命题与证明命题与证明本课内容本节内容2.2 下面所说的事情是真，还是假？下面所说的事情是真，还是假？ 说一说说一说（1）和和（3）是真的是真的，（2）和和（4）是假的是假的. （1）太阳从东边出来；）太阳从东边出来；（2）雪是黑的；）雪是黑的； （3）3加加5等于等于8；（4）3乘乘2等于等于5. 叙述一件事情的句子叙述一件事情的句子( (陈述句陈述句) )，如果要么是真的，如果要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题命题. 如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真真命题命题. 如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假假命题命题知识点一知识点一 命题的概念命题的概念下列四个语句有什么共同点？下列四个语句有什么共同点？（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；这两条直线也互相平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；互补；（3）对顶角相等）对顶角相等;（4）等式两边加同一个数）等式两边加同一个数,结果仍是等式结果仍是等式.这些语句都是对某一件事情作出这些语句都是对某一件事情作出“是是”或或“不不是是”的判断的判断.下列语句是命题吗？下列语句是命题吗？（1）画线段）画线段AB=CD.（2）你多大了？）你多大了？（3）请你吃饭。）请你吃饭。以上语句以上语句没有没有判断成分判断成分,不是不是命题命题. 总结：总结： 是命题的句子都可以改成是命题的句子都可以改成含含“是是”或者或者“不是不是”的判断句子。的判断句子。下列命题的叙述方式有什么共同点？下列命题的叙述方式有什么共同点？1. 如果如果a=b且且b=c，那么，那么a=c观察观察2. 如果如果ab=0，那么，那么a=0或或b=03. 如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相 等，那么这两个三角形全等等，那么这两个三角形全等 它们的叙述方式都是它们的叙述方式都是“如果如果，那么，那么”知识点二知识点二 命命题的组成题的组成 命题命题由由条件条件和和结论结论两部分组成两部分组成. 条件是条件是已知事项已知事项,结论是由已知事项推出的事项结论是由已知事项推出的事项. 在在“如果如果，那么，那么”形式的命题中，形式的命题中，“如如果果”连连接接的部分是的部分是条件条件，“那么那么”连连接接的部分是的部分是结论结论结论结论 有的命题表面上看不具有有的命题表面上看不具有“如果如果，那么，那么”的形式，但是可以写成这种形式的形式，但是可以写成这种形式. 例如，例如， （1 1）“等等腰三角形的两底角腰三角形的两底角相等相等”可可以写成：以写成：如如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角底角相等相等（2 2）“对对顶角顶角相等相等”可以写成：可以写成：如果两个角是对顶角如果两个角是对顶角 ，那么这两个角相等，那么这两个角相等. . 1、指出下列命题的指出下列命题的条件条件和结论和结论：（1）如果）如果AB CD，垂足是，垂足是O，那么，那么 AOC=90。（2）两直线平行）两直线平行, 同位角相等同位角相等 .（3）如果两个角互补，那么它们是邻补角）如果两个角互补，那么它们是邻补角 .（4）如果一个数能被）如果一个数能被2整除，那么它也能被整除，那么它也能被4整除整除.解解 （1） 条件：条件：“AB CD，垂足是，垂足是O”， 结论结论：“ AOC=90”. （2）条件：条件：“两直线平两直线平行行”， 结论：结论：“同位角相等同位角相等 ”. （3）条件：条件：“两个角互两个角互补补”， 结论：结论：“它们是邻补角它们是邻补角 ”. （4）条件：条件：“一个数能被一个数能被2整整除除”， 结论：结论：“它也能被它也能被4整除整除”.2、请你将下列命题改、请你将下列命题改写成写成“如果如果，那，那么么”形式形式.并并指出它们指出它们的条件和的条件和结论结论.（1）等式两边加同一个数等式两边加同一个数,结果仍是等式结果仍是等式.改改写：如果在写：如果在等式两边加同一个数等式两边加同一个数,那么结果仍是等式那么结果仍是等式. 条件条件：在在等式两边加同一等式两边加同一个数个数 结论结论:结结果仍是果仍是等式等式.（2）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.改写：如果平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这改写：如果平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。两条直线平行。 条件条件：平面内两条直线垂直于同一条直线平面内两条直线垂直于同一条直线 结论结论:两条直线平行两条直线平行举举例例例例 判断下列命题是真还是假？说出理由判断下列命题是真还是假？说出理由 （1）如果如果a是有理数，那么是有理数，那么a是实数；是实数；解解 如果如果a是有理数，是有理数，根据实数的定义：根据实数的定义： “有理数和无理数统称为实数有理数和无理数统称为实数”，得出得出a是实数是实数.因此命题因此命题( (1) )为真为真（2）如果）如果a是实数，那么是实数，那么a是有理数是有理数解解 是实数，是实数，因此命题因此命题( (2) )为假为假但是但是 不是有理数不是有理数. 像此例的第像此例的第( (1) )题那样，从一个命题的条件出发，题那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理通过讲道理( (推理推理) )，得出它的结论成立，从而判断该，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作命题为真，这个过程叫作证明证明. 像此例的第像此例的第( (2) )题那样，找出一个例子，它符合题那样，找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作命题为假，这个过程叫作举反例举反例.（1）如果如果a是有理数，那么是有理数，那么a是实数；是实数；解解 如果如果a是有理数，是有理数，根据实数的定义：根据实数的定义：“有理数和无理数统称为实数有理数和无理数统称为实数”，得出得出a是实数是实数.因此命题因此命题( (1) )为真为真（2）如果）如果a是实数，那么是实数，那么a是有理数是有理数解解 是实数，是实数，因此命题因此命题( (2) )为假为假但是但是 不是有理数不是有理数.知识点三知识点三 判断真、假命题判断真、假命题 在此例中，命题在此例中，命题( (2) )的条件和结论分的条件和结论分别是命题别是命题( (1) )的结论和条件，这样的两个的结论和条件，这样的两个命题称为命题称为互逆的命题互逆的命题，其中的一个叫作另，其中的一个叫作另一个的一个的逆命题逆命题.知识点四知识点四 互互 逆逆 命命 题题（1）如果）如果a是有理数是有理数，那么，那么a是有理数是有理数；（2）如果）如果a是有理数是有理数，那么，那么a是有理数是有理数。结论结论 从此例看到，命题从此例看到，命题( (1) )为真，但是它的逆命为真，但是它的逆命题为假题为假.这这表明：表明： （1 1）一）一个命题为真不能保证它的逆命题个命题为真不能保证它的逆命题为为真；真； （2 2）一个假命题的逆命题也可能是真命题。）一个假命题的逆命题也可能是真命题。 （3 3）逆）逆命题是否为真需要具体问题具体分命题是否为真需要具体问题具体分析析2. 第第1题中的命题题中的命题( (2) )是不是命题是不是命题( (1) )的逆命题？的逆命题？答：是答：是（1）如果如果ABC为等边三角形，那么它的每个内角为等边三角形，那么它的每个内角 都为都为60；（2）如果）如果 ABC的每个内角都为的每个内角都为60，那么，那么 ABC是是 等边三角形等边三角形3. 判断下列命题是真还是假？说出理由判断下列命题是真还是假？说出理由答：真命题答：真命题（1）如果）如果m是自然数，那么是自然数，那么m是整数；是整数；（2）如果）如果m是整数，那么是整数，那么m是自然数是自然数答：假命题答：假命题1.命题的定义：命题的定义： 判断一件事情的语句判断一件事情的语句,叫做命题叫做命题.（1）命题必须是一个完整）命题必须是一个完整的陈述句；的陈述句；（2）命题必须作出判断）命题必须作出判断.2.命题的组成命题的组成 ：命题命题由条件和由条件和结论两部分组成结论两部分组成. 1.下列语句中，不是命题的是：（下列语句中，不是命题的是：（ ） A.两点之间线段最短两点之间线段最短 B.对顶角相等对顶角相等 C.不是对顶角的角不相等不是对顶角的角不相等.D.连接连接A、B两点两点2.下列命题中，真命题是（下列命题中，真命题是（ ）A.两直线被第三条直线所截，内错角相等。两直线被第三条直线所截，内错角相等。B.直线是平角直线是平角. C.两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补D.不相交的两条直线叫做平行线不相交的两条直线叫做平行线.D C3.命题命题“邻补角之和是平角邻补角之和是平角”的条件是的条件是 ，结结论是论是 .4.对于同一平面内的三条直线对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论，给出下列五个论断：断：a b；b c；a b；a c；a c.以其中两个论断为条件，一个论断为结论组成一个你认为以其中两个论断为条件，一个论断为结论组成一个你认为正确的命题是正确的命题是 .两个角是邻补角两个角是邻补角这两个角之和是平角这两个角之和是平角条件：条件： ；结论：；结论： .或条件：或条件： ；结论；结论：或条或条件：件：；结论：；结论：