生活是数学的源泉,探索是数学的生命线.第十二讲第十二讲 二次函数（二次函数（2 2）1.某市中心广某市中心广场有各种音有各种音乐喷泉泉，其中一个其中一个喷水管水管喷水的最大高度水的最大高度为3米米，此此时距距喷水管的水平距离水管的水平距离为0.5米米，在如在如图所示的坐所示的坐标系中系中，这个个喷泉的函数关系式是泉的函数关系式是( ) A. y(x0.5)23 By12(x0.5)23C. y(x0.5)23 Dy12(x0.5)23 2.小王在某次投小王在某次投篮中中，球的运球的运动路路线是抛物是抛物线yx23.5的一部分的一部分(如如图)，若命中若命中篮圈中心圈中心，则他与他与篮底的底的距离距离l是是( )A. 3.5 m B4 m C4.5 m D4.6 m燃烧你的激情！燃烧你的激情！ 3.如如图，教教练对小明推小明推铅球的球的录像像进行技行技术分析分析，发现铅球行球行进高度高度y(m)与水平距离与水平距离x(m)之之间的关系的关系为y(x4)23，由此可知由此可知铅球推出的距离是球推出的距离是_m. 4.如如图，RtABC中中，ACBC2，正方形正方形CDEF的的顶点点D，F分分别在在AC，BC边上上，设CD的的长度度为x，ABC与正方形与正方形CDEF重叠部分的面重叠部分的面积为y，则下列下列图象中能表示象中能表示y与与x之之间的函数关系的是的函数关系的是( )燃烧你的激情！燃烧你的激情！ 5.如如图，有一座抛物有一座抛物线形拱形拱桥，在正常水位在正常水位时水面水面AB的的宽为20 m，如果水位上升如果水位上升3 m时，水面水面CD的的宽是是10 m建立如建立如图所示的直角坐所示的直角坐标系系，则此抛物此抛物线的解析式的解析式为_ 6.在美化校园的活在美化校园的活动中中，某某兴趣小趣小组想借助如想借助如图所示的所示的直角直角墙角角(两两边足足够长)，用用28 m长的的篱笆笆围成一个矩形花成一个矩形花园园ABCD(篱笆只笆只围AB，BC两两边)，设ABx m.(1)若花园的面若花园的面积为192 m2，求求x的的值；(2)若在若在P处有一棵有一棵树与与墙CD，AD的距离分的距离分别是是15 m和和6 m，要将要将这棵棵树围在花园内在花园内(含含边界界，不考不考虑树的粗的粗细)，求花园面求花园面积S的最大的最大值 7. 在在“母亲节母亲节”前夕，我市某校学生积极参与前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为的活动，他们购进一批单价为20元的元的“孝文化衫孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲经试验发现，若每件按利润捐给贫困母亲经试验发现，若每件按24元的元的价格销售时，每天能卖出价格销售时，每天能卖出36件；若每件按件；若每件按29元的价元的价格销售时，每天能卖出格销售时，每天能卖出21件，假定每天销售件数件，假定每天销售件数y(件件)与销售价格与销售价格x(元元/件件)满足一个以满足一个以x为自变量的一为自变量的一次次函函数数 (1)求求y与与x满足的函数关系式；满足的函数关系式；(不要求写出不要求写出x的的取值范围取值范围) (2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？最大？类型一：类型一：实物抛物线型问题实物抛物线型问题1.如如图，排球运，排球运动员站在点站在点O处练习发球，将球从球，将球从O点点正上方正上方2m的的A处发出，把球看成点，其运行的高度出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离）与运行的水平距离x(m)满足关系式足关系式y=a(x-6)2+h.已已知球网与知球网与O点的水平距离点的水平距离为9m，高度，高度为2.43m，球，球场的的边界距界距O点的水平距离点的水平距离为18m.（1）当）当h=2.6时，求，求y与与x的关系式的关系式.（不要求写出自（不要求写出自变量量x的取的取值范范围）（2）当）当h=2.6时，球能否越，球能否越过球网？球会不会出界？球网？球会不会出界？请说明理由明理由. （3）若球一定能越）若球一定能越过球网，又不出球网，又不出边界，求界，求h的取的取值范范围.燃烧你的激情！燃烧你的激情！ 类型二：二次函数在销售利润中的应用类型二：二次函数在销售利润中的应用 【例【例2 2】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，销售单价是销售单价是100元时，每天的销售量是元时，每天的销售量是50件，而销售件，而销售单价每降低单价每降低1元，每天就可多售出元，每天就可多售出5 5件，但要求销售单件，但要求销售单价不得低于成本价不得低于成本(1)求出每天的销售利润求出每天的销售利润y(元元)与销售单价与销售单价x(元元)之间的之间的函数关系式；函数关系式；(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？最大利润是多少(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，元，且每天的总成本不超过且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制元，那么销售单价应控制在什么范围内？在什么范围内？(每天的总成本每件的成本每天的总成本每件的成本每天的每天的销售量销售量)解：解：(1)y(x50)505(100x)(x50)(5x550)5x2800x27500，y5x2800x27500(2)y5x2800x275005(x80)24500，a50，抛物线开口向下，抛物线开口向下，50x100，对称轴是直线，对称轴是直线x80，当当x80时，时，y最大值最大值4500(3)当当y4000时，时，5(x80)245004000，解得，解得x170，x290，当当70x90时，每天的销售利润不低于时，每天的销售利润不低于4000元由每天的总成本不超过元由每天的总成本不超过7000元，得元，得50(5x550)7000，解得，解得x82，82x90，即销售单价应该控制在即销售单价应该控制在82元至元至90元之间元之间.强强化化训练（二）（二）2. 九九(1)班数学班数学兴趣小趣小组经过市市场调查，整理出某种商品整理出某种商品在第在第x(1x90)天的售价与天的售价与销量的相关信息如下表量的相关信息如下表：时间时间x(天天)1x5050x90售价售价(元元/件件)x4090每天销量每天销量(件件)2002x已知已知该商品的商品的进价价为每件每件30元元，设销售售该商品的每天利商品的每天利润为y元元(1)求出求出y与与x的函数关系式；的函数关系式；(2)问销售售该商品第几天商品第几天时，当天当天销售利售利润最大最大，最大利最大利润是多少元？是多少元？(3)该商品在商品在销售售过程中程中，共有多少天每天共有多少天每天销售利售利润不低于不低于4800元？元？请直接写出直接写出结果果相信你能行！相信你能行！ 类型三：二次函数在几何图形中的应用类型三：二次函数在几何图形中的应用 例例3如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB=m（m是大于是大于0的常数），的常数），BC=8，E为线段为线段BC上的动点（不与上的动点（不与B，C重合）连接重合）连接DE，作，作EFDE，EF与线段与线段BA交于点交于点F，设，设CE=x，BF=y （1）求）求y关于关于x的函数关系式的函数关系式. （2）若）若m=8，求，求x为何值时，为何值时，y的值最大，最大值是的值最大，最大值是多少？多少？ （3）若）若 ，要使，要使DEF为等腰三角形，为等腰三角形，m的的值应为多少？值应为多少？【解析】【解析】在矩形在矩形ABCDABCD中，中，B=C=90B=C=90，在在RtBFERtBFE中，中， 1+BFE=90 1+BFE=90，又又EFDEEFDE， 1+2=90 1+2=90，2=BFE2=BFE，RtBFERtCEDRtBFERtCED，即即DEFDEF中中FEDFED是直角，是直角，要使要使DEFDEF是等腰三角形，则只能是是等腰三角形，则只能是EF=EDEF=ED，此时，此时， RtBFERtCED RtBFERtCED，化成顶点式化成顶点式: : 当当m=8m=8时，时，得，得 当当x=4x=4时，时，y y的值最大，最大值是的值最大，最大值是2.2.得关于得关于x x的方程的方程: : 由由，及，及即即DEFDEF为等腰三角形，为等腰三角形，m m的值应为的值应为6 6或或2.2.当当EC=6EC=6时时, ,m=CD=BE=2.m=CD=BE=2.=CD=BE=6; =CD=BE=6; 当当EC=2EC=2时，时，【规律方法】【规律方法】解几何图形最值问题常用的方法是要先解几何图形最值问题常用的方法是要先求出面积的表达式，发现是二次函数就可以利用配方求出面积的表达式，发现是二次函数就可以利用配方法或利用顶点公式求最值，法或利用顶点公式求最值，有时必须考虑其自变量有时必须考虑其自变量x的的取值范围，根据图象求出最值取值范围，根据图象求出最值. 3.如如图，某中学要在教学楼后面的空地上用，某中学要在教学楼后面的空地上用40米米长的的竹竹篱笆笆围出一个矩形地出一个矩形地块作生物园，矩形的一作生物园，矩形的一边用教学楼用教学楼的外的外墙，其余三，其余三边用竹用竹篱笆笆设矩形的矩形的宽为x，面，面积为y （1）求）求y与与x的函数关系式，并求出自变量的函数关系式，并求出自变量x的取值范围的取值范围. （2）生物园的面积能否达到）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由平方米？说明理由 挑战自我，挑战自我，（1）依题意得：）依题意得：y=(40-2x)x y=-2x2+40x x的取值范围是的取值范围是0 x 20（2）当）当y=210时，由（时，由（1）可得，）可得，-2x2+40x=210 即即x2-20x+105=0 a=1，b=-20，c=105，此方程无实数根，即生物园的面积不能达此方程无实数根，即生物园的面积不能达到到210210平方米平方米【解析】【解析】类型四类型四 一次函数、反比例函数与二次函数的选用一次函数、反比例函数与二次函数的选用【例4】某公司销售一种进价为某公司销售一种进价为20元元/个的计算器个的计算器，其其销售量售量y(万个万个)与与销售价格售价格x(元元/个个)的的变化如下表：化如下表：价格价格x(元元/个个)30405060销售量销售量y(万个万个)5432 同同时，销售售过程中的其他开支程中的其他开支(不含不含进价价)总计40万元万元 (1)观察并分析表中的察并分析表中的y与与x之之间的的对应关系关系，用所学用所学过的一次函数、的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知反比例函数或二次函数的有关知识写出写出y(万个万个)与与x(元元/个个)的函数解析式；的函数解析式； (2)求出求出该公司公司销售售这种种计算器的算器的净得利得利润z(万元万元)与与销售价格售价格x(元元/个个)的函数解析式的函数解析式，销售价格定售价格定为多少元多少元时净得利得利润最大最大，最大最大值是多少是多少？ (3)该公司要求公司要求净得利得利润不能低于不能低于40万元万元，请写出写出销售价格售价格x(元元/个个)的取的取值范范围，若若还需考需考虑销售量尽可能大售量尽可能大，销售价格售价格应定定为多少元？多少元？解：解：(1)经描点、连线可知，表中的经描点、连线可知，表中的y与与x之间的对应关之间的对应关系为一次函数关系，可求系为一次函数关系，可求y与与x的函数解析式为的函数解析式为y0.1x8(2)由题意，得由题意，得z(x20)y40(x20)(0.1x8)400.1x210x2000.1(x50)250，当当x50时，时，z最大值最大值50，即，即z与与x的函数解析式为的函数解析式为z0.1x210x200，销售价格定为，销售价格定为50元时净得利润元时净得利润最大，最大值是最大，最大值是50万元万元(3)当当z40时，时，0.1(x50)25040，解得，解得x40或或60.又又该公司要求净得利润不该公司要求净得利润不能低于能低于40万元，万元，40x60.又又还需考虑销售量尽可能还需考虑销售量尽可能大，即大，即y尽可能大，尽可能大，x尽可能小，尽可能小，x40.即销售价格即销售价格x(元元/个个)的取值范围是的取值范围是40x60，若还需考虑销售量尽可，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为能大，销售价格应定为40元元/个个 4. 小小说实验室的故事中室的故事中，有有这样一个情一个情节：科学家把一种：科学家把一种珍奇的植物分珍奇的植物分别放在不同温度的放在不同温度的环境中境中，经过一天后一天后，测出出这种植种植物高度的增物高度的增长情况情况(如下表如下表)：温度温度x/420244.5植物每天高度植物每天高度增长量增长量y/mm414949412519.75 由由这些数据些数据，科学家推科学家推测出植物每天高度增出植物每天高度增长量量y是温度是温度x的函数的函数，且且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种(1)请你你选择一种适当的函数一种适当的函数，求出它的函数关系式求出它的函数关系式，并并简要要说明明不不选择另外两种函数的理由；另外两种函数的理由；(2)温度温度为多少多少时，这种植物每天高度增种植物每天高度增长量最大？量最大？(3)如果如果实验室温度保持不室温度保持不变，在在10天内要使天内要使该植物高度增植物高度增长量的量的总和超和超过250 mm，那么那么实验室的温度室的温度x应该在哪个范在哪个范围内内选择？请直接写出直接写出结果果越战越勇！越战越勇！ 通过本节课的学习，你有哪通过本节课的学习，你有哪些收获？有何感想？你学会了些收获？有何感想？你学会了哪些方法？哪些方法？利用二次函数解决实际问题的 一般步骤：1. 分析问题，建立模型分析问题，建立模型2设自变量，求函数的解析式和设自变量，求函数的解析式和自变量自变量的取值范围的取值范围3根据顶点坐标公式或配方法求出最大根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值值或最小值 4检查求得的最大值或最小值对应的自检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内变量的值必须在自变量的取值范围内达标检测达标检测 提升自我提升自我 4科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：测出这种植物高度的增长情况，部分数据如表： 科学家经过猜想，推测出科学家经过猜想，推测出l与与t之间是二次函数关系由之间是二次函数关系由此可以推测最适合这种植物生长的温度为此可以推测最适合这种植物生长的温度为_. B组： 5.某体育用品商店某体育用品商店试销一款成本一款成本为50元的排球元的排球，规定定试销期期间单价不低于成本价价不低于成本价，且且获利不得高于利不得高于40%.经试销发现，销售量售量y(个个)与与销售售单价价x(元元)之之间满足如足如图所示的一次函数关系所示的一次函数关系 (1)试确定确定y与与x之之间的函数关系式的函数关系式. (2)若若该体育用品商店体育用品商店试销的的这款排球所款排球所获得的利得的利润为Q元元，试写出利写出利润Q(元元)与与销售售单价价x(元元)之之间的的函数关系式；当函数关系式；当销售售单价定价定为多少元多少元时，该商店可商店可获最大利最大利润？最大利？最大利润是多少元？是多少元？ (3)若若该商店商店试销这款排球所款排球所获得的利得的利润不低于不低于600元元，请确定确定销售售单价价x的取的取值范范围必做题：必做题： 复习丛书57页 第1、2、3、4、5题；第58页 第6、7、8、9、10、11题. 选做题：选做题：复习丛书59页 第50页第12、13题.布置作业布置作业结束寄语下课了! 二次函数是一类最优化问题的二次函数是一类最优化问题的数学模型，能指导我们解决生活中数学模型，能指导我们解决生活中的实际问题，同学们，认真学习数的实际问题，同学们，认真学习数学吧，因为数学来源于生活，更能学吧，因为数学来源于生活，更能优化我们的生活。优化我们的生活。祝愿同学们：祝愿同学们：象雄鹰一样象雄鹰一样飞的更高，飞的更高，飞的更远！飞的更远！