第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例基础知识基础知识基础知识基础知识自主学习自主学习自主学习自主学习热点命题热点命题热点命题热点命题深度剖析深度剖析深度剖析深度剖析思想方法思想方法思想方法思想方法感悟提升感悟提升感悟提升感悟提升最新考纲1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。J基础知识基础知识 自主学习自主学习1向量的夹角(1)定义(2)范围向量夹角的范围是_，a与b同向时，夹角_；a与b反向时，夹角_。(3)垂直关系如果非零向量a与b的夹角是_，我们说a与b垂直，记作_。0，090ab2平面向量的数量积(1)数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把|a|b|cos 叫作a与b的数量积，记作ab，即ab_。(2)向量的射影设为a与b的夹角，则向量a在b方向上的射影是_；向量b在a方向上的射影是_。(3)数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与_的乘积。|a|b|cos |a|cos |b|cos b在a的方向上的射影|b|cos 3平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a、b的夹角。4.平面向量数量积的运算律已知向量a、b、c和实数，则：(1)交换律：ab_；(2)结合律：(a)b(ab)_；(3)分配律：(ab)c_。5向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题。6平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的_相似，可以用向量的知识来解决。(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积。即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角)。baa(b)acbc加法和减法(1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量。()解析正确。(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量。()解析正确。(3)由ab0可得a0或b0。()解析错误。当a与b为非零向量，且ab时，ab0。(4)(ab)ca(bc)。()解析错误。(ab)c表示与c共线的向量；a(bc)表示与a共线的向量，而a与c的关系未知。 (5)abac(a0)，则bc。()解析错误。当ab且ac时，abac，但是b不一定等于c。(6)若ab0，则a与b的夹角为锐角；若ab0；当a与b反向时，ab0，则a与b的夹角为锐角或0；(2)若ab0，则a与b的夹角为钝角或180。4个注意点向量运算中应注意的四个问题(1)在求ABC的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角。如在等边三角形ABC中，与的夹角应为120而不是60。(2)在平面向量数量积的运算中，不能从ab0推出a0或b0成立。实际上由ab0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，ab。(3)实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba。在向量数量积的运算中，若abac(a0)，则不一定有bc。(4)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线。1种手段向量与其他问题的转化实现平面向量与三角函数、平面几何及解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算。