学习必备欢迎下载第三章三角比与三角函数第一节 任意角的三角比、诱导公式【知识梳理】任意角的概念与弧度制；任意角三角比（正弦、余弦、正切）的定义；同角三角比的关系（22sincos1xx，sintancosxxx） ；诱导公式。【例题精析】 例 1 (1) 设(,)6 3，且17的终边与角的终边相同，则tan等于（）A. 21 B.2 C. 21 D. 1 (2) 如果是第一象限角，那么恒有（）A. sin02 B.tan12 C. sincos22 D. sincos22(3) 若 tan3 ，则4sin2cos5cos3sin的值等于 ( ) A. B. C. 17 D. (4) 已知扇形的半径为10 ，圆心角为120，则扇形的弧长为_；面积为 _(5) 已知004sin(540),cos(270 )5则_. 例 2 若tan2，求（ 1）sincoscossin的值； （2）222sinsincoscos的值 例 3 若1sinc os,cossin84 2求的值 例 4 已知sin()cos(2)tan(3 )2()tan()sin()2f（1）化简()f；（2）若是第三象限的角，且31cos()25，求( )f的值；（3）若01860 ，求()f的值第二节 两角和与差的三角比【知识梳理】1熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式；2灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形等；3要学会辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换：(),()， 2()(),2()() 等等【例题精析】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载 例 1 (1) 已知(,) ，sin=,则 tan(4) 等于（）A. B.7 C.- D.7 (2) 0000sin163 sin 223sin253 sin313等于（）A B. C.32 D. 32(3) 2cos10sin20sin70的值是（）A. B. 32 C. 3 D.2(4) 已知 coscos =21，sinsin =31，则 cos（）=_. (5) 已知 A、B 为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则 cos()AB _ 例 2 设 cos（2）=91，sin （）=32，且，0，求 cos() . 例 3 求值：2sin50sin 80 (13 tan10 )1cos10 例 4 已知 ABC中的三内角A、B、C成等差数列，且112coscoscosACB，求 cos2AC的值第三节 二倍角及半角的三角比【知识梳理】1熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式；2二倍角公式的双向运用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用；3三角恒等式的证明方法有：1)从等式一边推导变形到另一边，一般是化繁为简；2)等式两边同时变形成同一个式子；3)将式子变形后再证明。【例题解析】 例 1 (1) 下列各式中，值为21的是（）A. sin15cos15 B. 22cos112 C. 1cos302 D. 2tan22.51tan 22.5（2）若(tan )sin2fxx ，则1f的值是（）A. sin2 B.1 C. D. 1 （3）若 270 360, 化简1111cos22222的结果是（）AsinB-sin Ccos D-cos（4）已知 sin+cos=233，那么 sin的值为 _， cos2的值为 _（5）0000cos20 cos40 cos60 cos80精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载 例 2 已知5sin()413x，0x，求cos2cos()4xx的值 . 例 3 求证 : (sincos1)(sincos1)tansin 22xxxxxx 例 4 已知223sin2sin1， 3sin2-2sin2=0 ，,且都是锐角，求+2的值 . 第四节 正弦定理和余弦定理【知识梳理】1正弦定理与余弦定理2 在解三角形中，正弦定理可解决两类问题：已知两角及任一边，求其它边角；已知两边及一边的对角，求其它的边或角情形中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：已知两边及任一角问题；已知三边问题正、余弦定理可用于边角之间的转化及判断三角形的形状。【例题精析】 例 1 (1)ABC 的内角 A 、 B、 C的对边分别为a、 b、 c， 若 a、 b、 c 成等比数列， 且2ca ， 则 cosB( ) A B C24 D23（2）在 ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A. 0020,45 ,80bACB. 030,28,60acBC. 014,16,45abAD. 012,15,120acA（3）在ABC中，已知5cos13A，3sin5B，则 cosC 的值为（）A. 1665 B. 5665 C. 1665或5665 D. 1665（4）若钝角三角形三边长为1a、2a、3a，则a的取值范围是 _（5）在ABC中，060 ,1,3,sinsinsinABCabcAbSABC则= _ 例 2 在ABC中， sin A =sinsincoscosBCBC，判断这个三角形的形状. 例 3 在ABC中，a、b、c分别是A、 B、 C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且22acacbc，求A的大小及sinbBc的值 . 例 4、 如图，点 D是直角 ABC斜边 BC上一点 ,AB=AD, 记 CAD= , ABC=. （1） 证明sincos20 ; （2） 若 AC=3DC,求的值 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载DCBA第五节 解三角形的应用【知识梳理】1三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；2正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；3实际问题中有关术语、名称。（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角；（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角。【例题精析】 例 1 (1) 某人朝正东方走xkm后，向左转 1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好3km，那么 x 等于（）A.3 B.32 C.3或2 3 D.3 （2）甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060 ，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030 ，则甲、乙两楼的高分别是（）A.40 320 3 ,3mm B.103 ,20 3mmC. 10( 32),203mmD.15 320 3,23mm（3）一只汽球在 2250m 的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A 点处的俯角为018 ，汽球向前飞行了2000m 后，又测得A点处的俯角为082 ，则山的高度为（精确到1m ） （）A. 1988m B. 2096m C. 3125m D. 2451m（4）已知轮船 A 和轮船 B同时离开 C岛，A 向北偏东025 方向， B向西偏北020 方向，若 A的航行速度为 25 nmi/h ，B的速度是 A 的，过三小时后， A、B 的距离是 _（5）货轮在海上以40km/h 的速度由 B到 C航行，航向为方位角0140NBC，A处有灯塔，其方位角0110NBA，在 C处观测灯塔A的方位角035MCA，由 B到 C需航行半小时，则 C 到灯塔 A 的距离是 例 2 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图) 的东偏南2(cos)10方向300 km 的海面 P处，并以 20 km / h的速度向西偏北45 的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载并以 10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？ 例 3 上海浦东有两建筑物A、B，由于建筑物中间有障碍物，无法丈量出它们之间的距离，请你在浦西不过江，利用斜三角形的知识，设计一个测量建筑物A、B间距离的方案，并给出具体的计算方法 例 4 半圆 O的直径为 2，A为直径延长线上的一点，OA=2 ，B 为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形 ABC 。问：点 B在什么位置时，四边形OACB 面积最大？第六节 三角函数的图象【知识梳理】1正弦、余弦、正切函数的图象；2正弦、余弦、正切函数的周期性；3利用三角函数的图象求三角函数的定义域、值域等。【例题精析】 例 1 (1) 若1sin2x，则x的范围是；若32cos0x，则x的范围是 _；若 tan1x，则x的范围是 _；若22sincosxx ，则x的范围是 _（2）函数21( )sin16f xxx的定义域为（3）函数()tan(0)f xx图象的相邻两支截直线4y所得线段长为，则()4f的值是（）A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 （4）下列坐标所表示的点不是函数tan()26xy的图象的对称中心的是（）A. （3，0） B.（53，0） C.（43，0） D.（23，0）（5）如果函数sin 2cos2yxax 的图象关于直线8x对称，则a 例 2 求下列函数的定义域：（1）( )3tanf xx； （2）( )tan(sin )f xx ； （3）2cos1( )lg(tan1)xf xx 例 3 求下列函数的周期：（1）sin2sin(2)3cos2cos(2)3xxyxx； （2）2sin()sin2yxx ； （3）cos4sin4cos4sin4xxyxx 例 4 已知函数 f(x)=3sin(2x 6)+2sin2(x 12) (x R)(1) 求函数 f(x) 的最小正周期； (2)求使函数 f(x) 取得最大值的x 的集合第七节 三角函数的性质【知识梳理】1正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载2正弦、余弦、正切函数的的单调性。【例题精析】 例 1 (1) 已知aR，函数()sin|,f xxaxR 为奇函数，则a（）A. 0 B. 1 C. 1 D. 1 （2）函数tan4fxx的单调增区间为（）A,22kkkZ B,1,kkkZC3,44kkkZ D3,44kkkZ（3） 定义在 R上的函数( )f x 既是偶函数又是周期函数，若( )f x 的最小正周期是， 且当0,2x时，( )sinf xx，则5()3f的值为 ( ) A. 12 B. 32 C. 32 D. （4）如果( )sin()2cos()fxxx是奇函数，则tan _（5）已知函数( )yf x 满足以下三个条件：在 0,2上是增函数以为最小正周期是偶函数试写出满足以上性质的一个函数解析式_ 例 2 判断下列函数的奇偶性（1）()sin 2tanf xxx ；（2）1sincos( )1sincosxxf xxx；（3）( )cos(sin )f xx ；（4）( )lgcosfxx 例 3 已知 : 函数12logsincosfxxx （1）求它的定义域和值域；（2）判断它的奇偶性；（3）求它的单调区间；（4）判断它的周期性, 若是周期函数 ,求它的最小正周期. 例 4 已知函数22( )sin2sincos3cosfxxxxx， xR 求 : (1) 函数( )f x 的最大值及取得最大值的自变量x的集合；(2) 函数( )f x 的单调增区间第八节 函数的图象变换【知识梳理】1函数sin()yAx的实际意义；2函数sin()yAx图象的变换（平移平换与伸缩变换）。【例题解析】 例 1 (1) 函数3sin()226xy的振幅是 _；周期是 _；频率是 _；相位是 _;初相是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载（2）函数2sin(2)3yx的对称中心是 _；对称轴方程是 _单调增区是_（3）将函数sin(0)yx的图象按向量,06a平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）Asin()6yx B sin()6yxCsin(2)3yx Dsin(2)3yx（4）为了得到函数2sin(),36xyxR 的图像，只需把函数2sin ,yxxR 的图像上所有的点（）A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）（5）将函数( )sinyf xx的图象向右平移个单位后再作关于x轴对称的曲线，得到函数212sinyx的图象，则( )f x 的表达式是（）A. cosx B. 2cosx C. sin x D. 2sin x 例 2 已知函数2( )2cos3sin 2,(01)f xxx其中，若直线3x为其一条对称轴。（1）试求的值（2）作出函数( )f x 在区间 , 上的图象 例 3 已知函数2( )sin ()(0,0,0)2fxAxA，且( )yf x 的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（ 1,2 ） （1）求；（2）计算(1)(2)(2008)fff 例 4 设函数2( )3cossincosfxxxxa（其中0,aR ） 。且( )f x 的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是（1）求的值；（2）如果fx在区间5,36上的最小值为3，求a的值第九节 三角函数的综合应用【知识梳理】会用三角函数解决一些简单实际问题及最值问题. 【例题精析】 例 1 (1) 方程 sinlgxx 的实根个数是（）A. 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载（2）已知, x y满足方程22916144xy，则xy的最大值为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 （3）如图为一半径为3 米的水轮，水轮圆心O距离水面 2 米，已知水轮每分钟旋转4 圈，水轮上的点P到水面距离y( 米) 与时间x( 秒) 满足函数关系sin()2,yAx则有（）A2,315AB15,32AC2,515AD15,52A（4）若实数, x y满足22(1)1xy且不等式0xyk恒成立，则 k 的取值范围是 _.（5）在有太阳的时候，一个球在水平地面上，球的影子伸到与地面的接点10 米处，同一时刻，一根长 1 米，一端接触地面且垂直放置的尺的影子长是2 米，则球的半径为_. 例 2 某港口水的深度y（米）是时间(024tt，单位：时）的函数，记作( )yf t ，下面是某日水深的数据，经长期观察，( )yf t 的曲线可以近似地看成函数sinyAxb 的图象。（1）试根据以上数据，求出函数( )yf t 的近似表达式，（2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5 米或 5 米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可） 。某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5 米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？t 时0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 米10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 例 3 如图所示， 一个摩天轮半径为10 米，轮子的底部在地面上2 米处， 如果此摩天轮每 20 秒转一圈， 且当摩天轮上某人经过点P 处（点 P与摩天轮中心高度相同）时开始计时，（1）求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10 米 例 4 如图 ,ABCD是一块边长为100 米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90 米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地， 现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大值与最小值。第十节 知识小结1. 与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：|360,kkZ终边在x轴上的角的集合：|180 ,kkZ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载yxSIN COS三角函数值大小关系图sinxcosx1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosx终边在y轴上的角的集合：|180 ,kkZ终边在坐标轴上的角的集合：|90 ,kkZ终边在y=x轴上的角的集合：|18045 ,kkZ终边在yx轴上的角的集合：|18045 ,kkZ若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360 k若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360180k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180 k角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：36090k2. 角度与弧度的互换关系：360=2 180 = 1 =0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 3. 三角函数的定义域：三角函数定义域)(xfsin xRxx |)(xfcosxRxx |)(xftan x1|,2xxRxkkZ且)(xfcot xZkkxRxx,|且)(xfsecx1|,2xxRxkkZ且)(xfcsc xZkkxRxx,|且4. 三角比的公式：同角三角比的基本关系：22sincos1xx,sintancosxxx两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；tantantan()1tantan. 辅助角公式：sincosab=sincosab ( 其中 , 辅助角所在象限由点( , )a b所在的象限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载决定 , tanba ). 二倍角公式： sin 22sincos.2(sincos )12sincos1sin22222cos2cossin2cos112sin（升幂公式） . 221cos21cos2cos,sin22（降幂公式） . 万能公式 :22ta nsin21tan；221tancos21tan；22ta ntan21tan（正切倍角公式）. 5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：函数性质xAysin（A、0）定义域R R R 值域 1, 11, 1R R ,A A周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当0,非奇非偶当0,奇函数单调性22,22kk上为增函数；223,22kk上为减函数（Zk） 21,2kk；上为增函数12,2kk上为减函数（Zk）,22kk上为增函数（Zk）,1kk上为减函数（Zk）22(),122()kAkA上为增函数；22(),322()kAkA上为减函数（Zk）注意：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反. 一般地，若)(xfy在,ba上递增（减），则)(xfy在,ba上递减（增） . xysin与xycos的周期是. )sin(xy或)cos( xy（0）的周期2T. 2tanxy的周期为 2（2TT，如图，翻折无效）. )sin(xy的对称轴方程是2kx（Zk） ，对称中心（,0k） ；cos()yx的对称轴方程是kx（Zk） ，对称中心（1,02k） ；tan()yx的对称中心（(,0)2k）. xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当tan tan1,)(2Zkk；tan, 1tan)(2Zkk. ZkkxRxx,21|且ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysinOyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载xycos与sin22yxk是同一函数 , 而()yx是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy. 函数tanyx在R上为增函数 .（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，tanyx为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是( )f x 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数：()( )fxf x ，奇函数：()( )fxf x ）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：tanyx 是奇函数，1tan()3yx是非奇非偶 . （定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若0x 的定义域，则( )f x 一定有(0)0f. （ 0x 的定义域，则无此性质）sinyx不是周期函数；sinyx为周期函数（T） ；cosyx是周期函数（如图） ；cosyx为周期函数（T） ；1cos22yx的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：( )5(),yfxfxkkR. 22cossinsin()cosbyababa有22aby . 6. 正弦定理：设ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则2sinsinsinabcRABC. 余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbaabC正切定理：ta n2ta n2ABabABab三角形面积计算公式：设ABC的三边为a，b，c，其高分别为h ,bch h半周长为P, 外接圆、内切圆的半径为,R r . 111222abcSahbhchPrS4abcSR111sinsinsin222SabCacBbcAyxy= cos |x|图象1/2yxy=| cos2x+1/2|图 象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载第三章三角比与三角函数第一节任意角的三角比、诱导公式例 1、(1) D (2) B (3) A (4)203cm , 21003cm(5)45例 2、 解（ 1）cossin1tan12322cossin1tan12（2）原式2222222sinsincoscos2tantan142152sincostan133例 3、解：22213cossincossin2sincos144(cossin423cossin2），例 4、解： （1）coscos(tan)costancosf（2）31cossinsin25, 又是第三象限的角2122cos1sin16,()62555f（3）186063603001 860c os(1860 )ff1cos(6360300 )cos602第二节两角和与差的三角比例 1、 （1）A （2）B （3）C （4）5972（5）22例 2、239729. 例 3、解：原式2sin80132sin802sin50(cos10sin10 )2sin50cos(6010 )cos1022cos102 cos52 cos52sin80132sin802sin50(cos10sin10 )2sin 50cos(6010 )cos1022cos102 cos52 cos5例 4、22第三节二倍角及半角的三角比例 1、(1) D （2）B （3）D （4）（5）116例 2、1324. 例 3、 略例 4、422. 第四节正弦定理和余弦定理例 1、(1) B （2）C （3）A （4）02a（5）2393精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载例 2、ABC是直角三角形 . 例 3、32. 例 4、解： (1) sincos0（2）30sin223第五节解三角形的应用例 1、 （1）C （2） A （3） B （4）90.8 min （5）10(62)km例 2、12 小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12 小时例 3、2222222sinsin2sinsincos()sin ()sin ()sin()sin()aaa例 4、56AOB时，四边形OACB 面积最大第六节三角函数的图象例 1、 （1）522,66kxkkZ，5722,66kxkkZ,24kxkkZ，3,44kxkkZ提示：观察三角函数图象（2） 0, (4 ,（3）A （4）（5）-1 例 2、解： （1）)(xf的定义域为(,()23kkkZ （2）)(xf的定义域为R（3）函数的定义域为(2,2)(2,2)()43kkkkkZ例 3、解： （1）周期2T （2）周期T （3）周期4T例 4、解:(1) 22T (2) x的集合为 xR|x= k + 512, k Z 第七节三角函数的性质例 1、(1) A (2) C (3) B (4) -2(5)xxf2cos)(例 2、解： （1）xf为奇函数（2）xf为非奇非偶函数。（3）xf为偶函数。（4）xf既是奇函数，又是偶函数。例 3、解:(1) 定义域为52,2,44kkkZ值域为1,)2 (2) 函数为非奇非偶函数（3）sincos2 sin()04xxxxf的递增区间为352,2()44kkkZ）递减区间为3(2,2()44kkkZ(4) 最小正周期2T. 例 4、解（ 1）函数fx的取得最大值的自变量x的集合为|,8xxR xkkZ（）. （2）函数xf的单调增区间为3,()88kkkZ. 第八节函数的图象与性质例 1、(1) ；14；26x；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载（2）(,0),26kkZ；5,212kxkZ；5, ()212kkkZ（3） C (4)C (5) B 例 2、解： （1）1012（2）用五点作图例 3、解： （1）4. （2）122 00 84502200 8fff例 4、解： （1）1012（2）312a第九节三角函数的综合应用例 1、 （1）C （2）C （3）A （4）21,（5）21,（米）例 2、解： （1）3sin106yt（2）该船可在当日凌晨1 时进港 , 下午 17 时出港 , 在港口内最多停留16 个小时 . 例 3、解： （1）在 t 秒时此人相对于地面的高度y=10sin1210t（米）（2）约有 8.72 秒此人相对于地面的高度不超过10 米例 4、当109t时，2m in950()Sm当2t时，21405090002()S米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页