）两个奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数；（2）两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数；（3）一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数；它们的和差是非奇非偶；（4）奇函数图象关于原点对称，并且在两个关于原点对称的区间上有相同的单调性；（5）偶函数图象关于y轴对称，并且在两个关于原点对称的区间上的单调性相反；（6）；为偶函数|)(|)()(xfxfxf（7）0)0(0)(fxf，则的定义域包含若奇函数)(2)(),()(),()(:)(baTbaxbfxbfxafxafxfy周期bxafxafxfybaM2)()()(),(对称图象关于点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载2、幂函数nxy性质 : 212121211100)4(10, 11,10,0) 3(1100)2(1, 110,10,0) 1(2121nnnnnnnnnnnnxxxxxxnnxxxxnxxxxxxnnxxxxn，则；若，则时，若当则；若则时若时当，则；若，则时，若当则；若则时若时当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页