第三章导数的应用知识点：用导数在经济分析中的应的应用函数最值在经济问题中函数的极值、最值函数的单调性函数其他类型未定式型未定式型未定式洛必达法则柯西定理拉格朗日中值定理罗尔定理微分中值定理00教学目的要求：（1）用数形结合的思想方法掌握罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件与结论。会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件，会求罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的。（2）知道洛必达法则，能运用洛必达法则求不定式的极限，重点掌握“00”型和“”型，了解“” 、 “ 0”型等。（3）掌握用一阶导数的符号判别函数单调性的方法，会求函数的单调区间，并利用函数的单调性进行简单不等式的证明；理解函数极值与极值点的概念，掌握极值存在的必要条件，掌握求函数极值的方法（极值点的充分条件），搞清极值点与驻点的区别与联系。（4）初步掌握简单实际问题中最大值和最小值的求法；会利用导数讨论一些简单的经济问题。教学重点：1函数单调性的判断与单调区间的求法2函数极值、最值的求法3实际应用教学难点：1微分中值定理2洛必达法则及应用3函数极值的求法与应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页4函数最值的求法与应用第一节 微分中值定理【教学内容】罗尔定理，拉格朗日中值定理。【教学目的】理解罗尔定理，拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义;会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件，会求罗尔定理和拉格朗日中值定理结论中的。初步具有应用中值定理论证问题的能力. 【教学重点】1罗尔定理；2拉格朗日中值定理。【教学难点】1罗尔定理与拉格朗日中值定理条件的判断；2罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的求解。【教学时数】1 学时【教学进程】一、罗尔（ Rolle ）定理罗尔（ Rolle 1652-1719 ）法国数学家。年轻时因家境贫穷，仅受过初等教育，是靠自学精通了代数和Diophantus 分析理论。这个定理是罗尔在17 世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。在介绍罗尔定理之前，我们先来看一个几何事实。闭区间,ba上的一条连续曲线)( xfy，在相应的开区间),(ba内处处光滑无尖点（或者说曲线无打折现象） ， 且区间端点的函数值相等如图1, 则)(xf在区间),(ba上至少有一条水平切线。我们说这就是微分中值定理之一罗尔中值定理的几何解释。几何意义：在,ba上)(xf是一条连续的曲线。 （连续）在),(ba内处处光滑无尖点（或者说曲线无打折现象）。 （可导）两端点 A、B 的连线与x轴平行。（端点高度相同）结论：至少存在一点，使得其切线平行于x轴。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页图 1 分析意义：定理 3 1 如果函数)(xfy满足下列条件：（1）在闭区间,ba上连续；（2）在开区间),(ba内可导；（3）)()(bfaf。则在区间),(ba内至少存在一点，使得0)(f例 1:验证罗尔中值定理对函数233)(xxxf， 在区间0,3上的正确性。 并求出罗尔定理结论中的。解：我们从定理中的三个条件来逐一判断，是否符合。条件：233)(xxxf是初等函数，所以函数)(xf在0, 3上连续，即条件符合。条件：xxxf63)(2，所以函数)(xf在（ 3, 0）内可导，条件符合。条件：0)0()3(ff，条件符合。所以)(xf在0,3上满足罗尔定理的条件。令063)(2xxxf，解得2, 0xx，因为0x不在区间（3, 0）内，故舍去。所以取2，即在（ 3, 0）内存在一点2，使得0)(f。所以罗尔中值定理结论中的2. 思考：如果罗尔中值定理的条件有一个不成立，结论会如何？例 2: 验证函数xy在区间1, 1上是否满足罗尔定理，若满足求出罗尔定理结论中的。解：我们从定理中的三个条件来逐一判断，是否符合。由xy的图象可知：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 30 页图 2条件：xy在1, 1上连续，即条件符合。条件：xy，0x点是一个尖点，即xy在0x点不可导，所以条件不符合。所以xy在1, 1上不满足罗尔定理的条件。同时我们从图2 也可以看到xy在)1, 1(内不存在点，使得其切线平行于x轴。即不存在点，使得0)(f。课堂练习：验证函数xxy2在区间1,0上是否满足罗尔定理，若满足求出罗尔定理结论中的。（答案：满足，21）强调： 1若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个. 在罗尔中值定理中条件)()(bfaf比较特殊， 使他的应用受到限制。若在罗尔中值定理中，)()(bfaf，其余条件不变，则我们得到：二、拉格朗日中值定理拉格朗日（ Lagrange 1736-1813）法国数学家。普鲁士国王腓特烈大帝尊称他为“欧洲最大之数学家” ，他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。在介绍拉格朗日中值定理之前先简单介绍拉格朗日的生平。如图 3, 若)()(bfaf，其余条件不变，则)(xf在区间),(ba上至少有一条切线平行于弦 AB。我们说这就是微分中值定理之一拉格朗日中值定理的几何解释。几何意义：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 30 页图 3 在,ba上)(xf是一条连续的曲线。 （连续）在),(ba内处处光滑无尖点（或者说曲线无打折现象）。 （可导）结论：至少存在一点，使得其切线平行于弦AB。分析意义：定理 32 设函数)(xf满足下列条件：（1）在闭区间,ba上连续，（2）在开区间),(ba内可导，则在区间),(ba内至少存在一点，使得)()()(fabafbf上式也可表示成)()()(abfafbf例 3：验证函数1)(2xxf在闭区间4, 1上是否满足拉格朗日中值定理的条件，并求出拉格朗日中值定理结论中的。解：我们从定理中的两个条件来逐一判断，是否符合。条件 1:1)(2xxf是初等函数，所以函数)(xf在4, 1上连续，即条件1 成立。条件 2:xxf2)(，所以函数)(xf在（ 1, 4）内可导，条件符合。所以)(xf在4, 1上满足拉格朗日中值定理的条件。又17)4(,2)1 (ff，令25,3152,14)1 ()4()(得即fff。所以拉格朗日中值定理结论中的25。推论 3.1 若函数)(xf在区间 (a, b)上导数恒为零， 则)(xf在区间 (a, b)上是一个常数. 即Cxf)(思考：若其余条件不变，在区间（a, b）内恒有)()(xgxf，则拉格朗日中值定理的结论会如何？推论 3.2 若在区间（ a, b）内恒有)()(xgxf，则在（ a, b）内有Cxgxf)()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 30 页证明：令),()()(xgxfxF则由)()(xgxf，得0)()()(xgxfxF，由推论3.1可知，,)(CxF即有Cxgxf)()(。例 4 证明2arccosarcsinxx, 1 , 1x证明由于01111)arccos(arcsin22xxxx, 由推论 2 知Cxxarccosarcsin（)1 , 1(x）取0x，则2200arccos0arcsinC；即有2arccosarcsinxx（)1 , 1(x）又当1x时，2) 1arccos()1arcsin(；所以2arccosarcsinxx（ 1 , 1x）罗尔定理、 拉格朗日定理和柯西定理，这三个定理统称为微分中值定理在这一节我们只要求掌握前面两个定理。课堂练习：验证函数xxf1)(在闭区间2, 1上是否满足拉格朗日中值定理的条件，并求出拉格朗日中值定理结论中的。（答案：2 ）三、柯西定理柯西（ Cauchy1789-1857 ）法国数学家。柯西是一位多产的数学家。他的全集从1882 年开始出版到1974 年才出齐最后一卷，一共有28 卷。柯西在数学中的各个领域都有贡献，是数学弹性理论的奠基人之一。作为拉格朗日中值定理的一个推广，还可以得到下面的定理，即柯西定理。定理33 设函数)(xf与)(xg在闭区间,ba上连续，在开区间),(ba内可导，且0)(xg，则至少存在一点),(ba，使得)()()()()()(gfagbgafbf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 30 页例5 ： 试 对 函 数2,0,c o s)(,s i n)(xxxgxxf， 写 出 柯 西 公 式)()()()()()(cgcfagbgafbf，并求 C. 解：因为xxgxxfcos)(,sin)(是初等函数，所以)(xf和)(xg在2, 0上连续；又因为xxfcos)(，xxgsin)(。所以)(xf和)(xg在)2,0(内可导；因此)(xf和)(xg在2,0上满足柯西定理的条件。又因为cccgcfggffsincos)()(1) 1(001)0()2()0()2(即4c小结：主要内容：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西定理重点： 1罗尔定理，2拉格朗日中值定理难点： 1罗尔定理与拉格朗日中值定理条件的判断；2罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的求解。第二节洛必达法则【教学内容】00型未定式，型未定式，其他类型未定式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 30 页【教学目的】理解罗必达法则，能正确运用罗必达法则求不定式的极限，重点掌握“00”和“型，以及较简单的“” 、 “0”型；了解“00” 、 “1” 、 “0”型等。【教学重点】100型未定式； 2型未定式。【教学难点】00型未定式和型未定式的运用，简单的“” 、 “0”型的变形。【教学时数】2 学时【教学进程】复习：1.罗尔中值定理2.拉格朗日中值定理新课我们把两个无穷小量与两个无穷大量之比的极限，00与称为未定式极限。根据微分中值定理可以得到计算这两类极限的洛必达法则。洛必达（ L Hospital 1661-1704）法国数学家。他曾受袭侯爵衔，并在军队中担任骑兵军官，后来因为视力不佳而退出军队，转向学术方面加以研究。首先，我们来介绍00型未定式。一、00型未定式。定理（罗必达法则I）如果函数)(xf与)(xg满足条件：（1）0)(lim0xfxx，0)(lim0xgxx，（2）在0x的某邻域内（0x除外）)(),(xgxf都存在，且0)(xg，（3）)()(lim0xgxfxx存在（或为） ，则)()(lim0xgxfxx)()(lim0xgxfxx说明： 对于x的其他变化趋势（x，xx,，0xx,0xx）时的00型未定式的极限，上述定理仍然成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 30 页定理3.4 告诉我们：如果)()(xgxf为00型未定式，在符合定理条件的情况下，可通过对分子、分母分别求导再求极限来确定极限)()(lim0xgxfxx。例1利用洛必达法则求极限xxxsinlim0。解.11coslim)()(sinlimsinlim000xxxxxxxx验证了我们之前学过的重要极限公式。提问：重要极限一中的一个重要结论1tanlim0xxx能否利用洛必达法则来验证，怎么验证？例 2 求极限231lim221xxxx解这是00型未定式，根据罗必达法则，得231lim221xxxx)23() 1(lim221xxxx2322lim1xxx例 3 求极限20limxeexxx解这是00型未定式，根据罗必达法则，得20limxeexxx=xeexxx2lim0=例 4求极限xxx1sinarctan2lim解这是00型未定式，根据罗必达法则，得xxx1sinarctan2lim=xxxx1cos111lim22=11cos11lim22xxxx说明：在求极限过程中，如果)()(lim)(0xgxfxxx仍是未定式，且)(),(xgxf仍满足罗必达精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 30 页法则的条件，那么)()(lim)(0xgxfxxx=)()(lim)(0xgxfxxx=)()(lim)(0xgxfxxx也就是说，罗必达法则可累次使用下去如：例 5求极限30sinsinlimxxxx解30sinsinlimxxxx320cos3cos1limxxxx320cos13cos1limxxxx203cos1limxxx616sinlim0xxx课堂练习：1. 求极限xexxsin1lim0_（答案：1）. 2.求极限20) 1()2ln(limxxx_（答案：）. 3.求极限382lim3xxx_（答案：2ln8）. 二、型未定式定理 35（罗必达法则II）如果函数)(xf与)(xg满足条件：（1）)(lim0xfxx，)(lim0xgxx，（2）在0x的某邻域内（0x除外）)(),(xgxf都存在，且0)(xg，（3）)()(lim0xgxfxx存在（或为） ，则)()(lim0xgxfxx=)()(lim0xgxfxx说明：对于x的其他变化趋势（x，xx,，0xx,0xx）时的型未定式的极限，上述定理仍然成立定理 3.5 告诉我们：如果)()(xgxf为型未定式，在符合定理条件的情况下，可通过对分子、分母分别求导再求极限来确定极限)()(lim0xgxfxx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 30 页例 6 求极限)0(lnlimaxxax解这是型未定式，根据罗必达法则，得axxxlnlim)()(lnlimaxxx11limaxaxx01limaxax例 7 求极限xxxlncotlnlim0解这是型未定式，根据罗必达法则，得xxxlncotlnlim0=xxxx1)csc(cot1lim20=1cossinlim0xxxx例8求.3tantanlim2xxx解这是型未定式，根据罗必达法则，得32cos26cos6lim2sin6sinlimsin63sin3cos6lim33coslim3sec3seclim3tantanlim2222222222xxxxxsosxxxxsosxxxxxxxxxxx说明：洛必达法则对00型或型未定式可直接使用，每次使用前要首先进行检验，如果不是未定式，就不能使用洛必达法则例8 中xxx2cos26cos6lim2已不是不定式了，如果继续利用洛必达法则则会出错。思考：xxxsinlim能否利用洛必达法则？罗必达法则的条件是充分的，并非是必要的， 因此罗必达法则有时失效，但罗必达法则失效时极限仍可能存在如在求极限xxxxxeeeelim中，虽然初看是型，但若使用罗必达法则，将会出现死循环，罗必达法则使用失效如：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 30 页xxxxxeeeelim)()(limxxxxxeeeexxxxxeeeelim)()(limxxxxxeeeexxxxxeeeelim但此极限是存在的，我们可用以下方法求得例 9 求极限xxxxxeeeelim解本题应当这样求解：xxxxxeeeelim11lim22xxxee1)2()2(lim22xexexxx或xxxxxeeeelimxxxee2211lim10101这也说明罗必达法则虽然能解决一些极限问题，但不是万能的课堂练习：1. 求3lnlimxxx_.（答案：0）2.求xxxxsinlim_.(答案： 1 注意洛必达法则结本题时失效) 三、其它类型的未定式未定式除00型与型外，还有0、1、0、00等类型对于这几种未定式，可先化成00型或型未定式后用罗必达法则求极限例 10 求极限xxxlnlim0解所求极限为0型未定式，我们将其转化为型计算xxxlnlim010lnlimxxx转化型0limlim0210xxxxx整理罗必达法则例 11 求极限)2tan()1(lim1xxx解所求极限为0型未定式，我们将其转化为00型计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 30 页)2tan()1 (lim1xxx)2cot(1lim1xxx转化型002)2(csc21lim21xx罗必达法则说明：将0型未定式转化为00型或型未定式的过程中，往往将一部分变量拉到分母里，转化为分式，一般的原则是分子分母求导简单，比较方便使用罗必达法则例 12 求极限xxxxln11lim1解这是型未定式，作通分变形，将其化为00型未定式xxxxln11lim1型通分00ln) 1(1lnlim1xxxxxxxxxxxxx1ln11lnlim1罗必达法则1lnlnlim1xxxxxx整理型002111ln1lnlim1xxxxx罗必达法则说明：将型未定式转化为00型未定式时，往往采用通分思考：0、1、00型等未定式如何转化为00型或型未定式？（答案：一般采用对数的恒等变形NeNln，先将它转化为0型未定式，然后再化成00型 ）课堂练习：1.求xxxlnlim20_.（答案： 0 这是 0型，转化为。 ）2 求xxx111lim_.（答案：1e这是1，采用对数恒等变形。 ）3.求)ln11(lim1xxxx_. (答案：23) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页本堂课小结：1.00型未定式2.型未定式3.0、型未定式先转化为00型或未定式第三节函数单调性与极值【教学内容】函数的单调性，函数的极值【教学目的】掌握用一阶导数的符号判别函数单调性的方法，会求函数的单调区间，并利用函数的单调性进行简单不等式的证明；理解函数极值与极值点的概念，掌握极值存在的必要条件，熟练掌握求函数极值的方法（极值点的充分条件），搞清极值点和驻点的区别与联系。【教学重点】1函数单调性的判断；2. 函数单调区间的求法；3. 函数极值的求法。【教学难点】 1.函数单调区间的求法；2. 函数极值的求法。【教学时数】3 学时【教学进程】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 30 页复习：1. 00型与型未定式2. 洛必达法则新课一、函数的单调性判断提问：若函数)(xfy在区间),(ba内单调递增，试考虑)(xf在区间),(ba内符号？若函数)(xfy在区间),(ba内单调递减，试考虑)(xf在区间),(ba内符号？从函数的几何图形来看，如果当函数)(xfy是单调增加的， 那么这条曲线沿x轴正向是上升的， 函数在区间),(ba内每一点的切线斜率都是正的（即0)(xf） ，如图 1 所示；如果当函数)(xf在),(ba内是单调减少的， 如图 2 所示，曲线)(xfy在区间),(ba内沿x轴正向是下降的，函数在区间),(ba内每一点的切线斜率都是负的（即0)(xf） 图 1 图 2可见，函数的单调性与它的导数的符号有着密切的联系，反过来，能否用导数的符号来判断函数的单调性呢？下面我们给出函数单调性的判定法：定理 1 设函数)(xf在),(ba内可导（1）如果在),(ba内0)(xf，则函数)(xf在),(ba内单调增加 ，（2）如果在),(ba内0)(xf，则函数)(xf在),(ba内单调减少证明（1）在区间),(ba内任取两点1x、2x，不妨设1x2x，显然)(xf在1x，2x上满足拉格朗日定理条件，则一定存在一点)(21xx，使精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 30 页)()()(1212xxfxfxf由已知条件，0)(f，且12xx，所以)()(12xfxf，这就是说)(xf在),(ba内是单调增加的同理可证（ 2） 提问： 1. 定理 36 中的开区间换成,ab等其他各种区间，定理 3.6 的结论如何变化？2. 0)(xf与0)(xf换成0)(xf与0)(xf（等号只在个别点成立），定理3.6的结论是否仍然成立？例 1 1. 讨论函数xxxf3)(在区间100,10内的单调性2. 讨论函数xxxf3)(在定义域内的单调性解1. 因为13)(2xxf，所以区间100,10内013)(2xxf，由定理 36 知，xxxf3)(在100,10上是单调增加的2. 从函数的解析中可以看出xxxf3)(在),(上是单调增加的。同时我们也可以看到，在),(上，013)(2xxf。结论：定理1 中的开区间换成,ab等其他各种区间，定理1 的结论仍成立。例2 讨论函数32)(xxf的单调性。解因为332)(xxf，当0x时，0)(xf，函数32)(xxf是单调减少的；当0x时，0)(xf，函数32)(xxf是单调增加的；例 3 求函数xxxfln)(的单调性解因为xxxfln)(的定义域为),0(xxxxf111)(，当1x时，0)(xf；当10x时，0)(xf由定理 1 知，), 1(是函数xxxfln)(的单调增区间，) 1 ,0(是函数xxxfln)(的单调减区间由定理 1 可知，讨论函数，需要根据函数的一阶导数的符号来进行判定。当)(xf连续时，)(xf的正负值的分界点是使0)(xf或)(xf不存在的点（如例2 与例 3）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 30 页我们把0)(0xf的点0x称为函数)(xf的驻点或稳定点。例 4 求函数315923xxxy的单调区间解因为函数)(xf的定义域为(，)，又15183)(2xxxf，令0)(xf，解得驻点5, 121xx用它们将定义域分成三个区间：)1 ,(，)5 ,1 (，), 5(。列表讨论如下：x)1 ,(1 )5 ,1 (5 ),5()(xf0 0 )(xf所以函数)(xf的单调增加区间是)1 ,(、),5(；单调减少区间是)5 ,1 (课堂练习： 1. 结合以上分析，总结利用导数讨论函数的单调性，可分为哪几步进行？答案： 1. 求函数的定义域； 2. 求导数)(xf，并进一步求出)(xf的不可导点与驻点； 3. 用 2 中的点对定义域进行划分； 4. 在每个开区间内判定)(xf的符号，由定理1 得出相应的结果。例 5 证明：当0x时，xex1证明令xexfx1)(，则0)0(f又01)(xexf（0x） ，所以函数xexfx1)(在区间), 0(上单调增加因此，当0x时，)0()(fxf，即xex1课堂练习：2. 讨论函数32)1()(xxxf的单调性解因为函数)(xf的定义域为(，)，又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 30 页33132325) 1(32)(xxxxxxf令0)(xf，解得驻点为521x； 又当02x时，)(xf无意义，所以02x是函数)(xf的不可导点；列表考察函数的单调区间x)0 ,(0)52,0(52),52()(xf不存在0 )(xf所以函数)(xf的单调增加区间是)0,(、),52(；单调减少区间是)52,0(3.讨论函数3129223xxxy的单调区间答案：函数在) 1,(与), 2(上单调增加；在)2, 1(上单调减少。二、函数的极值定义 1 设函数)(xf在0x的某邻域内有定义， 如果在该邻域内任取一点x（0xx） ，均有)()(0xfxf，则称)(0xf是函数)(xf的一个极大值，称0x为)(xf的极大值点； 同样，如果在该邻域内任取一点x（0xx） ，均有)()(0xfxf，则称)(0xf是函数)(xf的一个极小值，称0x为)(xf的极小值点函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点提问：函数的极值与函数的最大值、最小值有何关系？这是两个不同的概念。极值是一种局部性的概念，它只限于与0x的某邻域的函数值比较；而最大值、 最小值是一个整体概念，它是就整个区间的函数值比较来说的函数的极大值不一定是函数的最大值，函数的极小值也不一定就是函数的最小值；一个函数在某个区间上可能有若干个极值点，在这些点上，有些极小值可能要大于极大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 30 页提问：在图 3 中哪些是函数在区间ba,内的极值点， 哪些是函数在区间ba,内最值点？函数在区间ba,内有两个极大值：)(2xf，)(5xf，三个极小值：)(1xf，)(4xf，)(6xf，其中极大值)(2xf比极小值)(6xf还小对整个区间,ba来说，只有一个极小值)(1xf是最小值，而没有一个极大值是最大值从几何图形上看，在函数)(xf可导的前提下，取得极值处，曲线的切线是水平的但曲线有水平切线的地方，函数不一定取得极值，图 35 中的点3x处曲线的切线都是水平的，但)(3xf不是极值图 3 直观告诉我们求函数极值的基本思想，我们先介绍下面的定理。定理 2 （极值存在的必要条件）如果函数)(xf在点0x可导， 且在点0x处取得极值，则必有0)(0xf提问：定理2 说明可导函数的极值点一定是函数的驻点，反过来驻点是不是一定是函数的极值点呢？驻点不一定是函数的极值点例如点0x是函数2xy、3xy的驻点，它也是函数2xy的极小值点，但它却不是函数3xy的极值点提问：出了函数的驻点可能是函数的极值点之外，还有哪些点也可能是函数的极值点呢？连续而不可导的点也可能是极值点例如，函数xy，在0x点连续而不可导，但0x是函数xy的极小值点不过由定理2 可以肯定， 如果0x是函数的极值点且)(0xf存在，则0x一定是驻点 因此函数的驻点和导数不存在的点都有可能是极值点，这样寻求函数的极值点的范围就大大的缩小了，只须对驻点和导数不存在的点逐个进行判断即可提问：试考虑如何判断哪些驻点和导数不存在的点是极值点呢？图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 30 页定理3（极值的第一充分条件）设函数)(xf在点0x的某个邻域内可导，且0)(0xf（1）如果当0xx时，0)(xf；当0xx时，0)(xf，则函数)(xf在0x处取得极大值；（2）如果当0xx时，0)(xf；当0xx时，0)(xf，则函数)(xf在0x处取得极小值；（3）如果在0x的两侧，)(xf具有相同的符号，则函数)(xf在0x处不取得极值综上所述，求函数)(xf的极值点和极值的一般步骤为：(1) 确定函数)(xf的定义域；(2) 求)(xf，解方程0)(xf，求出驻点，找出使)(xf不存在的点；(3) 用上述诸点按从小到大的顺序将定义区间分为若干子区间；列表考察)(xf在各个子区间内的符号，判定出函数)(xf在子区间上的单调性，也就得到了极值点；(4) 求出各极值点处的函数值，就得到函数)(xf的全部极值例 6 求函数2332)(xxxf的极值解因为函数的定义域为(，)；又) 1(666)(2xxxxxf令0)(xf，解得01x，12x；列表得x(，)000(，)11 1(，)(xf+ 0 0 + )(xf极大值0)0(f极小值1) 1(f所以函数)(xf在0x处取得极大值，极大值0)0(f；函数)(xf在1x处取得极小值，极小值为1)1 (f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 30 页例 7求函数32)2(1)(xxf的极值解因为函数的定义域为(，)；又31)2(32)(xxf；当2x时，)(xf不存在；列表得x(，)22 2(，)(xf+ 不存在)(xf极大值1)2(f所以函数)(xf在2x处取得极大值，极大值为1)2(f课堂练习：1.求函数1) 1()(32xxf的极值。（答案：极小值0)0(f）2.求函数3223)(xxxf的极值。（答案：极大值21)1(f，极小值0()f）定理4 （极值的第二充分条件）设函数)(xf在点0x处具有二阶导数，且0)(0xf，0)(0xf，则（1）当0)(0xf时，函数)(xf在点0x处取得极大值；（2）当0)(0xf时，函数)(xf在点0x处取得极小值例 8 求函数xxxf3)(3的极值解因 为) 1)(1(333)(2xxxxf，xxf6)(， 令0)(xf， 得 驻 点1x由于06)1(f，06)1(f，所以2) 1(f为极大值，2)1(f为极大值说明： 看起来，第二充分条件比第一充分条件要简单，但当0()fx0()0fx时，第二充分条件定理失效例如3)(xxf，有0)0()0(ff，但0x不是极值点；4)(xxf，有0)0()0(ff，而0x是极小值点，在这种情况下，要利用第一充分条件来判断函数的极值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 30 页对于不可导点是否为极值点，只能用第一充分条件定理来判断。课堂练习：1. 求函数2332)(xxxf的极值。（答案：极小值6)3(f，极大值314)1(f） 2.求函数xexxf)(的极值。（答案：极大值1)0(f）3. 求函数xxxfln)(的极值。（答案：极小值eef1)1(）本堂课小结：1.函数的单调性判断：1. 求函数的定义域；2. 求导数)(xf，并进一步求出)(xf的不可导点与驻点； 3. 用 2 中的点对定义域进行划分； 4. 在每 个开 区间 内判定)(xf的 符 号， 如果0)(xf， 则函数单调 增加 ； 如 果0)(xf，则函数)(xf单调减少2.函数极值的判断(1) 确定函数)(xf的定义域；(2) 求)(xf，解方程0)(xf，求出驻点，找出使)(xf不存在的点；(3) 用上述诸点按从小到大的顺序将定义区间分为若干子区间；列表考察)(xf在各个子区间内的符号，判定出函数)(xf在子区间上的单调性，也就得到了极值点；(4) 求出各极值点处的函数值，就得到函数)(xf的全部极值第四节 函数的最值与导数在经济中的应用【教学内容】函数的最值，最值在经济问题中的应用举例，导数在经济分析中的应用【教学目的】初步掌握简单的实际问题中最大值和最小值的求法；会利用导数讨论一些简单的问题。【教学重点】函数最值的求法及应用；【教学难点】函数最值的求法及应用【教学时数】2 学时【教学进程】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 30 页复习：1.函数的单调性判断：1. 求函数的定义域；2. 求导数)(xf，并进一步求出)(xf的不可导点与驻点； 3. 用 2 中的点对定义域进行划分； 4. 在 每个 开区 间内 判定)(xf的 符 号， 如果0)(xf， 则 函数 单调 增加 ； 如果0)(xf，则函数)(xf单调减少2.函数极值的判断：(1) 确定函数)(xf的定义域；(2) 求)(xf，解方程0)(xf，求出驻点，找出使)(xf不存在的点；(3) 用上述诸点按从小到大的顺序将定义区间分为若干子区间；列表考察)(xf在各个子区间内的符号，判定出函数)(xf在子区间上的单调性，也就得到了极值点；(4) 求出各极值点处的函数值，就得到函数)(xf的全部极值新课一、函数的最值提问：什么是函数的最大值、最小值？如 果 函 数)(xf在 其 定 义 域,ba上 的 函 数 值 满 足Mxfm)(， 其 中2121,)(,)(xxMxfmxf,ba， 则 称mxf)(1为 函 数)(xf的 最 小 值 ，Mxf)(2为函数)(xf的最大值下面我们讨论函数在某些特定条件下的最大值和最小值的问题我们知道，连续函数)(xf在闭区间,ba上一定存在最大值和最小值，（思考：为什么？） 且最大值和最小值只可能在区间),(ba内的极值点和端点处得到因此可直接求出一切可能的极值点 （驻点及个别不可导点）和端点处的函数值，比较这些数值的大小，即可得出函数的最大值和最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 30 页提问：如果函数)(xf在,ba上单调增加，则函数)(xf的最大值和最小值分别是？如果函数)(xf在,ba上单调增加，)(af是函数)(xf在,ba上的最小值，)(bf是函数)(xf在,ba上的最大值，如图1 所示；提问：如果函数)(xf在,ba上单调减少，则函数)(xf的最大值和最小值分别是？如果函数)(xf在,ba上单调减少， 则)(af是函数)(xf在,ba上的最大值；)(bf是函数)(xf在,ba上的最小值，如图2 所示图 1 图 2提问：在什么情况下函数的极大值一定是最大值，什么情况下函数的极小值一定是最小值？如果连续函数)(xf在,ba上有且仅有一个极大值，而没有极小值，则此极大值就是函数)(xf在,ba上的最大值，如图3 所示；如果连续函数)(xf在,ba上有且仅有一个极小值，而没有极大值，则此极小值就是函数)(xf在,ba上的最小值，如图4 所示图 3 图 4例 1 求函数430182)(23xxxxf在3,0上的最大值和最小值解因为30366)(2xxxf)5)(1(6xx，令0)(xf，得驻点为1x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 30 页5x（不合题意，舍去） ，由于18)1 (f，4)0(f，18)3(f，比较各值，得函数的最大值为18)1 (f，最小值为14)3(f例 2 求函数322)(xxxf在4, 1上的最大值和最小值解因为3222)2(3)1 (2)22(231)(32xxxxxxxf，显然，0x与2x是函数)(xf的不可导点 令0)(xf， 得驻点为1x 由于0)0(f，1)1 (f，0)2(f，33) 1(f，2)4(f，比较各值， 得函数的最大值为1)1 (f，最小值为2)4(f课堂练习：1.求 函 数593)(23xxxxf在4, 2上 的 最 大 值 和 最 小 值 （ 答 案 ： 最 大 值10)1(f，最小值22)3(f）二、最值在经济问题中的应用举例对于求最大值和最小值的应用问题，首先要根据问题的具体意义，建立函数关系式，并确定函数的定义域，再应用前面所学的方法求函数的最大值和最小值若问题的最大值或最小值的客观存在是明显的，且在所限定的区间内，只有唯一的驻点，那么，这个唯一驻点的函数值，一定是所求的最大值或最小值例 3 设某产品的总成本函数为16001525.0)(2qqqC（元） （q为产品的产量） ，求当产量为多少时，该产品的平均成本最小，并求最小平均成本解该产品的平均成本函数为qqqqCqC16001525.0)()(（),0(q）令0)(qC， 即01 6 0 025.0)(2qqC， 求 得 唯 一 驻 点80q 又 因 为0320080380qqqC，所以)(qC在80q处取得最小值，其最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 30 页55801600158025.0)80(C（元）例 4 一房地产公司有50 套公寓要出租当租金定为每月180 元时，公寓会全部租出去，当租金每月增加10 元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20 元的维修费，问房租定为多少时可获得最大收入？解设租金每月x元，租出去的公寓有)10180(50x，总收入为)1018050)(20()(xxxR)1068)(20(xx又570)1068()101)(20()(xxxxR， 令0)(xR， 则 得350x， 由 于51)350(R，因此350x是函数)(xR的唯一极大值点，所以是函数的最大值点，即房租定为每月350 元可获得最大收入，最大收入为10890)350(R（元） 课堂练习：1. 设某产品的价格与需求的关系为qp3.0250，总成本函数)(qC1800100q（元） ，求当产量和价格分别是多少时，该产品的利润最大，并求最大利润（答案：当产品为250单位，价格为175 元/单位时，最大利润为16950 元 ）本堂课小结：函数最值第 3 章小结、复习课【教学内容】基本定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西定理；基本计算：函数极限的计算、函数单调性及极值的计算、最值等。【教学目的】使学生理解本章内容中的基本定理；基本概念；掌握相关的计算。【教学重点】1洛必达法则；2函数的单调性与极值。【教学难点】1 利用中值定理证明等式与不等式；2 利用函数的单调性证明不等式；3 最值问题。【教学时数】 2学时【教学进程】一、微分中值定理1罗尔定理：如果函数)(xfy满足下列条件：（1）在闭区间,ba上连续；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 30 页（2）在开区间),(ba内可导；（3）)()(bfaf。则在区间),(ba内至少存在一点，使得0)(f2拉格朗日中值定理：设函数)(xf满足下列条件：（1）在闭区间,ba上连续，（2）在开区间),(ba内可导，则在区间),(ba内至少存在一点，使得)()()(fabafbf3柯西定理：设函数)(xf与)(xg在闭区间,ba上连续，在开区间),(ba内可导，且0)(xg，则至少存在一点),(ba，使得)()()()()()(gfagbgafbf例 1：判断函数xxfln)(在闭区间 1,e上是否满足拉格朗日中值定理？如果满足，找出使定理结论成立的的值。解： 因为xxfln)(是初等函数，它在区间1,e上是连续的，且导数)(xf在（ 1,e ）内存在，所以在 1,e上满足拉格朗日中值定理的两个条件。所以有) 1)()1()(effef而1)(f所以)1(11lnlnee，即1e，由于), 1(1ee，因此1e即是所找的值。二、利用洛必达法则求函数极限洛必达法则如果函数)(xf与)(xg满足条件：（1）0)(lim0xfxx（或） ，0)(l i m0xgxx（或） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 30 页（2）在0x的某邻域内（0x除外）可导，且0)(xg，（3）)()(lim0xgxfxx存在（或为） ，则)()(lim0xgxfxx)()(lim0xgxfxx例 2：求xexxsin1lim0解：这是00型未定式，所以1coslimsin1lim00xexexxxx例 3：求xxxlnlnlim解：01ln1limln1limlnlnlimxxxxxxxx三、函数的单调性及极值的计算单调性定理 ：设函数)(xf在),(ba内可导（1）如果在),(ba内0)(xf，则函数)(xf在),(ba内单调增加，（2）如果在),(ba内0)(xf，则函数)(xf在),(ba内单调减少极值的第一充分条件设函数)(xf在点0x的某个邻域内可导，且0)(0xf（1）如果当0xx时，0)(xf；当0xx时，0)(xf，则函数)(xf在0x处取得极大值；（2）如果当0xx时，0)(xf；当0xx时，0)(xf，则函数)(xf在0x处取得极小值；（3）如果在0x的两侧，)(xf具有相同的符号，则函数)(xf在0x处不取得极值极值的第二充分条件设函数)(xf在点0x处具有二阶导数，且0)(0xf，0)(0xf，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 30 页（1）当0)(0xf时，函数)(xf在点0x处取得极大值；（2）当0)(0xf时，函数)(xf在点0x处取得极小值当0)(0xf时，需进一步判断，此时一般用第一充分条件来求函数的极值。例 4：求函数12)(2xxxxf的单调区间以及在整个定义域内的极值点。解：这个函数的定义域是), 1()1 ,(，并且222)1()3)(1() 1(32)(xxxxxxxf令0)(xf，得驻点3, 121xx。不可导点是13x。如下表：x ) 1,(-1 (-1,1) 1 （1,3 ）3 ), 3()(xf+ 0 - 0 )(xf增加-1 减少减少7 增加由上表可知，该函数在区间), 3(),1,(内单调增加，在区间)3 ,1 (),1 , 1(内单调减少。函数的在11x处取得极大值，相应的极大值点是11x。在32x处取得极小值，相应的极小值点是32x。四、最值如果函数)(xf在其定义域,ba上的函数值满足Mxfm)(，其中,)(1mxf212,)(xxMxf,ba，则称mxf)(1为函数)(xf的最小值，Mxf)(2为函数)(xf的最大值。例 5：某商品在销售单价为（p元 ) 时，每天的需求量418pq。某工厂每天生产该商品q 单位的成本函数是22120)(qqqC（元）。若该工厂有权自定价格，问该工厂每天产量为多少时，可使利润最大？这时价格为多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 30 页解：由418pq，有)180( ,472qqp所以总收益)472()(qqpqqR，利润为120705)2120()472()()()(22qqqqqqqCqRqL又)7(101070)(qqqL，令0)(qL，得唯一驻点7q。由于最大利润必然存在，可知当7q时，)(qL有最大值125)7(L（元） 。即每天生产 7 单位时，有最大利润125 元。这时商品的单价为44)472(7qqp（元） 。五、课堂练习1求下列各极限（1）30arctanlimxxxx31 （2）xxxxxlnlnlim20 2求下列函数的单调区间及极值（1）149323xxxy（2）222xxey答案：单调增区间为：)1,(及), 3(； 单调减区间为：)3, 1(； 极大值19)1(f，极小值13)3(f。（2）单调增区间为：)21,(；单调减区间为：)21,(；极大值为：21)21(ef 本堂课小结：主要内容：基本定理：罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、洛必达法则、极值第一充分条件、极值第二充分条件等；基本计算：函数极限、单调区间、极值、最值、边际与弹性的计算等。重点：1洛必达法则；2函数的单调性与极值；3边际与弹性。难点：1利用中值定理证明等式与不等式；2利用函数的单调性证明不等式；3最值问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 30 页