概率论与数理统计经管类公式1 概率论与数理统计(经管类 )公式一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律ABBABAAB结合律CBACBACBA)()(ABCBCACAB)()(分配律ACABCBA)()()(CABABCA德摩根律BABABAAB2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式)(1)(APAP加法公式)()()()(ABPBPAPBAP条件概率公式)()()(APABPABP乘法公式)()()(ABPAPABP)()()(BAPBPABP全概率公式niiiABPAPBP1)()()(贝叶斯公式逆概率公式1)()()()()(iijjjjABPAPABPAPBAP伯努力概型公式nkppCkPknkknn, 1 ,0,)1 ()(两件事件相互独立相应公式)()()(BPAPABP；)()(BPABP；)()(ABPABP；1)()(ABPABP；1)()(ABPABP二、随机变量及其分布1、分布函数性质)()(bFbXP)()()(aFbFbXaP2、离散型随机变量分布名称分布律01 分布), 1(pB1 ,0,)1()(1kppkXPkk二项分布),(pnBnkppCkXPknkkn, 1, 0,)1()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页概率论与数理统计经管类公式2 泊松分布)(P, 2, 1, 0,!)(kkekXPk几何分布)( pG,2, 1, 0,)1()(1kppkXPk超几何分布),(nMNH),min(, 1,)(MnllkCCCkXPnNknMNkM3、连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布),(baU其他, 0,1)(bxaabxfbxbxaabaxaxxF, 1,0)(指数分布)(E其他, 00,)(xexfx0,10,0)(xexxFx正态分布),(2Nxexfx222)(21)(xttexFd21)(222)(标准正态分布)1 ,0(Nxexx2221)(xttexFd21)(222)(三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布jjijjiiipyYxXPxXPp),()(iiijjijjpyYxXPyYPp),()(2、离散型二维随机变量条件分布2, 1,)(),()(iPpyYPyYxXPyYxXPpjijjjijiji2, 1,)(),()(jPpxXPyYxXPxXyYPpiijijiiji j3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数xydvduvufyxF),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：xXdvduvufxF),()(密度函数：dvvxfxfX),()(yYdudvvufyF),()(duyufyfY),()(5、二维随机变量的条件分布yxfyxfxyfXXY,)(),()(xyfyxfyxfYYX,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：1)(kkkpxXE连续型随机变量：dxxxfXE)()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页概率论与数理统计经管类公式3 2、数 学期望的性质(1)为常数C,)(CCE)()(XEXEE)()(XCECXE(2)()()(YEXEYXEbXaEbaXE)()()()()(1111nnnnXECXECXCXCE(3) 假设 XY相互独立则：)()()(YEXEXYE(4)()()(222YEXEXYE3、方差：)()()(22XEXEXD4、方差的性质(1)0)(CD0)(XDD)()(2XDabaXD2)()(CXEXD(2),(2)()()(YXCovYDXDYXD假设 XY相互独立则：)()()(YDXDYXD5、协方差：(,)()()( )Cov X YE XYE X E Y假设 XY相互独立则：0),(YXCov6、相关系数：)()(),(),(YDXDYXCovYXXY假设 XY相互独立则：0XY即 XY不相关7、协方差和相关系数的性质(1)(),(XDXXCov),(),(XYCovYXCov(2),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov),(),(YXabCovdbYcaXCov8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1 分布), 1 (pBp)1 (pp二行分布),(pnBnp)1(pnp泊松分布)(P几何分布)( pGp121pp超几何分布),(nMNHNMn1)1 (NmNNMNMn均匀分布),(baU2ba12)(2ab正态分布),(2N2指数分布)(E121五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页概率论与数理统计经管类公式4 假设,)(,)(2XDXE对于任意0 有2)()(XDXEXP或2)(1)(XDXEXP2、大数定律： 假设nXX1相互独立且n时，niiDniiXEnXn11)(11(1) 假设nXX1相互独立，2)(,)(iiiiXDXE且Mi2则：niiPniinXEnXn11)(),(11(2) 假设nXX1相互独立同分布，且iiXE)(则当n时：PniiXn113、中心极限定理(1) 独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为02的独立同分布时，当n 充分大时有：)1 , 0(1NnnXYnkkn(2) 拉普拉斯定理：随机变量),()2, 1(pnBnn则对任意 x 有：xtnxxdtexpnpnpP)(21)1(lim22(3) 近似计算：)()()()(11nnannbnnbnnXnnaPbXaPnkknkk六、数理统计1、总体和样本总体X的分布函数)(xF样本),(21nXXX的联合分布为)(),(121knknxFxxxF2、统计量(1) 样本平均值：niiXnX11 (2)样本方差：niiniiXnXnXXnS122122)(11)(11(3) 样本标准差：niiXXnS12)(11 (4)样本k阶原点距：2,1,11kXnAnikik(5) 样本k阶中心距：nikikkkXXnMB13, 2,)(1(6) 次序统计量：设样本),(21nXXX的观察值),(21nxxx，将nxxx21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(nxxx， 记取值为)(ix的样本分量为)(iX， 则称)()2()1(nXXX为样本),(21nXXX的次序统计量。),min(21)1(nXXXX为最小次序统计量；),max(21)(nnXXXX为最大次序统计量。3、三大抽样分布精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页概率论与数理统计经管类公式5 (1)2分 布 ： 设 随 机 变 量nXXX21,相 互 独 立 ， 且 都 服 从 标 准 正 态 分 布)1 ,0(N， 则 随 机 变 量222212nXXX所服从的分布称为自由度为n的2分布，记为)(22n性质：nnDnnE2)(,)(22设)(),(22nYmX且相互独立，则)(2nmYX(2)t分布： 设随机变量)(),1 , 0(2nYNX，且 X与 Y独立， 则随机变量：nYXT所服从的分布称为自由度的n的t分布，记为)(ntT性质：)2( ,2)(, 0)(nnnntDntE222)(21) 1 ,0()(limxneNnt(3)F分布： 设随机变量)(),(2212nVnU，且 U 与 V 独立，则随机变量2121),(nVnUnnF所服从的分布称为自由度),(21nn的F分布，记为),(21nnFF性质：设),(nmFX，则),(1mnFX七、参数估计1、参数估计(1) 定义：用),(21nXXX估计总体参数，称),(21nXXX为的估计量，相应的),(21nXXX为总体的估计值。(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值2、点估计中的矩估计法： 总体矩 =样本矩离散型样本均值：niiXnXEX11)(连续型样本均值：dxxxfXEX),()(离散型参数：niiXnXE1221)(3、点估计中的最大似然估计最大似然估计法：nXXX,21取自X的样本，设)()(),(PXXPxfXi或则可得到概率密度： )()(),( ),(),(1121121niiniinnniinPxXPxXXXXPxfxxxf或基本步骤：似然函数： )( ),()(11niiniiPxfL或取对数：niiXfL1),(lnln解方程 ：0ln,0ln1kLL最后得：),(,),(212111nkknxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页