高考中的抽象函数问题及其解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号( )f x的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、解析式问题：1. 换元法： 即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出( )f x，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例 1：已知()211xfxx, 求( )f x. 解：设1xux, 则1uxu2( )2111uuf uuu2( )1xf xx2. 凑配法： 在已知( ( )( )f g xh x的条件下，把( )h x并凑成以( )g u表示的代数式，再利用代换即可求( )f x. 此解法简洁，还能进一步复习代换法。例 2：已知3311()f xxxx，求( )f x解：22211111()()(1)()()3)f xxxxxxxxxx又11| |1|xxxx23( )(3)3f xx xxx，(|x| 1) 3. 待定系数法： 先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例 3 已知( )f x二次实函数，且2(1)(1)f xf xx+2x+4, 求( )f x. 解: 设( )f x=2axbxc，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)fxf xa xb xca xb xc=22222()24axbxacxx比较系数得2()41321,1,2222acaabcb213( )22fxxx4. 利用函数性质法: 主要利用函数的奇偶性, 求分段函数的解析式. 例 4. 已知y=( )fx为奇函数 , 当x0 时,( )lg(1)fxx, 求( )f x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页解: ( )f x为奇函数，( )f x的定义域关于原点对称，故先求x0, ()lg(1)lg(1)fxxx, ( )f x为奇函数，lg(1)()( )xfxfx当x0 时( )lg(1)f xxlg(1),0( )lg(1),0x xf xx x例 5一已知( )f x为偶函数，( )g x为奇函数，且有( )f x+1( )1g xx， 求( )f x,( )g x. 解：( )f x为偶函数，( )g x为奇函数，()( )fxf x,()( )gxg x, 不妨用 -x代换( )f x+( )g x=11x中的x, 1()()1fxgxx即( )f x1( )1g xx显见 +即可消去( )g x, 求出函数21( )1f xx再代入求出2( )1xg xx5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。例 6. 已知1( )+2()1f xfxx，求( )f x的表达式解：用1x代替x得到11( )+2( )1ffxxx（1）又1( )+2()1f xfxx（2） 2（1）- （2）得到23( )1f xxx，于是21( )333xf xx二、求值问题例 7. 已知定义域为R的函数( )f x，同时满足下列条件：1(2)1,(6)5ff；( . )( ).( )fx yf xf y，求(3),(9)ff的值。解：取2,3xy，得(6)(2)(3)fff因为1(2)1,(6)5ff，所以4(3)5f又取3xy得8(9)(3)(3)5fff评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取2,3xy，这样便把已知条件1(2)1,(6)5ff与欲求的(3)f沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页三、定义域问题例 8. 已知函数2()fx的定义域是1，2，求( )f x的定义域。解：2()fx的定义域是 1，2，是指12x，所以2()fx中的2x满足214x从而函数f(x) 的定义域是1，4评析：一般地，已知函数( ( )fx的定义域是A，求 f(x)的定义域问题，相当于已知( ( )fx中 x 的取值范围为A，据此求( )x的值域问题。例 9. 已知函数( )f x的定义域是 1,2，求函数(3)12logxf的定义域。解：( )f x的定义域是 1,2，意思是凡被f作用的对象都在 1,2中，由此可得所以函数(3)12logxf的定义域是111,4。评析：这类问题的一般形式是：已知函数( )f x的定义域是A，求函数( )fx的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知( )x的值域A，据此求x的取值范围。例2 和例 1 形式上正相反。四、值域问题例 10. 设函数( )f x定义于实数集上，对于任意实数,x y，()( )( )f xyf x fy总成立，且存在12xx，使得12()()f xf x，求函数( )f x的值域。解：令0xy，得2(0)(0)ff，即有(0)0f或(0)1f。若(0)0f，则( )(0)( )(0)0f xfxf x f，对任意xR均成立，这与存在实数12xx，使得12()()f xf x成立矛盾，故(0)0f，必有(0)1f。由于()( )( )f xyfx f y对任意, x y均成立，因此，对任意xR，有下面来证明，对任意,( )0xR f x设存在0xR，使得0()0f x，则0000(0)()()()0ff xxf xfx这与上面已证的(0)0f矛盾，因此，对任意,( )0xR f x所以( )0f x评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。五、判断函数的奇偶性：例 11 已知()()2( )( )f xyf xyf x f y, 对一切实数x、y都成立，且(0)0f, 求证( )f x为偶函数。证明：令x=0, 则已知等式变为( )()2 (0)( )fyfyffy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页在中令y=0 则 2(0)f=2(0)f(0)f0(0)f=1( )()2 ( )f yfyf y()( )fyf y( )f x为偶函数。六、单调性问题例 12. 设( )f x定义于实数集上， 当0x时，( )1f x， 且对于任意实数, x y有()( )( )f xyf x fy，求证：( )f x在 R上为增函数。证明：在()( )( )f xyf x fy中取0xy，得2(0)(0)ff若(0)0f，令0,0xy，则( )0fx，与( )1f x矛盾所以( )0f x，即有(0)1f当0x时，( )10f x；当0x时，0,()10xfx而( )()(0)1f x fxf所以1( )0()f xfx又当0x时，(0)10f所以对任意xR，恒有( )0f x设12xx，则21210,()1xxfxx所以21211211()()()()()f xf xxxf xf xxf x所以( )yf x在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）例 13：奇函数( )f x在定义域（ -1 ，1）内递减，求满足2(1)(1)0fmfm的实数m的取值范围。解：由2(1)(1)0fmfm得2(1)(1)fmfm，( )f x为函数，2(1)(1)fmf m又( )f x在（ -1 ，1）内递减，221111110111mmmmm八、对称性问题（1）设,a b均为常数，函数( )yf x对一切实数x都满足()()2f axf axb函数( )yf x的图象关于点( , )a b成中心对称图形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页（2） 设,a b均为常数， 函数( )yf x对一切实数x都满足()()0f axf bx函数( )yf x的图象关于点(,0)2ab成中心对称图形。（3）设,a b均为常数，函数( )yf x对一切实数x都满足()()f axf bx函数( )yf x的图象关于轴2abx对称。例 14：如果( )f x=2axbxc对任意的t有(2)2)ftft, 比较(1)(2)(4)fff、的大小解：对任意t有(2)2)ftftx=2 为抛物线y=2axbxc的对称轴又其开口向上f(2) 最小，f(1)=f(3) 在 2， ) 上，( )fx为增函数f(3)f(4), f(2)f(1)f(4) 九、周期问题命题 1：若 a 是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数 . 函数 y=f(x)满足 f(x+a)= f(x) ，则 f(x) 是周期函数，且2a 是它的一个周期. 函数 y=f(x)满足 f(x+a)=1( )f x，则 f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期. 函数 y=f(x)满足 f(x+a)+f(x)=1，则 f(x) 是周期函数，且2a 是它的一个周期. 命题 2： 若 a、 b(ab) 是非零常数， 对于函数y=f(x)定义域的一切x， 满足下列条件之一，则函数 y=f(x)是周期函数 . (1) 函数 y=f(x)满足 f(x+a)=f(x+b)，则 f(x) 是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2) 函数图象关于两条直线x=a，x=b 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0) 和点 N(b,0) 对称， 则函数 y=f(x)是周期函数， 且 2|a-b|是它的一个周期 . (4) 函数图象关于直线x=a，及点 M(b,0) 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期 . 命题 3：若 a 是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数 . 若 f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a 对称，则 f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期 . 若 f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a 对称，则 f(x)是周期函数，且4a 是它的一个周期 . 我们也可以把命题3 看成命题2 的特例 , 命题 3 中函数奇偶性、 对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件 A: 定义在 R上的函数f(x)是一个偶函数 . 条件 B: f(x)关于 x=a 对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页条件 C: f(x)是周期函数 , 且 2a 是其一个周期. 结论 : 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明 : 已知 A、B C （2001 年全国高考第22 题第二问）f(x)是 R上的偶函数f(-x)=f(x) 又 f(x)关于 x=a 对称 f(-x)=f(x+2a) f(x)=f(x+2a) f(x) 是周期函数 , 且 2a 是它的一个周期已知 A、CB 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数f(-x)=f(x) 又 2a 是 f(x) 一个周期 f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x+2a) f(x)关于 x=a 对称已知 C、BA f(x)关于 x=a 对称 f(-x)=f(x+2a) 又 2a 是 f(x) 一个周期 f(x)=f(x+2a) f(-x)=f(x) f(x) 是 R上的偶函数由命题 3(2) ，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则f(2T)=0 基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系. 根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用. 1. 求函数值例 1：f(x) 是 R上的奇函数f(x)= f(x+4) ，x0 ，2 时 f(x)=x，求 f(2007) 的值解：方法一f(x)= f(x+4) f(x+8) =f(x+4) =f(x) 8 是 f(x) 的一个周期f(2007)= f(2518-1)=f(-1)=f(1)= 1 方法二 f(x)= f(x+4) ， f(x) 是奇函数f(-x)=f(x+4) f(x) 关于 x=2 对称又 f(x) 是奇函数8 是 f(x) 的一个周期，以下与方法一相同. 例 2：已知 f(x) 是定义在R上的函数，且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2 ，求 f(2009) 的值解：由条件知f(x)1，故1( )(2)1( )f xfxf x1(2)1(4)1(2)( )fxf xfxfx类比命题1 可知，函数f(x)的周期为 8，故 f(2009)= f(251 8+1)=f(1)=2 2. 求函数解析式例 3：已知 f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当2,0x时， f(x)= 2x+1，则当4,6x时求 f(x) 的解析式解：当0,2x时 2,0xf( x)=2x+1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页f(x)是偶函数 f( x)=f(x) f(x)=2x+1 当4,6x时40,2xf( 4+x)=2( 4+x)+1=2x 7 又函数 f(x) 是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4 故 f(-4+x)=f(x) 当4,6x时求 f(x)=2x7 3. 判断函数的奇偶性例 4：已知 f(x) 是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=1( )fx，f(999+x)=f(999x) ， 试判断函数 f(x)的奇偶性 . 解：由 f(x+999)=1( )f x，类比命题1 可知，函数f(x)的周期为 1998 即 f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999x) 知 f(x) 关于 x=999 对称，即f( x)=f(1998+x) 故 f(x)=f(x) f(x) 是偶函数4. 判断函数的单调性例 5：已知 f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当2,0x时， f(x)是减函数，求证当4,6x时 f(x) 为增函数解：设1246xx则212440xx f(x)在 -2 ，0 上是减函数21(4)(4)fxfx又函数 f(x) 是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4 故 f(x+4)=f(x) 21()()fxfx f(-x)=f(x) 21()()f xf x故当4,6x时 f(x)为增函数十. 四类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例 15、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0 时，f（x）0，f（ 1） 2，求f（x）在区间 2，1 上的值域。分析：由题设可知，函数f（x）是)0(kkxy的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。解：设01221xxxx则，当0)0xfx（时，0)(12xxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页，即)(2xf)(1xf，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0） 2 f（0），f（0）0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（ 1） 2，又f（ 2） 2 f（ 1） 4，f（x）的值域为4，2。例 16、已知函数f（x）对任意,x yR，满足条件f（x）f（y） 2 + f（xy），且当x0时，f（x） 2，f（3） 5，求不等式2(22)3faa的解。分析：由题设条件可猜测：f（x）是yx2 的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设，当，则，即，f（x）为单调增函数。， 又f（3） 5，f（1） 3。， 即，解得不等式的解为 1 a 3 。2、指数函数型抽象函数例 17、设函数f（x）的定义域是 （，），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（ 0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0） 1 且f（x） 0。解：（ 1）令y0 代入，则，。若f（x） 0，则对任意，有，这与题设矛盾，f（x） 0，f（0） 1。（2）令yx0，则，又由（ 1）知f（x）0，f（ 2x）0，即f（x） 0，故对任意x，f（x） 0 恒成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页例 18、是否存在函数f（x），使下列三个条件：f（x） 0，xN；f（2） 4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。分析：由题设可猜想存在，又由f（2） 4 可得a2故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：（1）x 1 时，又xN时，f（x） 0，结论正确。（2）假设时有，则xk1 时，xk1 时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时。3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。例 19、设f（x）是定义在（ 0，）上的单调增函数，满足，求：（1）f（ 1）；（2）若f（x）f（x8） 2，求x的取值范围。分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1） 0，f（ 9） 2。解：（ 1），f（1） 0。（2），从而有f（x）f（x8）f（9），即，f（x）是（ 0，）上的增函数，故，解之得： 8x9。例 20、设函数yf（x）的反函数是yg（x）。如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由。分析 : 由题设条件可猜测yf（x）是对数函数的抽象函数，又yf（x）的反函数是yg（x），yg（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（ab）g（a）g（b）正确。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页解：设f（a）m，f（b）n，由于g（x）是f（x）的反函数，g（m）a，g（n）b，从而，g（m）g（n）g（mn），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）g（b）。4、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。例 21、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f（ 1） 1，f（27）9，当时，。（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在 0，）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在0，）上是增函数。解：（ 1）令y 1，则f（x）f（x）f（ 1），f（ 1） 1，f（x）f（x），f（x）为偶函数。（2）设，时，f（x1）f（x2），故f（x）在 0，）上是增函数。（3）f（27） 9，又，又，故。巩固练习练习一1给出四个函数，分别满足()( )( )f xyf xf y；()( ) ( )g xyg x g y；()( )( )h xyh xh y；()( ) ( )t xyt x t y，又给出四个函数图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页正确的匹配方案是（）（A） 丁 乙 丙 甲（ B） 乙 丙 甲 丁（C） 丙 甲 乙 丁（D） 丁 甲 乙 丙2定义在R 上的函数f(x)满足 f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，yR)，当 x0 ，则函数 f (x) 在a,b上 ( ) A 有最小值f (a) B 有最大值f (b) C 有最小值 f (b) D 有最大值f (2ba) 3 设函数fx的定义域为，且对,x yR恒有,fxyfxfy若83,2ff则（）1212144若偶函数)(xf在1,上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A)2()1()23(fffB)2()23()1(fffC)23()1()2(fffD)1()23()2(fff5定义在R 上的函数满足：对任意实数,m n，总有，且当0x时，01fx （1）试举出一个满足条件的函数fx； （ 2）试求0f的值；（3）判断的单调性并证明你的结论；（4）若,21)1 (f解不等式.81)12( xf1-4 D C C D 5 （ 1 ） 如12xfx，（ 2 ） 在中 ， 令 得 ： 因为10f， 所以，01f（3） 要判断的单调性，可任取12,x xR，且设12xx 在已知条件中， 若取， 则已知条件可化为：由于210xx，所以2110fxx为比较21fxfx、的大小，只需考虑1fx的正负即可在fmnf mfn中，令mx，nx，则得1fxfx0x时，01fx，当0x时，110fxfx又01f，所以，综上，可知，对于任意1xR，均有10fx2112110fxfxfxfxx 函数在 R 上单调递减，（4）若,21) 1(f则81)3(f，则不等式)3()12(81)12(fxfxf，由函数在 R 上单调递减，则312x，则不等式的解集为2|xx。fxf mnfmfnfxfmnf mfn1,0mn110ffffxf mnfmf n21,mnxmx2121fxfxfxxfxfx丁精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页练习二1.若奇函数( ) ()f xxR，满足(2)1,(2)( )(2)ffxf xf，则(1)f等于（）A0 B1 C12D122.设对任意实数1x、2x，函数)(xfy)0,(xRx满足)()()(211xxfxfxf。（1）求证：0)1()1 (ff； （2）求证：)(xfy为偶函数。3.已知函数)(xf是定义在),0(上的增函数，且满足对于任意的正实数x、y，都有)()()(yfxfyxf，且.1)2(f（1）求)8(f的值； （2）解不等式.3)2()(xfxf4.已知函数)(xf对于任意的正实数x、y，都有)()()(yfxfyxf，若0)2(f，则下列结论中不正确的是（）A0)1 (fB)4()3(ffC0)21()2(ffD0)51()4(ff5.设定义在R上的函数( )f x对于任意,x y都有()( )( )fxyf xfy成立，且(1)2f，当0x时，( )0f x。（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；（ 2）试问：当 -3x3 时，)(xf是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。6.若函数 f(x) 为奇函数， 且在（0， +）内是增函数， 又 f(2)=0 ，则0)()(xxfxf的解集为 （）A （-2，0）（0，2）B （-，-2）（0， 2）C （-， -2）（2，+）D （-2， 0）（2， +）7. 设对满足0,1xx的所有实数x，函数( )f x满足1( )+ ()1xfxfxx，求( )f x的解析式。8. 已知函数( )(,0)f xxR x对任意不等于零的实数12,x x都有1212(.)()()fx xf xf x，试判断函数( )f x的奇偶性。9.（09 年东城区示范校质检一）（本小题满分14 分）设函数( )yf x的定义域为全体R，当0x时，( )1f x，且对任意的实数, x yR，有()( )( )fxyf x fy成立，数列na满足1(0)af，且11()()()21nnnf anNafa（）求证：( )yf x是R上的减函数；（）求数列na的通项公式；10.（ 09 届华南师大附中综合测试题）设函数( )f x满足(0)1f，且对任意,x yR，都有(1)( ).( )( )2f xyfxf yfyx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页（）求( )f x的解析式；（）若数列na满足：13 ()1,nnaf anN且11a, 求数列na的通项；1.解析： 对于)2()()2(fxfxf，令1x，得)2()1() 1(fff即1)1 ()1(ff，从而1)1(2 f，所以21)1(f，选 D。2.解析：（1）令121xx，得)1 ()11()1()1(ffff，所以0)1 (f。令121xx，得0)1 ()1()1(fff，所以0) 1(f。（2）令xxx21，得)()(22xfxf，令xxx21，得)()(22xfxf，从而我们有：)()(xfxf，所以，)(xfy为偶函数。3. 解析： （ 1）3)8(2)4(1)2(fff（2）)2(8)()8()2()(3)2()(xfxffxfxfxfxf由函数)(xf是定义在),0(上的增函数，则)2(8 xx即716x，依题设，有020xx，2x，从而不等式的解集为)716,2(。4. 解析：满足)()()(yfxfyxf对一切正实数x、y都成立的函数模型是对数函数xyalog。由0)2(f，可知10a，从而可知)(xfy是减函数，所以)4()3(ff，应选 B。5. 解析： 令 x=y=0 ，可得 f(0)=0 令 y=-x ，则 f(0)=f( x)+f(x) ， f(x)= f(x) ， f(x) 为奇函数设 3x1x23，y= x1， x=x2则 f(x2x1)=f(x2)+f( x1)=f(x2)f(x1)，因为 x0 时， f(x) 0，故 f(x2x1)0，即 f(x2)f(x1)0。f(x2)f(x1)、f(x) 在区间 3，3上单调递减x=3 时， f(x)有最大值f(3)=f(3)= f(2+1)= f(2)+f(1)= f(1)+f(1)+f(1)=6。x=3 时， f(x) 有最小值为f(3)= 6。6. 解析： 因为 f(x) 是定义域上的奇函数，所以f(x)的图像关于原点对称。根据题设条件可以作出函数 f(x)在 R上的大致图象，由0)()(xxfxf0)(xxf得： x 与 f(x)异号。由图像可得解集为（ -2， 0）（0， 2），选择（ A）。7. 解析： 在1( )+ ()1xf xfxx（1）中以1xx代换其中x，得：再在 (1) 中以11x代换 x，得1 -2 +3（）（ ）（ ）化简得：321( )=2 (1)xxf xx x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页评析：如果把x 和1xx分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。8. 解析： 取121,1xx得：( 1)( 1)(1)fff，所以(1)0f又取121xx得：(1)( 1)( 1)fff，所以( 1)0f再取12,1xx x则()( 1)( )fxffx，即()( )fxf x因为( )f x为非零函数，所以( )f x为偶函数。9. 解析： （）令1,0xy，得( 1)( 1) (0)fff，由题意知( 1)0f，所以(0)1f，故1(0)1af当0x时，0x，(0)().( )1ffx f x，进而得0( )1fx设12,x xR且12xx，则21210,0()1xxf xx，即21()()f xf x，( )yf x是R上的减函数；（）由11()()21nnnf aafa得1()()121nnnaf afa，所以1()(0)21nnnaf afa因为( )yf x是R上的减函数，所以1021nnnaaa，即121nnnaaa， 进而1112nnaa，所以1na是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页所以11(1)221nnna，所以121nan10. 解析： （）因(0)1f. 若令0xy得(1)(0)(0)(0)022ffff再令0y得(1)( )(0)(0)2ff x ffx( )1,f xxxR（）( )1f xx，13 ()13(1)132nnnnaf aaa, 113(1)nnaa又112a数列1na是首项为 2, 公比为 3 的等比数列 , ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页