200812237.7 定积分之几何应用 面积体积回顾回顾曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题一、元素法ab xyo提示提示面面积积元元素素相应的方法通常叫做相应的方法通常叫做元素法元素法.元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：应用方向：应用方向： 面积；体积；曲线的弧长；面积；体积；曲线的弧长；元素法的元素法的实质仍是实质仍是“和式和式”的极限的极限.功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等二、几何应用A、直角坐标系情形、直角坐标系情形曲边梯形的面积曲边梯形的面积平面图形的面积平面图形的面积解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量于是所求面积于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积B、参数方程情形、参数方程情形解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积C、极坐标系情形、极坐标系情形解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积解解利用对称性知利用对称性知 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台A、旋转体的体积、旋转体的体积xyo旋转体的体积为旋转体的体积为解解直线直线 方程为方程为解解解解补充补充利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中解解体积元素为体积元素为B 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）三、小结旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周思考题思考题1思考题思考题2作业 (补充材料)习题习题6-2 1; 2、 2), 3) ; 3; 4; 5; 6.思考题思考题1解答解答xyo两边同时对两边同时对 求导求导积分得积分得所以所求曲线为所以所求曲线为思考题思考题2解答解答交点交点立体体积立体体积