1 解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标 x，y表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法： 如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P点坐标 x，y 与该参数t 的函数关系x ft ，yg t ，进而通过消参化为轨迹的普通方程Fx，y 0。 4. 代入法相关点法 ：如果动点P的运动是由另外某一点P 的运动引发的，而该点的运动规律已知，该点坐标满足某已知曲线方程 ，则可以设出Px，y ，用 x，y表示出相关点P 的坐标，然后把P 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。5：交轨法： 在求动点轨迹时， 有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点含参数 的坐标， 再消去参数求得所求的轨迹方程假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程，该法经常与参数法并用。一：用定义法求轨迹方程例 1：已知ABC的顶点A，B 的坐标分别为-4 ，0 ， 4，0 ，C 为动点，且满足,sin45sinsinCAB求点 C的轨迹。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页2 例 2： 已知ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，假设bca,依次构成等差数列，且bca，2AB，求顶点C的轨迹方程 . 【变式】：已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P的轨迹方程。【变式】：C：22(3)16xy内部一点(3, 0)A与圆周上动点Q 连线 AQ 的中垂线交CQ 于 P，求点 P 的轨迹方程.二：用直译法求轨迹方程例 3：一条线段两个端点A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求 AB 中点 M 的轨迹方程？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页3 【变式】 :动点 Px,y到两定点A 3，0和 B3，0的距离的比等于2即2|PBPA ，求动点 P 的轨迹方程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例 4过点 P2，4作两条互相垂直的直线l1，l2，假设l1交 x 轴于 A 点， l2交 y 轴于 B点，求线段AB的中点 M的轨迹方程。例 5: 过抛物线pxy220p的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程 . 【变式】 过圆 O：x2 +y2= 4 外一点 A4， 0 ，作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC 的中点 M 的轨迹。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页4 四：用代入法求轨迹方程例 6.的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点MAB，a，AbyaxB)02(12222轨迹方程。例 7: 如图，从双曲线1:22yxC上一点Q引直线2:yxl的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程 . 【变式】 如下图，已知P(4， 0)是圆 x2+y2=36 内的一点， A、B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程五、用交轨法求轨迹方程例 8. 已知椭圆22221xyababo的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2，求 A1P1与 A2P2交点 M的轨迹方程 .BQRAPoyxy Q O x N P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页5 例 9： 如右图， 垂直于x轴的直线交双曲线12222byax于M、N两点，21,AA为双曲线的左、 右顶点，求直线MA1与NA2的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状. 六、用点差法求轨迹方程例 10.已知椭圆1222yx，1求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；2求斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程；3过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；课后作业ABC中， B，C 坐标分别为-3，0 ， 3，0 ，且三角形周长为16，则点 A的轨迹方程是 _. 01myx与01ymx的交点的轨迹方程是_ . (x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的弦0A，则弦的中点M 的轨迹方程是_ x A1 A2 O y N M P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页6 m 随意变化时，则抛物线yxmxm22211的顶点的轨迹方程为_。5:点 M 到点 F4，0的距离比它到直线x50的距离小 1，则点 M 的轨迹方程为 _。6:求与两定点O OA1030，、，距离的比为1： 2 的点的轨迹方程为_ xy42的通径过焦点且垂直于对称轴的弦与抛物线交于A、B 两点，动点C 在抛物线上，求ABC 重心 P的轨迹方程。8. 已知动点P到定点 F1，0和直线x=3 的距离之和等于4，求点 P的轨迹方程。l和抛物线642xxy交于 A、B两点，求线段AB的中点 M的轨迹方程。10、已知定点A ( 3, 0 )，P 是圆 x 2 + y2 = 1 上的动点， AOP 的平分线交AP 于 M，求 M 点的轨迹。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页7 11、已知常数0a，经过定点(0,)Aa以( , )ma为方向向量的直线与经过定点(0,)Ba，且以(1,2)na为方向向量的直线相交于点，其中R 求点的轨迹的方程，它是什么曲线； 假设直线:1lxy与曲线相交于两个不同的点、，求曲线的离心率的范围12、过点( 2,0)M，作直线l 交双曲线221xy于 A、B 不同两点，已知OPOAOB。1 、求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。2 、是否存在这样的直线，使| | ?OPAB假设存在，求出l 的方程；假设不存在，说明理由。补充例题：y 2 = 4 p x ( p 0 )的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O 在直线 AB 上的射影M 的轨迹。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页8 2.已知椭圆2222byax=1(ab0),点 P 为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为l，点 F2关于 l的对称点为Q，F2Q 交 l 于点 R(1)当 P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点 R 形成的曲线为C，直线 ly=k(x+2a)与曲线 C 相交于 A、B 两点，当 AOB 的面积取得最大值时，求 k 的值3如图 11-5- 1，已知圆 O ：2225,xy点(3, 0),(3, 0)AB，C为圆 O 上任意一点，直线CD 与 BC 垂直，并交圆 O 于另一点D. 1求证：ADBC ；2假设点P在线段 CD 上，且PADPBC ，求点P的轨迹方程 . P O x y A B C D 图 11-5-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页9 求轨迹方程的常用方法答案例 1： 由,sin45sinsinCAB可知1045cab，即10|BCAC，满足椭圆的定义。令椭圆方程为12222byax，则34, 5bca，则轨迹方程为192522yx)5x，图形为椭圆不含左，右顶点。例 2：解：如右图，以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，bca,构成等差数列，bac2，即4|2|ABCBCA，又CACB，C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2 ca，3b，故C的轨迹方程为)2,0(13422xxyx. 【变式】解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4， a=2，b2=12。故所求轨迹方程为2: 一动圆与圆O：122yx外切，而与圆C：08622xyx内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】 令动圆半径为R，则有1|1|RMCRMO，则 |MO|-|MC|=2 ，满足双曲线定义。故选D。二：用直译法求曲线轨迹方程例 3：一条线段 AB 的长等于2a,两个端点A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？解设M点 的 坐 标 为),(yx由 平 几 的 中 线 定 理 ： 在 直 角 三 角 形 AOB中 ，OM=,22121aaAB22222,ayxayxM 点的轨迹是以O 为圆心， a为半径的圆周. 【点评】 此题中找到了OM=AB21这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有以下几种情况：1代入题设中的已知等量关系：假设动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化C B y x O A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页10 的方法求其轨迹。2列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 【变式 2】:动点 Px,y到两定点A 3，0和 B3，0的距离的比等于2即2|PBPA ，求动点 P 的轨迹方程？【解答】 |PA|=2222)3(| ,)3(yxPByx代入2|PBPA得222222224)3(4) 3(2)3() 3(yxyxyxyx化简得 x 52+y2=16，轨迹是以5，0为圆心， 4 为半径的圆 . 三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例 4【解析】分析 1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率 k作为参数，建立动点M坐标 x，y满足的参数方程。解法 1：设 M x， y ，设直线l1的方程为y4kx2 ， k)2(14221xkyl，ll的方程为则直线由，Axl)0k42(1的坐标为轴交点与，k，Byl)240(2的坐标为轴交点与 M为 AB的中点，)(1222421242为参数kkkykkx消去 k，得 x2y50。另外，当k0 时， AB中点为 M 1，2 ，满足上述轨迹方程；当 k 不存在时， AB中点为 M 1，2 ，也满足上述轨迹方程。综上所述， M的轨迹方程为x2y50。分析 2：解法 1 中在利用k1k2 1 时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页11 PAB为直角三角形的几何特性：|21|ABMP解法 2：设 M x， y ，连结 MP ，则 A2x，0 ，B0，2y ， l1l2， PAB为直角三角形|21|ABMP，由直角三角形的性质2222)2()2(21)4()2(yxyx化简，得x2y50，此即 M的轨迹方程。分析 3： ：设 M x，y ，由已知l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2 1，即可列出轨迹方程，关键是如何用 M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为 AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法 3：设 M x， y ， M为 AB中点， A2x，0 ， B0，2y 。又 l1，l2过点 P2，4 ，且 l1 l2 PA PB ，从而 kPAkPB 1，02242204y，kxkPBPA而0521224224yxyx，化简，得注意到 l1x 轴时， l2y 轴，此时A2， 0 ，B 0，4中点 M 1，2 ，经检验，它也满足方程x2y50 综上可知，点M的轨迹方程为x2y 50。【点评】1） 解法 1 用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3 为直译法，运用了kPAkPB 1，|21|ABMP这些等量关系。用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响例 5: 解： 设),(yxM， 直线OA的斜率为)0(kk， 则直线OB的斜率为k1.直线 OA 的方程为kxy， 由pxykxy22解得kpykpx222，即)2,2(2kpkpA，同理可得)2,2(2pkpkB. 由中点坐标公式，得pkkpypkkpx22，消去k，得)2(2pxpy，此即点M的轨迹方程 . 【变式】 过圆 O：x2 +y2= 4 外一点 A4， 0 ，作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC 的中点 M 的轨迹。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页12 解法一：“几何法”设点 M 的坐标为 x,y,因为点 M 是弦 BC 的中点，所以OM BC, 所以 |OM | | | | ， 即(x2 +y2)+(x )2 +y2 =16 化简得：x22+ y2 =4.由方程 与方程 x2 +y2= 4 得两圆的交点的横坐标为1，所以点 M 的轨迹方程为 x22+ y2 =4 0x1 。所以 M 的轨迹是以2，0为圆心，2 为半径的圆在圆O 内的部分。解法二：“参数法”设点 M 的坐标为 x,y ，Bx1,y1,C x2,y2直线 AB 的方程为y=k(x 4), 由直线与圆的方程得1+k2x2 8k2x +16k24=0.(*), 由点 M 为 BC 的中点， 所以 x=2221142kkxx.(1) , 又 OMBC，所以 k=xy.(2)由方程 1 2消去 k 得 x 22+ y2 =4,又由方程 * 的 0 得 k2 31,所以 x1. 所以点 M 的轨迹方程为x22+ y2 =4 0x 1所以 M 的轨迹是以 2，0为圆心，2 为半径的圆在圆O 内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程例 6.的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点MAB，a，AbyaxB)02(12222轨迹方程。分析： 题中涉及了三个点A、B、M ，其中 A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由 B的运动而引发的，可见M 、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。【解析】 设动点 M的坐标为 x，y ，而设 B点坐标为 x0，y0则由 M为线段 AB中点，可得yyaxxyyxax22220220000即点 B坐标可表为 2x2a，2y上在椭圆点又1)(222200byax，yxB，byaaxbyax1)2()22(12222220220从而有14)(42222byaaxM，的轨迹方程为得动点整理【点评】 代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系例 7 如图，从双曲线1:22yxC上一点Q引直线2:yxl的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程 . 解：设),(),(11yx，QyxP，则)2,2(11yyxxN.N在直线l上，y Q O x N P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页13 . 22211yyxx 又lPN得, 111xxyy即011xyyx.联 解 得22322311xyyyxx.又 点Q在 双 曲 线C上 ，1)223()223(22xyyx， 化 简 整 理 得 ：01222222yxyx，此即动点P的轨迹方程 . 【变式】 如下图， 已知 P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点， A、B 是圆上两动点， 且满足 APB=90，求矩形 APBQ的顶点 Q 的轨迹方程【解析】：设 AB 的中点为R，坐标为 (x,y)，则在RtABP 中， |AR|=|PR|又因为R是弦 AB 的中点，依垂径定理在 RtOAR 中， |AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又 |AR|=|PR|=22)4(yx所以有 (x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x10=0 因此点 R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动设 Q(x,y)，R(x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以x1=20,241yyx, 代入方程x2+y24x10=0,得244)2()24(22xyx10=0 整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程用交轨法求轨迹方程22221xyab例 9 解：设),(yxP及),(),(1111yxNyxM，又)0 ,(),0 ,(21aAaA，可得直线MA1的方程为)(11axaxyy；直线NA2的方程为)(11axaxyy. 得)(22221212axaxyy. 又, 1221221byax)(2122221xaaby，代入得)(22222axaby，化简得12222byax，此即点P的轨迹方程 . 当ba时，点P的轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆； 当ba时，点P的轨迹是椭圆 . 六、用点差法求轨迹方程例 10. 分析： 此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解： 设弦两端点分别为11yxM，22yxN，线段MN的中点yxR，则BQRAPoyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页14 ，yyyxxxyxyx222222212122222121得0221212121yyyyxxxx由题意知21xx，则上式两端同除以21xx，有0221212121xxyyyyxx，将代入得022121xxyyyx1将21x，21y代入，得212121xxyy，故所求直线方程为：0342yx 将代入椭圆方程2222yx得041662yy，0416436符合题意，0342yx为所求2将22121xxyy代入得所求轨迹方程为：04yx 椭圆内部分3将212121xyxxyy代入得所求轨迹方程为：022222yxyx 椭圆内部分课后作业：【正确解答】ABC 为三角形，故A， B， C 不能三点共线。轨迹方程里应除去点)0, 5).(0 ,5(，即轨迹方程为)5(1162522xyx2.两条直线01myx与01ymx的交点的轨迹方程是. 【解答】 :直接消去参数m即得 (交轨法 ):022yxyx3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的弦0A，则弦的中点M 的轨迹方程是. 【解答】 :令 M 点的坐标为 (), yx,则 A 的坐标为 (2)2, yx,代入圆的方程里面得:)0(41)21(22xyx4:当参数 m 随意变化时，则抛物线yxmxm22211的顶点的轨迹方程为【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x，y 分别用已有的参数m 来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。【解答】：抛物线方程可化为xmym12542精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页15 它的顶点坐标为xmym1254，消去参数 m 得：yx34故所求动点的轨迹方程为4430xy。5:点 M 到点 F4，0的距离比它到直线x50的距离小 1，则点 M 的轨迹方程为【分析】：点 M 到点 F4，0的距离比它到直线x50的距离小1，意味着点M 到点 F4，0的距离与它到直线x40的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M 的轨迹方程。【解答】：依题意，点M 到点 F4，0的距离与它到直线x4的距离相等。则点M 的轨迹是以F4，0为焦点、x4为准线的抛物线。故所求轨迹方程为yx216。6:求与两定点O OA1030，、，距离的比为1： 2 的点的轨迹方程为_ 【分析】 :设动点为P，由题意POPA12，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。【解答】：设P xy，是所求轨迹上一点，依题意得POPA12由两点间距离公式得：xyxy2222312化简得：xyx222307 抛物线xy42的通径过焦点且垂直于对称轴的弦与抛物线交于A、B 两点，动点C 在抛物线上，求ABC重心 P的轨迹方程。【分析】：抛物线xy42的焦点为01，F。设 ABC 重心 P 的坐标为()xy，点 C 的坐标为()xy11，。其中11x【解答】：因点P xy，是重心，则由分点坐标公式得：33211yyxx，即yyxx32311，由点Cxy11，在抛物线xy42上，得：1214xy将yyxx32311，代入并化简，得：32342xy)1x9. 已知动点P到定点 F1，0和直线x=3 的距离之和等于4，求点 P的轨迹方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页16 【解答】 ：设点 P的坐标为 x，y，则由题意可得。1当 x3 时，方程变为1)1(,43)1(2222xyxxyx，化简得) 30(42xxy。2当 x3 时，方程变为xyxxyx7)1(,43) 1(2222，化简得。故所求的点P的轨迹方程是或l和抛物线642xxy交于 A、B两点，求线段AB的中点 M的轨迹方程。【解答】 ：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程 y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以0，解得(, 42 6)( 42 6,)k。设 A， B，M x，y，由韦达定理得。由消去 k 得。又，所以),6()6,(x。点 M的轨迹方程为),6()6,(,422xxxy10、解：如图，设M ( x , y )、P ( x 1 , y 1 )。由于 OM 平分 AOP，故 M 分 AP 的比为： = |AMOAMPOP= 3 由定比分点公式，得113303,1313xyxy，即1143()3443xxyy，由于 x 1 2 + y 12 = 1，故22434()()1343xy，即2239()416xy。故所求轨迹是以3(,0)4为圆心，以34为半径的圆。11、解: (1) 用交轨法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页17 过以m为方向向量的直线方程为：ayax 过以n为方向向量的直线方程为：2yaax 由消去得：222112yxa的轨迹为双曲线 分(2)联立方程222211yxaxy消去y得222(1 2)210axxa 分依题意有21 200a，即22212044(1 2)(1)0aaa62022aa且又22222112 321223acceeaaaa且 分12、解： 1 、设直线l 的方程为(2)yk x，代入221xy得2222(1)4410kxk xk，当1k时，设11(,)A x y，22(,)B xy，则212241kxxk，2122411kx xk212122244(2)(2)411kkkyyk xk xkkk设( ,)P x y，由OPOAOB，则212122244( ,)(,)(,)11kkx yxxyykk224141kxkkyk，解之得xky(0)k再将xky代入241kyk得22(2)4xy1当0k时，满足 1式；当斜率不存在是，易知( 4,0)P满足 1式，故所求轨迹方程为22(2)4xy，其轨迹为双曲线；当1k时， l 与双曲线只有一个交点，不满足题意。2| |OPAB，所以平行四边形OAPB 为矩形， OAPB 为矩形的充要条件是0OA OB，即12120x xy y。当k不存在时， A、B 坐标分别为( 2, 3)，( 2,3)，不满足上式。又212121212(2)()x xy yx xkxx2222222(1)(41)244011kkkkkkk化简得：22101kk，此方程无实数解，故不存直线l 使 OAPB 为矩形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页