初中数学 _巧添辅助线 _解证几何题第 1 页 共 14 页巧添辅助线解证几何题 引出问题 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。一、倍角问题研究 2或 =12问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形：1、与在两个三角形中，常作的平分线，得1=12，然后证明1=；或把翻折，得2=2，然后证明2=（如图一）2、 与在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二）例题解析 例 1：如图 1，在 ABC中， AB=AC,BD AC于 D。求证： DBC=12BAC. 分析： DBC 、 BAC所在的两个三角形有公共角C，可利用三角形内角和来沟通DBC 、 BAC和 C的关系。证法一：在ABC中， AB=AC ， ABC= C=12（180- BAC ）=90-12BAC 。 BD AC于 D BDC=90 DBC=90- C=90-(90-12 BAC)= 12BAC 即 DBC= 12BAC 分析二： DBC 、 BAC分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论 “ DBC= ?BAC ”中含有角的倍、半关系，因此，可以做A的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把?A放在直角三角形中求解；也可以把DBC沿 BD翻折构造2DBC求解。证法二：如图2，作 AE BC于 E，则 EAC+ C=90C A B D E C A B D 21图一图二精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页初中数学 _巧添辅助线 _解证几何题第 2 页 共 14 页AB=AC EAG=12BAC BDAC于 D DBC+ C=90 EAC= DBC （同角的余角相等）即 DBC=12BAC 。证法三：如图3，在 AD上取一点 E，使 DE=CD 连接 BE BDAC BD是线段 CE的垂直平分线BC=BE BEC= C EBC=2 DBC=180-2 C AB=AC ABC= C BAC=180-2 C EBC= BAC DBC= 12BAC 说明：例 1 也可以取BC中点为 E，连接 DE，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。同学们不妨试一试。例 2、如图 4，在 ABC中， A=2B 求证： BC2=AC2+AC ?AB 分析：由BC2=AC2+AC ?AB= AC（AC+AB ） ，启发我们构建两个相似的三角形，且含有边BC 、AC 、AC+AB.又由已知 A=2B知，构建以 AB为腰的等腰三角形。证明：延长CA到 D,使 AD=AB,则 D=DBA BAC是 ABD的一个外角 BAC= DBA+ D=2D BAC=2 ABC D=ABC 又 C= C ABC BDC ACBCBCCDBC2=AC ?CD AD=AB BC2= AC（AC+AB ）=AC2+AC ?AB 二、中点问题已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。这类问题常用三种方法添加辅助线（ 1）延长中线至倍（或者倍长中线），如图一。若图形中没有明显的三角形的中线，也可以构造中线后，再倍长中线，如图二。（ 2）构造中位线，如图三（ 3）构造直角三角形斜边上的中线，如图四。E C A B D A BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页初中数学 _巧添辅助线 _解证几何题第 3 页 共 14 页图一图二图三图四例题解析 例 3已知：如图，ABC中， AB=AC,在 AB上取一点D，在 AC的延长线上取一点E, 连接 DE交BC于点 F, 若 F是 DE的中点。求证：BD=CE 分析：由于BD 、 CE的形成与D 、 E两点有关，但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形，所以关系不明显，由于条件F 是 DE的中点，如何利用这个中点条件，把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。由已知 AB=AC,联系到当过D点或 E 点作平行线，就可以形成新的图形关系构成等腰三角形，也就是相当于先把BD或 CE 移动一下位置，从而使问题得解。证明：证法一：过点D作 DG AC,交 BC于点 G（如上图） DGB= ACB, DGF= FCE AB=AC B=ACB B=DGB BD=DG F 是 DE的中点DF=EF 在 DFG 和 DEFC 中， DFG= EFCDGF= FCEDF=EF DFG EFC DG=CE BD=CE 证法二：如图，在AC上取一点H,使 CH=CE, 连接 DH F 是 DE的中点CF是 EDH 的中位线DH BC ADH= B, AHD= BCA AB=AC B=BCA ADH= AHD AD=AH AB-AD=AC-AH BD=HC BD=CE 说明：本题信息特征是“线段中点”。也可以过E作 EM BC,交 AB延长线于点G，仿照证法二求解。例 4如图，已知ABCD ，AE平分 BAD ，且 E是 BC的中点EGDFCAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页初中数学 _巧添辅助线 _解证几何题第 4 页 共 14 页求证： AD=AB+CD 证法一：延长AE交 DC延长线于 F AB CD BAE= F, B=ECF E是 BC的中点BE=CE 在 ABE和 CEF中 BAE= F B= ECFBE=CE ABE CEF AB=CF AE平分 ABD BAE= DAE DAE= F AD=DF DF=DC+CF CF=AB AD=AB+DC 证法二：取AD中点 F，连接 EF AB CD ，E是 BC的中点EF是梯形 ABCD的中位线EF AB , EF=12（AB+CD ） BAE= AEF AE平分 BAD BAE= FAE AEF=FAE AF=EF AF=DF EF=AF=FD=12AD 12 (AB+CD)= 12AD AD=AB+CD 三角平分线问题已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题。常用的辅助线有两种：1.以角平分线所在直线为对称轴，构造全等三角形，如图一、二所示。2.由角平分线上的点向角的两边做垂线，构造全等三角形，如图二所示。图一图二图三例题解析 例 5如图（ 1） ，OP是 MON 的平分线，请你利用图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三A B C E F D A B C E F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页初中数学 _巧添辅助线 _解证几何题第 5 页 共 14 页角形。请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。（ 1）如图（ 2） ，在 ABC中， ACB是直角， B=60,AD、CE分别是 BAC 、 BCA的平分线， AD 、CE相交于点F,请你判断并写出EF与 FD之间的数量关系。（ 2）如图（ 3） ，在 ABC中，如果 ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（ 1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。分析：本题属于学习性题型。这类题型的特点是描述一种方法，要求学生按照指定的方法解题。指定方法是角平分问题的“翻折法”得全等形。解： （1）EF=FD （2）答：（1）结论 EF=FD仍然成立理由：如图（ 3） ，在 AC上截取 AG=AE, 连接 FG 在 AEF和 AGF中，AE=AG EAF= FAG AF=AF AEF AGF EF=GF, EFA=GFA 由 B=60， AD 、CE分别是 BAC BCA的平分线可得 FAG+ FCA=60 EFA=GFA= DFC=60 GFC=60 在 CFG和 CFD中NFPAMEO ( 1 ) DEFBCA ( 2 ) FEDBCA ( 3 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页初中数学 _巧添辅助线 _解证几何题第 6 页 共 14 页GFC= DFC CF=CF DCE= ACE CFG CFD FG=FD 又因为 EF=GF EF=FD 说明：学习性问题是新课程下的新型题，意在考查学生现场学习能力和自学能力。抛开本题要求从角平分线的角度想，本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的。解法二：（2）答（ 1）中的结论EF=FD仍然成立。理由：作FG AB于 G,FHAC于 H,FM BC于 M EAD= DAC FG=FH ACE= BCE FH=FG B=60 DAC+ ACE=60 EFD= AFC=180 - 60 =120在四边形BEFD中BEF+BDF=180 BDF+ FDC=180 FDC =BEF 在 EFG和 DFM 中0FDC = BEF EGF= DMF=90FG=FMEFG DFM EF=DF 四、线段的和差问题已知条件或所求问题中含有a+b=c 或 a=c-b ，称为线段的和差问题，常用的辅助线有两种：1.短延长：若AB=a,则延长 AB到 M,使 BM=b,然后证明 AM=c ；2.长截短：若AB=c,则在线段AB上截取 AM=a,然后证明 MB=b 。例题解析 例 6 如图，在 ABC中， AB=AC, 点 P是边 BC上一点， PD AB于 D,PEAC于 E,CM AB于M,试探究线段PD 、PE 、CM的数量关系，并说明理由。分析：判断三条线断的关系，一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系，通过测量猜想PD+PE=CM. 分析：在CM上截取 MQ=PD ，得 PQMD, 再证明 CQ=PE 答： PD+PE=CM 证法一：在CM上截取 MQ=PD ，连接 PQ. CM AB于 M, PDAB于 D CMB= PDB=90 CM DP 四边形PQMD 为平行四边形PQ AB CQP= CMB=90 QPC= B HGMFEDBCA ( 3 ) QMEA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页初中数学 _巧添辅助线 _解证几何题第 7 页 共 14 页AB=AC B=ECP QPC= ECP PE AC于 E PEC=90 在 PQC 和 PEC中PQC= PEC QPC= ECP PC=PC PQC PEC QC=PE MQ=PD MQ+QC=PD+PE PD+PE=CM 分析 2：延长 DF到 N使 DN=CM, 连接 CN,得平行四边形DNCM, 再证明 PN=PE 证法 2：延长 DF到 N，使 DN=CM，连接 CN 同证法一得平行四边形DNCM ，及 PNC PEC PN=PE PD+PE=CM 分析 3：本题中含有AB=AC及三条垂线段PD 、 DE 、CM ，且PABPACABCSSSVVV，所以可以用面积法求解。证法三：连接AP,PD AB于 D,PEAC于 E,CM AB于 M PQC= PEC QPC= ECP PC=PC 121212ABPACPABCSABPDSACPESABCM?VVVAB=AC 且PABPACABCSSSVVV1112220ABPDABPEABCMABPDPECM?Q说明：当题目中含有两条以上垂线段时，可以考虑面积法求解。五、垂线段问题已知条件或所求问题中含有两条或者两条以上的垂线段时，而所研究的问题关系又不明显时，可以借助于可求图形的面积转化。常用的面积关系有：1.同（等）底的两个三角形的面积与其高的关系；2.同（等）高的两个三角形的面积与其底的关系。例题解析 NMEDPCBA MEDPCBA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页初中数学 _巧添辅助线 _解证几何题第 8 页 共 14 页FEDCBA例 7 在平行四边形ABCD 中， P是对角线BD上点，且,PEAB PFBC垂足分别是E、F 求证：ABPFBCPE分析：将比例式ABPFBCPE转化为等积式ABPEBCPF?，联想到ABPEBCPF?1122，即 PAB与 PBC的面积相等，从而用面积法达到证明的目的。证明：连接AC与 BD交于点 O,连接 PA 、PC 在平行四边形ABCD 中， AO=CO AOBBOCSSVV同理，AOPCOPAOBAOPBOCCOPPABPBCSSSSSSSSVVVVVVVV,PEAB PFBC,11221122PABPBCSABPE SBCPFABPEBCPFABPEBCPFABPFBCPE?VV例 8 求证：三角形三条边上的中线相交于一点。分析：这是一个文字叙述的命题。要证明文字命题，需要根据题意画出图形，再根据题意、结合图形写出已知、求证。已知： ABC中， AF、BD 、CE是其中线。求证： AF、BD 、 CG相交于一点。分析：要证三线交于一点，只要证明第三条线经过另两条线的交点即可。证明：设BD 、CE相交于点G，连接 AG ，并延长交BC于点 F,. ,ABDCBDAGDCGDAGBCGBCGBAGCAGBAGCADDCSSSSSSSSSSVVVVVVVVVVQ同理，作 BM AF,于 M,CN AF,于 N FEDCBA P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页初中数学 _巧添辅助线 _解证几何题第 9 页 共 14 页则,11221122AGBAGCSAGBM SAGCNAGBMAGCNBMCN?VV在 BMF,和 CNF,中BF MCF NBMFCNFBMCN BMF CNF BFCFAF,是 BC边上的中线又 AF时 BC边上的中线AF与 AF,重合即 AF经过点 D AF 、BD、CE三线相交于点G 因此三角形三边上的中线相交于一点。六、梯形问题梯形可以看作是一个组合图形，组成它的基本图形是三角形、平行四边形、矩形等。因此，可以通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等问题求解，其基本思想为：梯形问题三角形或者平行四边形问题在转化、分割、拼接时常用的辅助线：1.平移一腰。即从梯形一个顶点作另一个腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（如图一） 。研究有关腰的问题时常用平移一腰。2.过顶点作高。即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形（如图二）。研究有关底或高的问题时常过顶点作高。3.平移一条对角线。即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形（如图三）。研究有关对角线问题时常用平移对角线。这种添加辅助线的方法，可以将梯形两条对角线及两底的和集中在一个三角形内，使梯形的问题转化为三角形的问题。此三角形的面积等于梯形的面积。4.延长两腰交于一点。把梯形问题转化为两个相似的三角形问题（图四）；5.过底的中点作两腰的平行线。当已知中有底的中点时，常过中点做两腰的平行线，把梯形转化成两个平行四边形和一个三角形（图五）；6.过一腰中点作直线与两底相交。当已知中有一腰的中点时，常连接梯形一顶点和此中点，并延长交另一底于一点，将梯形问题转化为一对全等三角形和一个含有梯形两底之和的三角形。此三角形的面积等于梯形的面积（图六）；7.作梯形中位线。当已知中有一腰的中点时，常取另一腰的中点，作梯形的中位线，（图七），利用梯形中位线性质解题。转化分割、拼接精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页初中数学 _巧添辅助线 _解证几何题第 10 页 共 14 页图一图二图三图四图五图六图七例题解析 例 9以线段a=16,b=13 为梯形的两底，以c=10 为一腰，则另一腰长d 的取值范围是分析：如图，梯形ABCD中，上底b=13，下底 a=16，腰 AD= c=10，过 B作 BE AD,得到平行四边形 ABED ，从而得AD=BE=10,AB=DE=13 所以 EC=DC-DE=16-13=3. 所以另一腰d 的取值范围是 10-3d 10+3 答案： 7 d13 例10 如 图 ， 已 知 梯 形ABCD 中 ， AB DC, 高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形 ABCD的面积。分析：已知条件中给出两条对角线的长，但对角线位置交错，条件一时用不上。另外，求梯形面积只要求出上、下底的和即可，不一定求出上、下底的长，所以考虑平移腰。解：解法一：如图，过A作 AFBD,交 CD延长线于 F /,AB FCFDAB AFBDFCABDCAEFCAEFAECABDF1590QQ。四形是平行四形在直角三角形AEF中， AE=12,AF=15 222215129EFAFAE在直角三角形AEC中， AE=12,AF=15 DCEBA FDCEBA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页初中数学 _巧添辅助线 _解证几何题第 11 页 共 14 页()22222012169162511251215022ABCDECACAEABDCFCEFECSABDCAE?梯形解法二：如图，过B作 BF DC于 F BFC=90 AE DC于 E /,AEBFABDCABFEBFACABEFAED= AEC=90AEC=BFC=9012Q。是平行四形在直角三角形ABC中，,22122016AEACECACAE在直角三角形BDF中，,()22121599162511251215022ABCDBFBDDFBDBFABDCDFCESABDCAE?梯形例 11. 如图，在梯形ABCD 中， AD BC,B+C=90 ,M、 N分别是 AD 、BC的中点，试说明：()12MNBCAD分析 1： B+C=90 ，考虑延长两腰，使它们相交于一点，构成直角三角形。解法 1：延长 BA 、 CD交于点 G,连接 GM 、GN 9090BCBGCAMMDGMAMGAMAGMBNCNGNBNBBGNADBCGAMBAGMBGNQQP。又B、A、G共线 G 、M 、N共线FDCEBA A B C D M N G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页初中数学 _巧添辅助线 _解证几何题第 12 页 共 14 页,()112212GMAD GNBCMNGNGMBCADQ分析 2：考虑 M 、N 分别为 AD 、BC中点，可以过M分别作 AB 、DC的平行线，梯形ABCD 内部构成直角三角形，把梯形转化为平行四边形和三角形。解法 2：作 ME AB交 BC于 E,作 MF DC交 BC于 F ADBC 四边形ABEM 、DCFM 都是平行四边形BE=AM,FC=DM ,AMMDBEFCBNCNENFNAB MFDCMEFBMFECBCMEFMFEME9090QQPPQ。由 EMF=90 ,又 EN=FN 11()22MNEFBCAD 拓展延伸 1.已知：如图， ABC中，D是 BC的中点， F 是 CA延长线上一点，连接FD交 AB于 E，若 AE=AF求证： BE=CF 证法一：延长ED到 G使 DG=DE, 连接 CG. 在 BDE和 CDG 中，,BDCDBDECDGDEDGBDECDGBEDG BECGAEAFFFEAFEABEDBEDGFGCGCFBECFVVQQ证法二：延长FD到 G,使 DG=DF, 连接 BG 。DCF和 BDG 中,DCBDFDCBDG FDDGFDCBDGFG CFBGAEAFFFEAFEABEDBEDGBEBGBECFVVQQ又A B C D E G F A B C D M N E F A B C D E G F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页初中数学 _巧添辅助线 _解证几何题第 13 页 共 14 页2、如图， ABC中， BC=2AB,D是 BC中点， E是 BD中点求证： AD平分 EAC 。证明一：延长AE到 F,使 EF=AE 在三角形 ADE和 BEF中,DEBEAEDBEFAEEFAEDBEFADEEBFEADF ADBFADEBADBCAB BDCDABBDDCADCADBADCABDBADADCABF2VVQQ是的外角在三角形ADC和 ABF中DCABADCABFADBFADCABFDACFFEADEADDACADEACVVQ又平分证明 2：取 AC中点 F, 连接 DF D是 BC的中点 DF是 ABC的中位线,12212DFAB DFABADFBADBCAB BEDEABBDDCDEABBADADB DEDFADFADBPQ且在三角形ADE和 ADF中DEDFADFADBADADADEADFEADCADADEAFVV平分3. 已知：如图，在梯形ABCD中， AD BC,ABC=90 , C=45 ,BECD于 E，AD=1,2 2CD, 求BE的值。解：过 D作 DFAB,交 BC于点 F A B C D E F A B C D E F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页初中数学 _巧添辅助线 _解证几何题第 14 页 共 14 页coscossinsinABFD190?DFC C=45?, CD=222390?322ADBCBFADDFABDFCABCCFCCDCFCDCBCBFFCBECBECBECBCBEBCC?QPYQPVV四形是在直角中，在直角中，说明 2：延长两腰交于一点，也可求解。同学们不妨一试。A B C D E F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页