名师精编优秀教案第四章第三节平面向量的数量积及应用举例教案一、教材分析平面向量的数量积是在学习了向量的相关概念，以及向量的加法、减法、实数与向量的积之后，高中数学又一重要概念和运算本课所包含的教学内容：向量的夹角、数量积的概念以及数量积的几何意义，既是学习数量积性质和运算律的前提，也为今后利用数量积处理有关距离、角度、垂直等问题奠定了基础二、学情分析基础知识方面：学生之前学习了向量的相关概念、向量的线性运算以及平面向量基本定理等内容，同时学生对平面向量数量积的物理背景（如功、力的分解等）有一定的了解，这些都为概念的理解作好了必要的铺垫认知水平与能力方面：学生已经具备初步的抽象概括能力，能在教师的引导下，通过自主学习、合作交流解决一些实际问题任教班级学情：我班学生有较好的学习习惯，基础知识较为扎实，但是概念的深入理解和灵活运用的能力还有待进一步提高三、教学目标分析1教学目标依据教学大纲，渗透新课程理念，结合本节课的特点和学生的实际情况，本节课的教学目标确定为：知识目标（1）理解两非零向量的夹角的概念，掌握平面向量的数量积及其几何意义；（2）能初步运用数量积的相关概念进行运算能力目标经历向量的夹角、向量的数量积、投影等概念的形成过程，提高类比辨析、抽象概括等数学思维能力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页名师精编优秀教案情感目标教学活动过程中，始终贯穿了对平面向量数量积的物理背景的深入挖掘，让学生感悟到数学来源于现实并用于现实，在探索问题的过程中体验成功的喜悦，从而进一步激发学生的学习兴趣2教学重点与难点分析重点理解并掌握数量积的概念及其几何意义难点理解并掌握数量积的概念及其几何意义. 重、难点解决的方法策略通过充分挖掘“功”这一物理背景，建立知识生长点；采用从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略；每个概念的学习都让学生经历探究、理解与应用的过程；在教学的过程中借助多媒体的直观演示，这些都有利于突出重点、突破难点四、教学方法启发引导式教学过程：1向量的数量积(1) 向量数量积的概念已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|cos 叫做 a 与 b 的数量积 (或内积 )，记作 a b，即 a b|a| |b|cos ，规定，零向量与任一向量的数量积为，即0 a0 . (2) 向量的投影设两个非零向量a与b的夹角为 ，|a|cos 称为向量a在b方向上的投影；|b|cos 称为向量b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页名师精编优秀教案在a方向上的投影(3) 向量数量积的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度 | a| 与 b 在 a 方向上的投影 | b|cos 的乘积温馨提示： (1) 投影是一个数量，不是向量当 为锐角时，投影为正值；当 为钝角时，投影为负值；当 为直角时，投影为0；当 0时，投影为 | b| ；当 180时，投影为 | b|. (2) 两个向量的数量积，其结果也是数量，而不是向量2平面向量数量积的运算律(1) 交换律： abba；(2)数乘结合律：( a) b (a b)a ( b)；(3)分配律： a (bc)a ba c. 1根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立(1) abac，则 bc 吗？(2)( ab) ca(bc) 吗？提示： (1) 不一定， a0 时不成立，另外a0 时，abac. 由数量积概念可知b与 c 不能确定；(2)( ab) ca(bc) 不一定相等 ( ab)c 是 c 方向上的向量，而a( bc)是 a 方向上的向量，当 a 与 c 不共线时它们必不相等3平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，为向量a，b的夹角结论几何表示坐标表示模| a| aa| a| x21y21数量积ab| a| b|cos abx1x2y1y2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页名师精编优秀教案夹角cosab| a| b|cosx1x2y1y2x21y21x22y22ab 的充要条件ab0x1x2y1y20 | ab| 与|a| b| 的关系| ab| | a| b|( 当且仅当 ab 时等号成立)| x1x2y1y2| x21y21x22y222若 ab0，是否说明向量 a 和 b 的夹角为钝角？提示： 不一定，也可能是平角1已知 |a|5，|b|4，a b10，则 a 与 b的夹角为 (B) A.3B.23C.6D.562等边三角形 ABC的边长为 1，BCa，CAb，ABc，那么 abbcca 等于( D)A3 B3 C.32D 323设向量 a，b 满足| a| | b| 1，ab12，则| a2b| ( B ) A.2 B.3 C.5 D.7 4已知 | a| 4，| b| 3，a 与 b 的夹角为 120，则 b 在 a 方向上的投影为 (D ) A2 B.32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页名师精编优秀教案C2 D 325已知向量 a(2,4) ，b(1,1) ，若向量 b( ab) ，则实数 的值为： 13【例 1】(1)(2013 湖北卷 )已知点 A( 1,1) 、B(1,2) 、C ( 2，1) 、D(3,4) ，则向量AB在CD方向上的投影为 ( A) A.322B.3152 c.3 22D 31522013( 天津卷 )在平行四边形 ABCD 中，AD 1，BAD 60，E为 CD的中点若ACBE1，则 AB的长为 : 12 (1) 根据投影的定义求解；(2) 根据数量积的定义，结合平面向量的加法与减法运算【解析】(1) AB(2,1)，CD(5,5)， AB CD251515，|CD|5 2，所求投影为|AB| cosAB，CDAB CD|CD|155 23 22，故选 A (2)AC BE(ABBC) BC12ABAB BC12|AB|2|BC|212BC AB12|AB|BC|cos60 12|AB|2|BC|212|AB|11212|AB|211.14|AB|12|AB|20， |AB|12，即 AB12. 1. (2013新课标全国卷 )已知正方形ABCD的边长为2，E 为 CD的中点，则 AEBD平面向量数量积的运算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页名师精编优秀教案_2_. 【例 2】(1) 设 x，yR ，向量 a( x, 1) ，b(1，y)，c(2，4) ，且 ac，bc，则| ab| ( B ) A.5 B.10 C25 D 10 (2) 若向量 a(1,2) ，b(1，1)，则 2ab 与 ab 的夹角等于 ( C ) A4B.6C.4D.34(3) 若平面向量 ， 满足| | 1，| | 1，且以向量 ， 为邻边的平行四边形的面积为12，则 与 的夹角 的取值范围是 :6，56【解析】 (1)由 a c 得，a c2x40，解得 x2.由 b c 得12y4，解得 y2，所以 a(2,1)，b(1， 2)，ab(3，1)，|ab|10，故选 B. (2) 2ab2(1,2)(1，1)(3,3)，ab(1,2)(1，1)(0,3)， (2ab) (ab)30339，|2a2，所以 a(2,1)，b(1，2)，ab(3，1)，|ab|10，故选 B. (2) 2ab2(1,2)(1，1)(3,3)，ab(1,2)(1，1)(0,3)， (2ab) (ab)30339，|2ab|3 2，|ab|3，cos 93 2322，又 0， ， 4(3)由 S| | | |sin | |sin 12可得， sin 12| |12，故 6，56. (1) 已知向量 a，b 的夹角为 60，且| a| 2，| b| 1，则向量 a 与 a2b 的夹角等于平面向量的夹角与模的问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页名师精编优秀教案( D ) A150 B90C60 D 30(2) 已知向量 a，b 夹角为 45，且 | a| 1，|2 ab| 10，则| b| 3 2. （第二课备用）： 【例 3】(2013山东卷 )已知向量 AB与AC的夹角为 120，且| AB| 3，| AC| 2. 若APABAC，且APBC，则实数 的值为 :712APBC则APBC0. 已知平面向量 a(3，1)，b12，32. (1) 证明： ab；(2) 若存在不同时为零的实数k 和 t ，使 ca( t23) b，dkat b，且 cd，试求函数关系式 kf (t ) （四）课堂小结本节课我们学习了一种新的向量运算向量的数量积，与向量的线性运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，但与线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量。本节主要要求要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题。（五）课后作业小册子基础练习教后记：平面向量的垂直问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页