专题 1 函数（ 1）张家港市塘桥高级中学罗小兵一、填空题：1已知0.20.20.62,0.4,0.4abc，则,a b c从大到小为【答案】abc2设2( )lg()1f xax的奇函数，则使( )0f x的 X的取值范围是【答案】（一 1， 0）3若 x0，y0，且12yx，则232yx的最小值是【答案】434已知函数( )()()f xxa xb（其中ab，,a b为常数），若( )f x的图象如右图所示，则函数( )xg xab在区间 1，1 上的最大值是【答案】1ba5. 设 函 数)(xf是 定 义 在R上 的 奇 函 数 ， 且 对 任 意Rx都 有)4()(xfxf， 当)02(，x时，xxf2)(，则)2011()2012(ff的值为【答案】216对于给定的函数xxxf22)(，有下列四个结论：)(xf的图象关于原点对称；2)3(log2f；)(xf在 R上是增函数；|)(| xf有最小值0其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）【答案】7. 定 义 在R上 的 函 数xf满 足0,210,8log2xxfxfxxxf， 则3f的 值为【答案】38函数|log|21xy的定义域为,ba，值域为 0 ，2 ，则区间,ba的长ab的最大值是【答案】1549对于任意实数x,符号 x表示不超过x的最大整数 , 例如 -1 5=-2,25=2, 定义函数 xxx, 则给出下列四个命题：函数x的定义域是R, 值域为 0,1 ；方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页12x有无数个解；函数x是周期函数；函数x是增函数其中正确命题的序号是【答案】10已知函数2( ),( 2,2)fxxx=，2( )sin(2)3 ,0,62g xaxa x，1 2,2x，0010,()()2xg xf x总使得成立，则实数a的取值范围是【答案】(, 46,)U11 已知函数111,0,)22( )12,2)2xxxf xx若存在12,x x， 当1202xx时，12()()f xf x，则12()x f x的取值范围是【答案】221,4212已知定义域为D的函数)(xf，对任意Dx，存在正数K，都有Kxf| )(|成立，则称 函 数)(xf是D 上 的 “ 有 界 函 数 ” 已 知 下 列 函 数 ： 1sin2)(2xxf； 21)(xxf； xxf2log1)(； 1)(2xxxf， 其 中 是 “ 有 界 函 数 ” 的是 （写出所有满足要求的函数的序号）【答案】13. 设( )f x是定义在R上的偶函数， 对任意xR，都有( )(4)f xf x，且当 2,0x时，1( )12xf x，若在区间( 2,6内关于x的方程( )log (2)0(1)af xxa恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为【答案】3(4, 2)【 解 析 】 令)2(log)(xaxg， 由 题 意 若 在 区 间( 2,6内 关 于x的 方 程( )log (2)0(1)af xxa恰有三个不同的实数根，所以3)2(3)6(gg，解得243a14. 定 义 在1 , 1上 的 函 数xyyxfyfxf1； 当1,00.xfx时若精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页111,05112PffQfRf；则,P Q R的大小关系为【答案】RPQ【解析】令0xy，则可得(0)0f，令0x，则( )()f yfy，即( )f x为奇函数，令10xy，则01xyxy，所以01xyfxfyfxy，即0,1xfx时递减，又1111112511( )1151151171511Pffffff，因2172，所以21()( )72ff，即0PQ.二、解答题：15. 设函数101xxfxakaaa且是定义域为R的奇函数（1）求k值；（2）若10f，试判断函数单调性并求使不等式240fxtxfx恒成立的的取值范围；（3）若312f，且222xxg xaamfx，在1,上的最小值为2，求m的值. 解： (1) f(x)是定义域为R的奇函数， f(0) 0，1- （k1） 0， k2，（2）),10()(aaaaxfxx且10,1,0,01,0) 1(aaaaaf且又xa单调递减，xa单调递增，故f(x) 在 R上单调递减。不等式化为)4()(2xftxxf04)1(,422xtxxtxx即恒成立，016)1(2t，解得53t(3) f(1) 32，231aa，即,02322aa（舍去）。或212aag(x) 22x22x2m(2x2x) (2x2x)22m(2x2x) 2. 令 t f(x)2x2x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页由(1) 可知 f(x)2x2x为增函数， x1， t f(1) 32，令 h(t) t22mt2(t m)22m2(t 32) 若 m 32，当 t m时， h(t)min2m2 2， m 2 若 m32，舍去综上可知m 2. 16. 已知函数4( )()f xxaaxR. （1）若0a，求不等式( )0f x的解集；（2）当方程( )2f x恰有两个实数根时，求a的值；（3）若对于一切(0,)x，不等式( )1f x恒成立，求a的取值范围 . 解： （1）由0a得4( )f xxx当0x时，4( )0f xxx恒成立0x当0x时，4( )0f xxx得2x或2x又0x2x所以不等式( )0f x的解集为(, 2(0,)（2）由( )2f x得42xax令124,2yxa yx由函数图象知两函数图象在y 轴右边只有一个交点时满足题意，42xax即2(2)40xax由0得2,6a由图知2a时方程( )2f x恰有两个实数根（3）41(0)xaxx当0a时，41(0)xaxx，41(0)xa xx，3a， 所以0a当0a时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页4( )4 0xaxaxf xxaxax当xa时，41xax，即41(0)axxx，令4( )1g xxx02a时，(2)3ag，所以02a2a时，4( )1ag aaa，所以4a，24a所以04a当0xa时，41xax，即41(0)axxx所以41aaa，4a综上，a的取值范围是(,417. 已知集合121212( ,)0,0,Dx xxxxxk其中k为正常数（1）设12ux x，求u的取值范围（2）求证：当1k时不等式21212112()()()2kxxxxk对任意12(,)x xD恒成立；（3）求使不等式21212112()()()2kxxxxk对任意12(,)x xD恒成立的k的范围解： （1）221212()24xxkx x，当且仅当122kxx时等号成立，故u的取值范围为2(0,4k（2） 变形，得121212121221111()()xxxxx xxxx xxx222212121212121211122xxkkx xx xux xx xx xu. 由204ku，又1k，210k，21( )2kf uuu在2(0,4k上是增函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页所以121211()()xxxx212kuu22222214222()4424kkkkkkk即当1k时不等式21212112()()()2kxxxxk成立（3）令121211()()xxxx212( )kuf uu，则)4()22(22kfkk，即求使2( )()4kf uf对2(0,4ku恒成立的k的范围由 （2） 知， 要使21212112()()()2kxxxxk对任意12(,)x xD恒成立，必有01k，因此210k，函数21( )2kf uuu在2(0, 1k上递减， 在2 1,)k上递增，要使函数( )f u在2(0,4k上恒有2( )()4kf uf，必有2214kk，即4216160kk，解得0252k18对于函数( )f x, 若存在实数对(ba,), 使得等式bxafxaf)()(对定义域中的每一个x都成立 , 则称函数( )f x是“ (ba,) 型函数” . (1) 判断函数( )4xf x是否为“ (ba,) 型函数”，并说明理由；(2) 已知函数( )g x是 “(1,4) 型函数”, 当0,2x时, 都有1( )3g x成立 , 且当0,1x时,2( )g xx(1)1m x(0)m, 若, 试求m的取值范围 . 解: (1)函数( )4xf x是“ (ba,) 型函数”因为由bxafxaf)()(, 得16ab, 所以存在这样的实数对,如1,16ab(2) 由 题 意 得 ,(1) (1)4gx gx, 所 以 当1,2x时 , 4( )(2)g xgx, 其 中20,1x, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页而0,1x时,22( )(1)110g xxmxxmxm, 且其对称轴方程为2mx, 当12m, 即2m时 ,( )g x在0,1上的值域为 (1), (0)gg, 即2,1m, 则( )g x在0,2上的值域为442,1,2,111mmmmU, 由题意得13411mm, 此时无解当1122m, 即12m时,( )g x的值域为 (),(0)2mgg, 即21,14mmm, 所以则( )g x在0,2上的值域为22441,1,4114mmmmmmU, 则由题意得2431413mmm且2114411mmm,解得12m当1022m, 即01m时 ,( )g x的值域为(),(1)2mgg, 即21,24mm, 则( )g x在0,2上的值域为2241,22,414mmmmU=2241,414mmmm, 则221144314mmmm, 解得2 6213m. 综上所述 ,所求m的取值范围是2 6223m19已知函数baxaxxg12)(2（0a）在区间3,2上有最大值4和最小值1设xxgxf)()(（1）求a、b的值；（2）若不等式02)2(xxkf在1,1x上有解，求实数k的取值范围；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页（3）若03|12|2|12|kkfxx有三个不同的实数解，求实数k的取值范围解： （1）abxaxg1)1()(2，因为0a，所以)(xg在区间3,2上是增函数，故4)3(1)2(gg，解得01ba（2）由已知可得21)(xxxf，所以02)2(xxkf可化为xxxk 22212，化为kxx2122112， 令xt21，则122ttk， 因1,1x，故2,21t，记)(th122tt，因为1,21t，故1)(maxth，所以k的取值范围是 1,(（3）原方程可化为0)12(|12|)23(|12|2kkxx，令tx|12|，则),0(t，0)12()23(2ktkt有两个不同的实数解1t，2t，其中101t，12t，或101t，12t记)12()23()(2ktktth，则0) 1(012khk或122300)1(012kkhk解不等组，得0k，而不等式组无实数解所以实数k的取值范围是),0(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页