优秀学习资料欢迎下载线性回归方程1. 下列关系中，是相关关系的为（填序号） . 学生的学习态度与学习成绩之间的关系；教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. 答案2. 为了考察两个变量x、y 之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10 次和 15 次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l1和 l2. 已知在两人的试验中发现变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为 s, 变量 y 的观测数据的平均值也恰好相等，都为t , 那么下列说法中正确的是（填序号） . 直线 l1, l2有交点（ s, t ) 直线 l1, l2相交，但是交点未必是( s, t ) 直线 l1, l2由于斜率相等，所以必定平行直线 l1, l2必定重合答案3. 下列有关线性回归的说法，正确的是（填序号） . 相关关系的两个变量不一定是因果关系散点图能直观地反映数据的相关程度回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系任一组数据都有回归直线方程答案4. 下列命题：线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；通过回归直线y ?=b?x + a ? 及回归系数 b?, 可以估计和预测变量的取值和变化趋势. 其中正确命题的序号是 . 答案5. 已知回归方程为y?=0.50 x-0.81, 则 x=25 时， y?的估计值为 . 答案11.69 例 1下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量15 20 25 30 35 40 45 水稻产量320 330 360 410 460 470 480 （1）将上述数据制成散点图；（2） 你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而基础自测精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载增长吗？解（1）散点图如下：（2）从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长. 例 2（14 分）随着我国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查了10 个家庭，得数据如下：家庭编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi（收入）千元0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.8 2.0 2.2 2.4 2.8 yi（支出）千元0.7 1.0 1.2 1.0 1.3 1.5 1.3 1.7 2.0 2.5 （1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？（2）若二者线性相关，求回归直线方程. 解（1）作出散点图： 5分观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系. 7分（2）x=101 (0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8)=1.74, y =101（0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5）=1.42 ， 9分b?=niiniiixnxyxnyx12210.813 6 ，a?=1.42-1.74 0.813 6 0.004 3 ，13分回归方程y ?=0.813 6 x+0.004 3. 14精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载分例 3下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x( 吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据. x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于 x 的线性回归方程y?= b?x+ a?；（3）已知该厂技改前100 吨甲产品的生产能耗为90 吨标准煤 .试根据（ 2）求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值： 32.5+4 3+54+64.5=66.5) 解（1）散点图如下图 : （2）x=46543=4.5,y =45.4435 .2=3.5 41iiiyx=32.5+4 3+45+64.5=66.5. 412iix=32+42+52+62=86 b?=24124144xxyxyxiiiii=25 .44865 .45 .345 .66=0.7 a ? = y - b?x=3.5-0.7 4.5=0.35. 所求的线性回归方程为y ? =0.7 x+0.35. （3）现在生产100 吨甲产品用煤y=0.7 100+0.35=70.35 ，降低 90-70.35=19.65(吨) 标准煤 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载1. 科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据（单位分别是mm, ) ，并作了统计 . 年平均气温12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 年降雨量748 542 507 813 574 701 432 （1）试画出散点图；（2）判断两个变量是否具有相关关系. 解（1）作出散点图如图所示，(2) 由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量是非线性相关关系. 2. 在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：温度 ( x) 0 10 20 50 70 溶解度（ y) 66.7 76.0 85.0 112.3 128.0 由资料看 y 与 x 呈线性相关，试求回归方程. 解x=30, y=50.1283.1120.850.767.66=93.6. b?=25125155xxyxyxiiiii0.880 9. a ?= y - b?x=93.6-0.880 930=67.173. 回归方程为y ?=0.880 9 x+67.173. 3. 某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：月份产量（千件）单位成本（元）1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73 5 4 69 6 5 68 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载（1）求出线性回归方程；（2）指出产量每增加1 000 件时，单位成本平均变动多少？（3）假定产量为6 000 件时，单位成本为多少元？解（1）n=6，61iix =21，61iiy =426，x=3.5,y =71, 612iix=79，61iiiyx=1 481，b?=26126166xxyxyxiiiii=25.3679715.364811=-1.82. a ?= y - b?x=71+1.82 3.5=77.37. 回归方程为y ?= a ?+b?x=77.37-1.82 x. （2）因为单位成本平均变动b?=-1.82 0, 且产量 x 的计量单位是千件, 所以根据回归系数b 的意义有 : 产量每增加一个单位即1 000 件时 ,单位成本平均减少1.82 元. (3) 当产量为 6 000 件时 , 即 x=6, 代入回归方程 : y ?=77.37-1.82 6=66.45 （元）当产量为 6 000 件时，单位成本为66.45 元. 一、填空题1. 观察下列散点图，则正相关；负相关；不相关.它们的排列顺序与图形对应顺序是 . 答案a, c, b2. 回归方程 y ?=1.5 x-15, 则下列说法正确的有个. y=1.5x-15 15 是回归系数 a1.5 是回归系数ax=10 时， y=0 答案1 3.（2009. 湛江模拟） 某地区调查了29 岁儿童的身高， 由此建立的身高y(cm) 与年龄 x( 岁) 的回归模型为y?=8.25 x+60.13, 下列叙述正确的是 . 该地区一个10 岁儿童的身高为142.63 cm 该地区 29 岁的儿童每年身高约增加8.25 cm 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载该地区 9 岁儿童的平均身高是134.38 cm 利用这个模型可以准确地预算该地区每个29 岁儿童的身高答案4. 三点（ 3，10） ， （7，20） ， （11，24）的回归方程是 . 答案y?=1.75 x+5.75 5. 某人对一地区人均工资x( 千元）与该地区人均消费y( 千元）进行统计调查，y 与 x 有相关关系，得到回归直线方程y ?=0.66 x+1.562. 若该地区的人均消费水平为7.675 千元，估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为 . 答案83% 6. 某化工厂为预测产品的回收率y, 需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系,现取 8 对观测值 , 计算, 得81iix =52, 81iiy =228, 812iix=478, 81iiiyx=1 849, 则其线性回归方程为 . 答案y ?=11.47+2.62 x7. 有下列关系：人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；曲线上的点与该点的坐标之间的关系；苹果的产量与气候之间的关系；森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系. 其中， 具有相关关系的是 . 答案8. 已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y( 万元），有如下统计资料：使用年限 x2 3 4 5 6 维修费用 y2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若 y 对 x 呈线性相关关系，则回归直线方程y ? =b?x+a ?表示的直线一定过定点 . 答案（4，5）二、解答题9. 期中考试结束后，记录了5 名同学的数学和物理成绩，如下表：学生学科A B C D E 数学80 75 70 65 60 物理70 66 68 64 62 （1）数学成绩和物理成绩具有相关关系吗？（2）请你画出两科成绩的散点图，结合散点图，认识（1）的结论的特点 . 解（1）数学成绩和物理成绩具有相关关系. （2）以 x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得相应的散点图如下：由散点图可以看出，物理成绩和数学成绩对应的点不分散，大致分布在一条直线附近. 10. 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：房屋面积 x（m2) 115 110 80 135 105 销售价格y( 万元）24.8 21.6 18.4 29.2 22 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线. 解（1）数据对应的散点图如图所示：（2）x=109, y =23.2,512iix=60 975, 51iiiyx=12 952, b?=25125155xxyxyxiiiii0.196 2 a ?= y - b?x1.814 2 所求回归直线方程为y ?=0.196 2 x+1.814 2. 11. 某公司利润y 与销售总额x( 单位：千万元）之间有如下对应数据：x 10 15 17 20 25 28 32 y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3 （1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）估计销售总额为24 千万元时的利润 . 解（1）散点图如图所示：（2)x=71(10+15+17+20+25+28+32)=21, y =71(1+1.3+1.8+2+2.6+2.7+3.3)=2.1, 712iix=102+152+172+202+252+282+322=3 447, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载71iiiyx=101+151.3+17 1.8+20 2+252.6+28 2.7+32 3.3=346.3, b?=27127177xxyxyxiiiii=221744731.22173 .3460.104, a?= y - b?x=2.1-0.10421=-0.084, y ?=0.104 x-0.084. (3) 把 x=24( 千万元）代入方程得，y ?=2.412 （千万元） . 估计销售总额为24 千万元时，利润为2.412 千万元 . 12. 某种产品的广告费支出x 与销售额 y( 单位：百万元）之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）试预测广告费支出为10 百万元时，销售额多大？解（1）根据表中所列数据可得散点图如下：（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算：i 1 2 3 4 5 xi2 4 5 6 8 yi30 40 60 50 70 xiyi60 160 300 300 560 因此，x=525=5, y =5250 =50, 512iix=145, 512iiy=13 500, 51iiiyx=1 380. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载于是可得： b?=25125155xxyxyxiiiii=55514550553801=6.5; a ?= y - b?x=50-6.5 5=17.5. 因此，所求回归直线方程为：y ? =6.5 x+17.5. （3）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10 百万元时，y ? =6.5 10+17.5=82.5( 百万元 ) ，即这种产品的销售收入大约为82.5 百万元 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页