年轻的生命，如初升的旭年轻的生命，如初升的旭日。愿充满朝气的你们，日。愿充满朝气的你们，拥有灿烂的明天！拥有灿烂的明天！27.2 相似三角形的判定角角（2）相似三角形判定方法相似三角形判定方法1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等；3、（判定定理1）三组对应边的比相等的两个三角形相似。2、（平行）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。4、（判定定理2）两组对应边之比相等且夹角相等的两个三角形相似。DBACE（2）DE BCADEABC判定三角形相似的方法知识回顾知识回顾ACBEDF（1）A=D, B= E, C= FABCDEF（3）ABCDEF（4） A=DABCDEF问题引入：问题引入：观察两副三角尺，其中同样角度（30与60，或45与45）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？ 求证：ABCABC已知：在ABC和ABC中,A=A,B=BACBB A C A=A， B=B ABC ABC用数学符号表示：判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。ACBB A C 相似三角形判定方法相似三角形判定方法1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等；3、（判定定理1）三组对应边的比相等的两个三角形相似。2、（平行）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。4、（判定定理2）两组对应边之比相等且夹角相等的两个三角形相似。5、（判定定理3）两角对应相等的两个三角形相似。ABCABC基础演练基础演练1、下列图形中两个三角形是否相似？ABCDEABCACBABCDE(1)(2)(3)(4)2、根据下列条件,判断ABC和ABC是否相似,并说明理由:(1)A=35,AB=12cm,AC=15cm,A=35,AB=36cm,AC=45cm,(2)AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm,AB=20cm,BC=25cm,AC=40cm.(3)A=105,B=15;A=105,B=15基础演练基础演练B=60如图,弦AB和CD相交于O内一点P,求证:PAPB=PCPDODPCBA变式：如果弦AB和CD相交于圆O外一点P，结论还成立吗？变式：上题中，重合为一点时，又会有什么结论？OO1、已知如图直线BE、DC交于A，E=C求证：DAAC=ABAEDEABC C证明：证明： E=C DAE=BAC ABC ADE AC :AE=AB :AD DA AC=AB AE2、判断题：所有的直角三角形都相似.（）所有的等边三角形都相似.（）所有的等腰直角三角形都相似.（）有一个角相等的两等腰三角形相似.（）顶角相等顶角相等底角相等底角相等顶角与底角相等顶角与底角相等BCAABC第第一一种种情情况况 ABC ABC顶角相等顶角相等BCAABC第第二二种种情情况况 ABC ABC底角相等底角相等第第三三种种情情况况ABCABC两三角形不相似两三角形不相似顶角与底角相等顶角与底角相等3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。ADBC已知：在RtABC中，CD是斜边AB上的高。此结论可以称为“母子相似定理母子相似定理”,今后可以直接使用.求证：ABCACDCBD结论： ACD CBD CD2=AD DB ACD ABC AC2=AD AB BCD ABC BC2=BD ABP49练习练习2ABCDE1已知DEBC且1=B，则图中共有对相似三角形。 DEBCADEABC 1=B ，A=A ACDABCADE ACD DEBC EDC=DCB， 又又 1=BDECCDB4DBC CA1、如图：在、如图：在Rt ABC中，中， ABC=900，BDAC于于D 若若 AB=6 AD=2 则则AC= BD= BC= 184 21222.如图直线如图直线BE、DC交于交于A, ADAC=AEBA，求证：求证：E=CEDBCAABCED将将DAE绕绕A点旋转点旋转如何证明如何证明DEAC？EABDC C解：解： A= A ABD=C ABD ACB AB : AC=AD : AB AB2 = AD AC AD=2 AC=8 AB =43.已知如图，ABD=CAD=2，AC=8，求ABABC CDABDC CABDC C4 4、如图：在、如图：在RtRt ABC ABC中，中， ABC=90ABC=900 0，BDACBDAC于于D D 问：图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？问：图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？解：解： 图中有三个直角三角形，分别是：图中有三个直角三角形，分别是： ABC、 ADB、 BDC ABC ADB BDC 2、已知：如图，BD、CE是ABC的高， 请找出图中所有的相似三角形并说明理由。ABCDE5. ABC为锐角三角形，为锐角三角形，BD、CE为高为高 . 求证：求证： ADE ABC（用两种方法（用两种方法证明）证明）.证明一：证明一： BDAC，CEAB ABD+A=90， ACE+A= 90 ABD= ACE 又又 A= A ABD ACE A= A ADE ABC 证明二：证明二： BEO= CDO BOE=COD BOE COD 即即 又又 BOC= EOD BOC EOD 1= 2 1+ BCD=90， 2+ 3= 90 BCD= 3 又又 A= A ADE ABC相似三角形判定方法相似三角形判定方法1、(定义)三组对应边的比相等且对应角相等；3、（判定定理1）三组对应边的比相等的两个三角形相似。2、（平行）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。4、（判定定理2）两组对应边之比相等且夹角相等的两个三角形相似。5、（判定定理3）两角对应相等的两个三角形相似。1. 如图，如图，ADE ACB, 则则DE:BC=_ 。2. 如图，如图，D是是ABC一边一边BC 上一点，连接上一点，连接AD,使使 ABC DBA的的条件是（条件是（ ）. A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CDBC D. AB2=BDBC3. D、E分别为分别为ABC 的的AB、AC上上的点，且的点，且DEBC，DCB= A，把每两个相似的三角形称为一组，那把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形么图中共有相似三角形_组。组。1:3D4二、证明题：1. D为为ABC中中AB边上一点，边上一点， ACD= ABC. 求证：求证：AC2=ADAB.2. ABC中中, BAC是直角，过斜是直角，过斜 边中点边中点M而垂直于斜边而垂直于斜边BC的直线的直线 交交CA的延长线于的延长线于E，交，交AB于于D， 连连AM. 求证：求证： MAD MEA AM2=MD ME3 过过ABCD的一个顶点的一个顶点A作一直作一直 线分别交对角线线分别交对角线BD、边、边BC、边、边 DC的延长线于的延长线于E、F、G . 求证：求证：EA2 = EF EG .1.已知：如图，ABC中，P是AB边上的一点，连结CP满足什么条件时 ACPABC 解:A= A，当1= ACB （或2= B）时， ACPABC A= A，当AC:APAB:AC时， ACPABC A= A，当4ACB180时， ACPABC答：当1= ACB 或2= B 或AC:APAB:AC或4ACB180时, ACPABC.APBC1241、条件探索型三、探索题2.如图：已知ABCCDB90，ACa，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，两三角形相似DABCab解: 1D90当 时，即当 时，ABC CDB, 1D90当 时，即当 时，ABC BDC， 答：略. 这类题型结论是明确的，而需要完备使结论成立的条件解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思考寻求使结论成立的条件 1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来.C解：有相似三角形，它们是：ADE BAE, BAE CDA ，ADE CDA（ ADE BAE CDA）2、结论探索型ABDEGF22.在ABC中，ABAC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.EDABCDABCDABCDABCEEE这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这些条件下可能出现的结论解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明. 3、存在探索型 如图, DE是ABC的中位线，在射线AF上是否存在点M，使MEC与ADE相似,若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.ADBCEF证明：连结MC，DE是ABC的中位线，DEBC，AEEC，又MEAC, AMCM， 1= 2 ，B=90， 4 B= 90， AF BC，AM DE, 1= 2 ， 3= 2 , ADE MEC=90 ， ADE MECADBCEF123M解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,即M点(或作MCA= AED).4例题欣赏：如图C是线段BD上的一点，ABBD.EDBD.ACEC求证：ABCCDEEA1BCD2证明：ABBD、EDBDABC=CDE=901+A=90ACEC1+2=90A=2ABCCDE例题欣赏：如图C是线段BD上的一动点，DB=7,AB=2,DE=3,当以点A,B,C,为顶点的三角形与以点B,C,D为顶点的三角形相似时求BC长。EA1BCD2解：分类讨论（1）当ABCCDE时（1）当ABCEDC时所谓存在性问题，一般是要求确定满足某些特定要求的元素有或没有的问题解题思路是：先假定所需探索的对象存在或结论成立，以此为依据进行计算或推理，若由此推出矛盾，则假定是错误的，从而给出否定的结论，否则给出肯定的证明 相似三角形的识别方法有哪些？升华提高注意一些基本图形的收集等积式的常用证明方法灵活合理选用相似三角形的判定方法分类讨论的数学思想方法