第十八章勾股定理 18 1 勾股定理（一）一、教学目标1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点1重点：勾股定理的内容及证明。2难点：勾股定理的证明。三、学案（一）阅读课本第64 页，并完成思考题：1、毕达哥拉斯在地板上的发现：（1）图中线条加黑的三个小正方形围成了一个；（2）若设两个较小正方形边长均为a，则它们的面积都为，设较大的正方形边长为c，则它的面积为。（3）再次观察，可以发现两个小正方形的面积和较大的正方形面积，即有 = 。（4）因为三个正方形边长恰好是围成的等腰直角三角形的三条边，由 = 可知，等腰直角三角形的两条边的平方等于边的平方。2、由第 1 题知等腰三角形具有上述性质，是否一般的直角三角形也具有这样的性质呢？观察下图，尝试探究.（如图，每个小方格的面积均为1）观察图（ 1）正方形A中含有 _个小方格，即 A的面积是 _个单位面积；正方形B中含有 _个小方格，即B的面积是 _个单位面积；正方形C中含有 _个小方格，即C的面积是 _个单位面积图（ 2）正方形A中含有 _个小方格，即 A的面积是 _个单位面积；正方形B中含有 _个小方格，即B的面积是 _个单位面积；正方形C中含有 _个小方格，即C的面积是 _个单位面积3、根据上述观察分析，你能得出什么结论（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去四个直角三角形的面积）（二）归纳：直角三角形三边关系：勾股定理：；用公式表示为。变式：。直角三角形性质归纳：如图，直角 ABC的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：；（2）若 B=30，则 B的对边和斜边：；（3）直角三角形斜边上的等于斜边的。（4）三边之间的关系：。（5）已知在RtABC中， B=90， a、b、c 是 ABC的三边，则c= 。（已知a、b，求 c）a= 。（已知b、c，求 a）A B C A B C 图（ 1）图（ 2）ACBabc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页b= 。（已知a、c，求 b）. （三）例题精讲例 1、如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高? 例 2：在 RtABC ，C=90 已知 a=b=5，求 c。 已知 a=1，c=2, 求 b。 已知 c=17，b=8, 求 a。 已知 a b=12，c=5, 求 a。 已知 b=15，A=30 ，求a，c。（四）课堂基础训练1、求出下列直角三角形中未知的边2、（ 1）在 Rt ABC ， C=90 ， a=8，b=15，则 c= 。（2）在 RtABC ， C=90 ， a=6， b=8，则 c= 。（3）已知直角三角形的两边长分别为3cm和 5cm ，则第三边长为。3、如图：所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2。10 303 5 10 4581144x ABCD7cmF E 第 3 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页 18 1 勾股定理（二）一、教学目标1会用勾股定理进行简单的计算。2树立数形结合的思想、分类讨论思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的简单计算。2难点：勾股定理的灵活运用。三、学案1、直角三角形性质有：如图，直角ABC的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：；（2）若 B=30，则 B的对边和斜边：；（3）直角三角形斜边上的等于斜边的。（4）三边之间的关系：。（5）已知在RtABC中， B=90， a、b、c 是 ABC的三边，则c= 。（已知a、b，求 c）a= 。（已知b、c，求 a）b= 。（已知a、c，求 b）. 2、（ 1）在 Rt ABC ， C=90 ， a=3，b=4，则 c= 。（2）在 RtABC ， C=90 ， a=6， c=8，则 b= 。（3）在 RtABC ， C=90 ， b=12，c=13，则 a= 。四、学习过程（一）例题尝试例 1：一个门框的尺寸如图所示若有一块长3 米，宽 0.8 米的薄木板，问怎样从门框通过？若薄木板长3 米，宽 1.5 米呢？若薄木板长3 米，宽 2.2 米呢？（注意解题格式）当堂练习：如下图，池塘边有两点A， B ，点 C是与 BA方向成直角的AC方向上一点测得CB 60m ，AC20m ，你能求出A、B两点间的距离吗? 例 2：长 3 米的梯子AB ，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5 米求梯子的底端B距墙角 O多少米？如果梯的顶端A沿墙下滑 0.5 米至 C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5 米吗？算一算，底端滑动距离的近似值你还能对例题提供的问题情景进行变式训练吗？（结果均保留两位小数）ACBabcB C 1m2mA 实际问题数学模型O B D CA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页例 3：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3m ，消防队员取来65 m 长的云梯，如果梯子的底部离墙基的水平距离是25m ，请问消防队员能否进入三楼灭火? （三）巩固练习1、一个高 1.5 米、宽 0.8 米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木条长为。2、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆 A到电线杆底部B的距离为。3、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少为（结果保留根号）4、一旗杆离地面6m处折断，其顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前高。5、如图，滑杆在机械槽内运动，ACB为直角，已知滑杆AB长 100cm ，顶端 A在 AC上运动，量得滑杆下端B距 C点的距离为60cm，当端点B向右移动20cm时，滑杆顶端A下滑多长？B A C 第 2 题A E B D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页 18 1 勾股定理（三）一、教学目标1会用勾股定理解决简单的实际问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的应用。2难点：实际问题向数学问题的转化。 18 1 勾股定理（四）一、教学目标1会用勾股定理解决较综合的问题。2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的综合应用。2难点：勾股定理的综合应用。三、学案（一）问题引入：1、你能画出长为2cm的线段吗？小组讨论后说说你的办法。2、你能在数轴上找出表示2的点吗？请作图说明。3、在数轴上表示3、4、5、n的点又如何表示呢？4、你能找到5、13、17、20、，在数轴上更简便的画法吗？（二）例题尝试例：用圆规与尺子在数轴上作出表示13的点，并补充完整作图方法。步骤如下： 1在数轴上找到点A，使 OA ；2作直线l垂直于 OA ，在l上取一点B ，使 AB ；3以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点 C即为表示13 的点当堂练习：课本第69 页练习第1 题例 2：已知直角三角形的两边长分别为5 和 12，求第三边。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页例 3：已知：如图，等边ABC的边长是6cm 。（1）求等边 ABC的高。（2）求 SABC。（三）小结在数轴上寻找无理数：_ 。（四）达标训练1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和 5cm，则第三边长为。2、已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。3、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。4、在数轴上作出表示29的点。5、如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出一个三角形，使三角形的三边长分别是10，5，13。6、（ B组）已知：在Rt ABC中， C=90 ， CD AB于 D， A=60， CD=3，求线段 AB的长。DCBACABD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页 18 2 勾股定理的逆定理（一）一、教学目标1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的证明方法。3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。二、重点、难点1重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。2难点：勾股定理的逆定理的证明。三、学案1、勾股定理：直角三角形的两条_的平方 _等于 _的_，即 _. 2、已知在RtABC中， C=90，a、b、c是ABC的三边，则（1）c。（已知a、b，求c）（2）a。（已知b、c，求a）（3）b。（已知a、c，求b）3、填空题（1）在 RtABC ，C=90 ，a8，b15，则c。（2）在 RtABC ，B=90 ，a3，b4，则c。（如图）4、直角三角形的性质（1）有一个角是；（ 2）两个锐角，（3）两直角边的平方和等于斜边的平方：（4）在含 30角的直角三角形中， 30的角所对的边是边的一半四、学习过程（一）阅读课本第73 页，并完成思考题：1、 对于一个直角三角形，如果知道任意的两条边，我们可以根据勾股定理的公式及其变形求出第三边，例如 RtABC中， C=90 ， BC=4 ，AC=3 ，试求 AB的长？2、如果已知一个三角形的三边分别为5，12， 13，你能判断这个三角形的形状吗？3、若一个三角形的三边a、b、c满足222cba，试证明ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程尝试证明你的结论？（二）归纳定理及知识点1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。2、命题：对一件事情做出的语句。 命题由和组成，命题可以改写成 “如果， 那么”的形式。3、逆命题：把一个命题的和调换位置后，称这个命题是原命题的逆命题。4、原命题与逆命题的关系：在一定条件下可以互相转化。原命题成立，逆命题成立（填“一定”或“不一定”）。5、互逆定理：原命题与它的逆命题经过都是正确的，这样的两个定理称为互逆定理。例如勾股定理和它的逆定理就是互逆定理。（三）例题精讲A B C abcA B C B C A 勾股数： 能够精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页例 1：判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）17,8,15cba；（2）15,14,13cba方法小结： 给出三边判断组成的三角形是否为直角三角形，应验证 “较两边平方和 =较大边的平方” ，如相等，则是且较长边为斜边，如不相等，则不能组成直角三角形。当堂练习：课本P76习题第 1 题例 2：说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗? （1）两条直线平行，内错角相等（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等（3）全等三角形的对应角相等（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等当堂练习：课本P76习题第 2 题（ 4 分钟）（三）达标练习1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是_，能构成直角三角形的是_（填序号）3，4，5 1 ， 3，4 4 ，4， 6 6 ，8，10 5 ，7，2 13 ，5，12 7 ，25，24 2、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（） A 5，6，7 B1，4，9 C5，12，13 D5，11，12 3、在下列以线段a、b、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A、a=9，b=41， c=40 B 、a=b=5，c=25 C 、abc=345 D a=11 ，b=12，c=15 4、若一个三角形三边长的平方分别为：32，42， x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（） A 42 B52 C 7 D52或 7 5、命题“全等三角形的对应角相等”（1）它的逆命题是。（2）这个逆命题正确吗？（3）如果这个逆命题正确，请说明理由，如果它不正确，请举出反例。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页 18 2 勾股定理的逆定理（二）一、教学目标1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点1重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 18 2 勾股定理的逆定理（三）一、教学目标1应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。2灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。3进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点1重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。2难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。三、学案（一）复习练习1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）5,2, 1cba；（ 2）5.2,2,5.1cba（3）6,5,5cba2、写出下列真命题的逆命题，并判断这些逆命题是否为真命题。（1）同旁内角互补，两直线平行；解：逆命题是：；它是命题。（2）如果两个角是直角，那么它们相等；解：逆命题是：；它是命题。（3）全等三角形的对应边相等；解：逆命题是：；它是命题。（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等；解：逆命题是：；它是命题。（二）例题精讲例 1：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12 海里，它们离开港口一个半小时后相距30 海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？反思：（ 1）解应用问题的三个基本过程：建立数学模型求解数学模型回到实际问题中去；（2）本题的关键在于判断PQR的形状。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页当堂检验：完成课本P76 练习第 3 题，习题第3 题（独立按照格式完成）例 2：如图，有一块四边形地ABCD ，90B,4ABm ，3BCm ，12CDm ，13ADm ，求该四边形地ABCD的面积 ? 反思：构造直角三角形是解题的关键。（三）达标练习（5分钟）1下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )A1，2，3 B7，24，25 C 58，10 D 7，12， 15 2“内错角相等两直线平行”的逆命题是 . 3一个三角形的两边长分别为4 和 5，要使三角形为直角三角形，则第三边为 . 4在 RtABC中 ,90C, 若5AC,3BC, 则AB . 5在 RtABC中,90C,oA45,10b, 则c . 6在 RtABC中 ,90B,oA30, 则cba: . 7. 已知ABC的三边为a、b、c，且2:1:1:cba，求三角形三个内角度数的比8. 写出下列命题的逆命题，并判断它是否正确(1) 等腰三角形的两底角相等；(2) 三角形的三内角之比为l ：1：2，则三角形为等腰直角三角形；(3) 正方形的四个内角都是直角9ABC的三边a、b、c满足0)40(32|50|2cbaba试判断ABC的形状A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页