北 师 大 版 数 学 课 件2019 版 教 学 精 品 我们在平面几何中研究角的度量，当时是用我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度度做单位来度量角，做单位来度量角，1 1的角是如何定义的？的角是如何定义的？ 我们把用度做单位来度量角的制度叫做我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制角度制。 规定周角的规定周角的 为为1。的角。的角。引入引入弧度制定义弧度制定义 我们把我们把长度等于半径长的圆弧长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做所对的圆心角叫做1弧度弧度的角的角若若弧弧是是一一个个半半圆圆，则则其其圆圆心心角角的的弧弧度度数数是是多多少？若弧是一个整圆呢？少？若弧是一个整圆呢？这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度弧度制制，它的单位是，它的单位是弧度弧度，单位符号是，单位符号是radrad. .为什么可以用弧长与其半径的比值来度为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？的半径大小无关呢？ 一般地有：正角的弧度数是一个正数，负角一般地有：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角；角 的弧度数的绝对值的弧度数的绝对值 其中其中 作为圆心角时所对的弧长，作为圆心角时所对的弧长， 是圆的半径。是圆的半径。角度制与弧度制的换算角度制与弧度制的换算 1 1 把角度换成弧度把角度换成弧度rad 2 2 把弧度换成角度把弧度换成角度rad=360。rad=180。角度弧度写出一些特殊角的弧度数写出一些特殊角的弧度数 注：今后我们用弧度制表示角的时候，今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度弧度”二二字或者字或者“radrad”通常省略不写，而只写这个角所对应通常省略不写，而只写这个角所对应的弧度数。但如果以的弧度数。但如果以度（度（ 。）为为 单位表示角时，单位表示角时，度度（ 。）不能省略。不能省略。把化成弧度把化成弧度例例1 1解解：角度制与弧度制互化时要抓住角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键弧度这个关键把化成度把化成度例例2解：角度制与弧度制的比较角度制与弧度制的比较弧度制是以弧度制是以“弧度弧度”为单位度量角的制度，角度制为单位度量角的制度，角度制是以是以“度度”为单位度量角的制度；为单位度量角的制度； 的大小，而是圆的所对的圆心角（或该弧）的大小，而是圆的所对的圆心角（或该弧）1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小；的大小；不不论论是是以以“弧弧度度”还还是是以以“度度”为为单单位位的的角角的的大大小都是一个与圆的半径大小无关的定值小都是一个与圆的半径大小无关的定值例例3计算：计算：（1）；（2）解：（1） （2）正角零角负角正实数零负实数角的集合与实数集之间的一一对应关系：角的集合与实数集之间的一一对应关系：例例4 4利用弧度制证明扇形面积公式利用弧度制证明扇形面积公式 ，其中，其中 是是扇形的弧长，扇形的弧长，R R是圆的半径。是圆的半径。 弧长公式：弧长公式： 即弧长等于弧所对的圆即弧长等于弧所对的圆心角的弧度数的绝对值与半径的乘积。心角的弧度数的绝对值与半径的乘积。 （1）；（2）；（3）把下列各角化成的形式：把下列各角化成的形式：例例5 5 例例6 求图中公路弯道处弧的长求图中公路弯道处弧的长（精确到（精确到1m1m，图中长度单位：，图中长度单位：m m） （2）已知扇形的周长为）已知扇形的周长为8cm8cm，面积为，面积为4cm4cm2 2，求扇，求扇形的中心角的弧度数形的中心角的弧度数 练习练习 （1）若若三三角角形形的的三三个个内内角角之之比比是是2：3：4，求求其三个内角的弧度数其三个内角的弧度数（3）下列角的终边相同的是（）下列角的终边相同的是（）A与与与与BCD 小结小结（1）弧度；将 乘以 ；（ 2）“角化弧角化弧”时，将乘以；时，将乘以；“弧化角弧化角”时，时，（3）弧长公式：对的弧长，对的弧长， 为圆心角的弧度数，为圆心角的弧度数， 为圆半径）为圆半径）（其中（其中 为圆心角为圆心角 所所扇形面积公式：扇形面积公式：