31函数与方程31.1方程的根与函数的零点学习目标 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系教学重难点： 1 重点：函数零点的概念和函数零点的求法2 难点：零点的确定知识链接 考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程 x22x30 与函数 yx22x 3；(2)方程 x22x10 与函数 yx22x 1；(3)方程 x22x30 与函数 yx22x 3. 你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？答案方程x22x30x2 2x10x22x30 函数yx22x3yx22x 1yx22x3 函数的图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页方程的实数根x1 1，x23x1x21无实数根函数的图象与x 轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点预习导引 1函数的零点对于函数yf(x)，我们把使f(x)0 的实数 x 叫做函数yf(x)的零点2方程、函数、图象之间的关系；方程 f(x) 0 有实数根 ? 函数 yf(x)的图象与x 轴有交点 ? 函数 y f(x)有零点3函数零点存在的判定方法如果函数yf(x)在区间 a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)0.那么，函数 yf(x)在区间 (a，b)内有零点，即存在c(a， b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程f(x)0 的根温馨提示判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数yf(x)在区间 (a，b)内有零点，则f(a) f(b)0 不一定成立要点一求函数的零点例 1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)x27x 6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x)x24x 12x 2. 解(1)解方程 f(x)x27x 60，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页得 x 1 或 x 6，所以函数的零点是1， 6. (2)解方程 f(x)1log2(x 3) 0，得 x 1，所以函数的零点是1. (3)解方程 f(x)2x130，得 x log26，所以函数的零点是log26. (4)解方程 f(x)x24x12x20，得 x 6，所以函数的零点为6. 规律方法求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)0 的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f(x)的图象联系起来， 并利用函数的性质找出零点跟踪演练 1判断下列说法是否正确：(1)函数 f(x)x22x的零点为 (0,0)，(2,0)；(2)函数 f(x)x1(2x5)的零点为x1. 解(1)函数的零点是使函数值为0 的自变量的值，所以函数f(x)x22x 的零点为0 和 2，故(1)错(2)虽然 f(1)0，但 1?2,5 ，即 1 不在函数f(x)x1 的定义域内，所以函数在定义域2,5内无零点，故 (2)错要点二判断函数零点所在区间例 2在下列区间中，函数f(x)ex4x3 的零点所在的区间为() A.14， 0B.0，14C.14，12D.12，34答案C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页解析f144e20，f(12)e 10，f14 f120，零点在14，12上规律方法1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象2要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若 f(x)图象在a，b上连续，且f(a) f(b)0，则 f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a) f(b) 0，则 f(x)在 (a，b)上不一定没有零点跟踪演练 2函数 f(x)exx2 所在的一个区间是() A( 2， 1) B(1,0) C(0,1) D (1,2) 答案C 解析f(0)e002 10，f(1)e112 e10，f(0) f(1)0，f(x)在(0,1)内有零点要点三判断函数零点的个数例 3判断函数f(x)ln xx23 的零点的个数解方法一函数对应的方程为ln xx230， 所以原函数零点的个数即为函数y ln x 与y3x2的图象交点个数在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图 )由图象知，函数y3x2与 yln x 的图象只有一个交点从而ln xx230 有一个根，即函数 yln xx23 有一个零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页方法二由于 f(1)ln 1123 20，f(2)ln 2223ln 2 10，f(1) f(2)0，又 f(x)ln xx23 的图象在 (1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又 f(x)在(0， )上是递增的，所以零点只有一个规律方法判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由 f(x)g(x)h(x)0，得 g(x)h(x)， 在同一坐标系下作出y1g(x)和 y2h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数跟踪演练 3函数 f(x)2x|log0.5x| 1 的零点个数为() A1 B2 C3 D4 答案B 解析令 f(x)2x|log0.5x| 10，可得 |log0.5x| 12x. 设 g(x)|log0.5x| ，h(x)12x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2 个交点，因此函数f(x)有 2 个零点1函数 y4x2 的零点是 () A2 B (2,0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页C.12，0D.12答案D 解析令 y4x20，得 x12. 函数 y4x2 的零点为12. 2对于函数f(x)，若 f(1) f(3)0，则 () A方程 f(x)0 一定有实数解B方程 f(x)0 一定无实数解C方程 f(x)0 一定有两实根D方程 f(x)0 可能无实数解答案D 解析函数 f(x)的图象在 (1,3)上未必连续， 故尽管 f(1)f(3)0， 但未必函数yf(x)在(1,3)上有实数解3函数 ylg x9x的零点所在的大致区间是() A(6,7) B(7,8) C(8,9) D(9,10) 答案D 解析因为 f(9)lg 910，f(10)lg 10910 1910 0，所以 f(9) f(10)0，所以 ylg x9x在区间 (9,10)上有零点，故选 D. 4方程 2x x20 的解的个数是 () A1 B2 C3 D4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页答案C 解析在同一坐标系画出函数y2x，及 y x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2xx20 的解的个数为3. 5函数 f(x)x22x a 有两个不同零点，则实数a 的范围是 _答案(， 1) 解析由题意可知，方程x22xa0 有两个不同解，故 44a0，即 a1. 1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点2方程 f(x)g(x)的根是函数f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与 x 轴交点的横坐标3函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础一、基础达标1下列图象表示的函数中没有零点的是() 答案A 解析B，C，D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点2函数 f(x)(x1)(x2 3x10)的零点个数是 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页A1 B2 C3 D4 答案C 解析f(x)(x 1)(x23x10) (x1)(x5)(x2)，由 f(x) 0 得 x 5 或 x 1 或 x2. 3根据表格中的数据，可以断定函数f(x)exx2 的一个零点所在的区间是() x 10123 ex0.3712.727.3920.09 x 212345 A.(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3) 答案C 解析由上表可知f(1) 2.7230，f(2)7.3940，f(1) f(2)0，f(x)在区间 (1,2)上存在零点4函数 f(x)ln x2x6 的零点所在的区间为() A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5) 答案B 解析f(1) ln 126 40，f(2)ln 246ln 220，f(3)ln 366ln 30，所以 f(2) f(3)0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)5方程 log3xx3 的解所在的区间为() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页A(0,2) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 答案C 解析令 f(x)log3xx3，则 f(2)log32 23log323 0，f(3)log33 3310，那么方程 log3xx3 的解所在的区间为(2,3)6已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于_答案0 解析奇函数的图象关于原点对称，若 f(x)有三个零点，则其和必为0. 7判断函数f(x) log2xx2 的零点的个数解令 f(x)0，即 log2xx20，即 log2xx2. 令 y1log2x，y2x2. 画出两个函数的大致图象，如图所示，有两个不同的交点所以函数f(x)log2xx2 有两个零点二、能力提升8若 abc，则函数 f(x)(x a)(xb) (x b)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间() A(a，b)和(b，c)内B(， a)和(a，b)内精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页C(b，c)和(c， )内D(， a)和(c， )内答案A 解析f(x)(x a)(xb) (x b)(xc)(xc)(xa)，f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，abc，f(a)0，f(b)0，f(c)0，f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内9若函数f(x)ax2x1 仅有一个零点，则a_. 答案0 或14解析a0 时， f(x)只有一个零点1，a0 时，由 14a0，得 a14. 10设 x0是方程 ln x x4 的解，且x0(k，k1)，k Z，则 k_. 答案2 解析令 f(x)ln xx4，且 f(x)在(0， )上递增，f(2)ln 224 0，f(3)ln 310. f(x)在(2,3)内有解， k2. 11已知函数f(x)x22x3，x1,4(1)画出函数 yf(x)的图象，并写出其值域；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页(2)当 m 为何值时，函数g(x)f(x)m 在1,4上有两个零点？解(1)依题意： f(x)(x1)2 4，x1,4，其图象如图所示由图可知，函数f(x)的值域为 4,5(2)函数 g(x)f(x)m 在1,4上有两个零点方程 f(x) m 在 x 1,4上有两相异的实数根， 即函数 yf(x)与 y m 的图象有两个交点由(1)所作图象可知，4 m0，0m4. 当 0 m 4 时，函数 yf(x)与 y m 的图象有两个交点，故当 0 m 4 时，函数 g(x)f(x)m 在1,4上有两个零点三、探究与创新12已知二次函数f(x)满足： f(0)3；f(x1)f(x)2x. (1)求函数 f(x)的解析式；(2)令 g(x)f(| x|) m(mR)，若函数g(x)有 4 个零点，求实数m 的范围解(1)设 f(x)ax2bxc(a0)，f(0)3，c3，f(x) ax2bx3. f(x 1)a(x1)2b(x1)3ax2(2ab)x(ab3)，f(x)2xax2(b2)x3，f(x1)f(x) 2x，2abb2，ab33，解得 a 1，b 1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页f(x)x2x3. (2)由(1)，得 g(x) x2 | x| 3m，在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图象，如图所示，由于函数g(x)有 4 个零点，则函数g(x)的图象与x 轴有 4 个交点由图象得3m0，114m0，解得 3m114，即实数 m 的范围是3，114. 13已知二次函数f(x)x2 2ax4 ，求下列条件下，实数a 的取值范围(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在 (0,1)内，另一个零点在(6,8)内解(1)因为方程x22ax 40 的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 2a2 160，f 1 52a0，a1.解得 2a52. (2)因为方程 x22ax40 的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)52a0，解得 a52. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页(3)因为方程 x22ax40 的一个根在 (0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f 0 40，f 1 52a0，f 6 4012a0，f 8 6816a0，解得103a174. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页