1 小升初数学典型应用题应用题类型：1、归一问题2、归总问题3、和差问题4、和倍问题5、差倍问题6、倍比问题7、相遇问题8、追及问题9、植树问题10、年龄问题11、行船问题12、列车问题13、时钟问题14、盈亏问题15、工程问题16、正反比例问题17、按比例分配18、百分数问题19、“牛吃草”问题20、鸡兔同笼问题21、方阵问题22、商品利润问题23、存款利率问题24、溶液浓度问题25、构图布数问题26、幻方问题27、抽屉原则问题28、公约公倍问题29、最值问题30、列方程问题1 归一问题【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】总量份数1 份数量1 份数量所占份数所求几份的数量另一总量（总量份数）所求份数【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔16 支，需要多少钱？解（1）买 1 支铅笔多少钱？0.6 50.12（元）（2）买 16 支铅笔需要多少钱？ 0.12 161.92 （元）列成综合算式0.6 5 160.12 161.92（元）答：需要 1.92 元。例 2 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷，照这样计算， 5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？解（1）1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？903310（公顷）（2）5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？1056300 （公顷）列成综合算式903 3 5 610 30300 （公顷）答：5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。例 3 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的7 辆汽车运送 105 吨钢材，需要运几次？解 （1）1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？100 5 45（吨）（2）7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？5 735（吨）（3）105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次？105 353（次）列成综合算式105 （100 5 4 7）3（次）答：需要运 3 次。2 归总问题【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】1 份数量份数总量总量1 份数量份数总量另一份数另一每份数量【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。例 1 服装厂原来做一套衣服用布3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8 米。原来做 791 套衣服的布，现在可以做多少套？解 （1）这批布总共有多少米？3.27912531.2 （米）（2）现在可以做多少套？2531.2 2.8904 （套）列成综合算式3.2 791 2.8904 （套）答：现在可以做 904 套。例 2 小华每天读 24 页书，12 天读完了红岩一书。小明每天读 36 页书，几天可以读完 红岩？解 （1）红岩这本书总共多少页？24 12288 （页）（2）小明几天可以读完红岩？288 368（天）列成综合算式2412 368（天）答：小明 8 天可以读完红岩。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页2 例 3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50 千克， 30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10 千克，这批蔬菜可以吃多少天？解 （1）这批蔬菜共有多少千克？50 301500 （千克）（2）这批蔬菜可以吃多少天？1500 （5010）25（天）列成综合算式5030（5010）1500 6025（天）答：这批蔬菜可以吃25 天。3 和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】大数（和差）2 小数（和差）2【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例 1 甲乙两班共有学生98 人，甲班比乙班多6 人，求两班各有多少人？解 甲班人数（ 986）252（人）乙班人数（ 986）246（人）答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。例 2 长方形的长和宽之和为18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积。解 长（ 182）210（厘米）宽（ 182）28（厘米）长方形的面积10880（平方厘米）答：长方形的面积为80 平方厘米。例 3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32 千克，乙丙两袋共重30 千克，甲丙两袋共重22 千克，求三袋化肥各重多少千克。解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（3230）2 千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知甲袋化肥重量（ 222）212（千克）丙袋化肥重量（ 222）210（千克）乙袋化肥重量 321220 （千克）答：甲袋化肥重12 千克，乙袋化肥重20 千克，丙袋化肥重10 千克。例 4 甲乙两车原来共装苹果97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3 筐，两车原来各装苹果多少筐？解 “从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3 筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（ 1423），甲与乙的和是97，因此甲车筐数（ 971423）264（筐）乙车筐数 976433（筐）答：甲车原来装苹果64 筐，乙车原来装苹果33 筐。4 和倍问题【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几） ， 要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】总和 （几倍1）较小的数总和 较小的数 较大的数较小的数几倍 较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 果园里有杏树和桃树共248 棵，桃树的棵数是杏树的3 倍，求杏树、桃树各多少棵？解 （1）杏树有多少棵？248 （31）62（棵）（2）桃树有多少棵？62 3186 （棵）答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。例 2 东西两个仓库共存粮480 吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4 倍，求两库各存粮多少吨？解 （1）西库存粮数 480 （1.41）200（吨）（2）东库存粮数 480 200280 （吨）答：东库存粮 280 吨，西库存粮 200 吨。例 3 甲站原有车 52 辆，乙站原有车32 辆，若每天从甲站开往乙站28 辆，从乙站开往甲站24 辆，几天后乙站车辆数是甲站的2 倍？解 每天从甲站开往乙站28 辆，从乙站开往甲站24 辆，相当于每天从甲站开往乙站（2824）辆。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页3 把几天以后甲站的车辆数当作1 倍量，这时乙站的车辆数就是2 倍量，两站的车辆总数（ 5232 ）就相当于（21）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为（5232）（21）28（辆）所求天数为（5228）（2824）6（天）答：6 天以后乙站车辆数是甲站的2 倍。例 4 甲乙丙三数之和是170 ，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三数各是多少？解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1 倍量。因为乙比甲的 2 倍少 4，所以给乙加上 4，乙数就变成甲数的2 倍；又因为丙比甲的3 倍多 6，所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍；这时（ 170 46）就相当于（ 123）倍。那么，甲数（ 170 46）（123）28乙数 282452丙数 283690答：甲数是 28，乙数是 52，丙数是 90。5 差倍问题【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几） ， 要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】两个数的差（几倍 1）较小的数较小的数几倍较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 果园里桃树的棵数是杏树的3 倍，而且桃树比杏树多124 棵。求杏树、桃树各多少棵？解 （1）杏树有多少棵？124 （31）62（棵）（2）桃树有多少棵？62 3186 （棵）答：果园里杏树是62 棵，桃树是 186 棵。例 2 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4 倍，求父子二人今年各是多少岁？解 （1）儿子年龄 27（41）9（岁）（2）爸爸年龄 9 436（岁）答：父子二人今年的年龄分别是36 岁和 9 岁。例 3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2 倍还多 12 万元，又知本月盈利比上月盈利多 30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？解 如果把上月盈利作为1 倍量，则（ 3012）万元就相当于上月盈利的（21）倍，因此上月盈利（ 3012）（21）18（万元）本月盈利 183048（万元）答：上月盈利是18 万元，本月盈利是48 万元。例 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9 吨，问几天后剩下的玉米是小麦的 3 倍？解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138 94）。把几天后剩下的小麦看作1 倍量，则几天后剩下的玉米就是3 倍量，那么，（138 94）就相当于（ 31）倍，因此剩下的小麦数量（ 138 94）（31）22（吨）运出的小麦数量 942272 （吨）运粮的天数 7298（天）答：8 天以后剩下的玉米是小麦的3 倍。6 倍比问题【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】总量一个数量倍数另一个数量倍数另一总量【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。例 1 100 千克油菜籽可以榨油40 千克，现在有油菜籽3700 千克，可以榨油多少？解 （1）3700 千克是 100 千克的多少倍？3700 10037 （倍）（2）可以榨油多少千克？40 371480 （千克）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页4 列成综合算式40（3700 100 ）1480 （千克）答：可以榨油 1480 千克。例 2 今年植树节这天，某小学300 名师生共植树 400 棵，照这样计算，全县48000 名师生共植树多少棵？解 （1）48000 名是 300 名的多少倍？48000 300 160 （倍）（2）共植树多少棵？400 160 64000 （棵）列成综合算式400 （48000 300 ）64000 （棵）答：全县 48000 名师生共植树 64000 棵。例 3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4 亩果园收入 11111 元，照这样计算，全乡800 亩果园共收入多少元？全县16000 亩果园共收入多少元？解 （1）800 亩是 4 亩的几倍？800 4200 （倍）（2）800 亩收入多少元？11111 200 2222200 （元）（3）16000 亩是 800 亩的几倍？16000 800 20（倍）（4）16000 亩收入多少元？2222200 2044444000 （元）答：全乡 800 亩果园共收入 2222200 元，全县 16000 亩果园共收入 44444000元。7 相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】相遇时间总路程（甲速乙速）总路程（甲速乙速）相遇时间【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例 1 南京到上海的水路长392 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行 28 千米，从上海开出的船每小时行21 千米，经过几小时两船相遇？解 392 （2821）8（小时）答：经过 8 小时两船相遇。例 2 小李和小刘在周长为400 米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5 米，小刘每秒钟跑3 米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为 400 2相遇时间（ 400 2）（53）100 （秒）答：二人从出发到第二次相遇需100 秒时间。例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15 千米，乙每小时行13 千米，两人在距中点 3 千米处相遇，求两地的距离。解 “两人在距中点3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点 3 千米，乙距中点 3 千米，就是说甲比乙多走的路程是（3 2）千米，因此，相遇时间（ 3 2）（1513）3（小时）两地距离（ 1513）384（千米）答：两地距离是84 千米。8 追及问题【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】追及时间追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及时间【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 好马每天走 120 千米，劣马每天走75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马？解 （1）劣马先走 12 天能走多少千米？75 12900 （千米）（2）好马几天追上劣马？900 （120 75 ）20（天）列成综合算式7512（120 75）900 4520（天）答：好马 20 天能追上劣马。例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40 秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500 米，求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200 米，此时小亮跑了（ 500 200 ）米，要知小亮的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页5 速度，须知追及时间，即小明跑 500 米所用的时间。又知小明跑 200 米用 40 秒， 则跑 500 米用 40 （500 200 ）秒，所以小亮的速度是（500 200 ）40（500 200 ） 300 100 3（米）答：小亮的速度是每秒3 米。例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16 点开始从甲地以每小时10 千米的速度逃跑，解放军在晚上 22 点接到命令，以每小时30 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人？解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（2216）小时，这段时间敌人逃跑的路程是 10 （2216）千米，甲乙两地相距60 千米。由此推知追及时间 10（2216）60（3010）120206（小时）答：解放军在 6 小时后可以追上敌人。例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48 千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40 千米，两车在距两站中点16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（162）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为162（48 40）4（小时）所以两站间的距离为（4840）4352 （千米）列成综合算式（4840）16 2（4840） 88 4352 （千米）答：甲乙两站的距离是352 千米。例 5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90 米，妹妹每分钟走60 米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180 米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（ 180 2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（9060）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为180 2（9060）12（分钟）家离学校的距离为90 12180900 （米）答：家离学校有900 米远。例 6 孙亮打算上课前5 分钟到学校，他以每小时4 千米的速度从家步行去学校，当他走了1 千米时，发现手表慢了 10 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9 分钟到学校。求孙亮跑步的速度。解 手表慢了 10 分钟，就等于晚出发10 分钟，如果按原速走下去，就要迟到（105）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（105）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少 9 分钟，由此可知，行1 千米，跑步比步行少用 9（105）分钟。所以 步行 1 千米所用时间为19（105） 0.25 （小时） 15（分钟）跑步 1 千米所用时间为159（105） 11（分钟）跑步速度为每小时1 11605.5（千米）答：孙亮跑步速度为每小时5.5 千米。9 植树问题【含义】 按相等的距离植树， 在距离、棵距、棵数这三个量之间， 已知其中的两个量， 要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。【数量关系】线形植树棵数距离棵距 1环形植树棵数距离棵距方形植树棵数距离棵距 4三角形植树棵数距离棵距 3面积植树棵数面积（棵距行距）【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。例 1 一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解 136 2168169（棵）答：一共要栽 69 棵垂柳。例 2 一个圆形池塘周长为400 米，在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？解 400 4100（棵）答：一共能栽 100 棵白杨树。例 3 一个正方形的运动场， 每边长 220 米，每隔 8 米安装一个照明灯， 一共可以安装多少个照明灯？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页6 解 220 4 84110 4106（个）答：一共可以安装106 个照明灯。例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖， 所用地板砖的长和宽分别是60 厘米和 40 厘米，问至少需要多少块地板砖？解 96（0.6 0.4）96 0.24400 （块）答：至少需要 400 块地板砖。例 5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50 米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？解 （1）桥的一边有多少个电杆？500 50111（个）（2）桥的两边有多少个电杆？11 222（个）（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22 244（盏）答：大桥两边一共可以安装44 盏路灯。10 年龄问题【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。两个数的差（几倍 1）较小的数例 1 爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？解 3557（倍）（35+1 ）（5+1 ）6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6 倍。例 2 母亲今年 37 岁，女儿今年 7 岁，几年后母亲的年龄是女儿的4 倍？解 （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？37730 （岁）（2）几年后母亲的年龄是女儿的4 倍？30（41）73（年）列成综合算式（377）（41）73（年）答：3 年后母亲的年龄是女儿的4 倍。例 3 3 年前父子的年龄和是49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4 倍，父子今年各多少岁？解 今年父子的年龄和应该比3 年前增加（ 3 2）岁，今年二人的年龄和为493 255（岁）把今年儿子年龄作为1 倍量，则今年父子年龄和相当于（41）倍，因此，今年儿子年龄为55（41）11（岁）今年父亲年龄为11444（岁）答：今年父亲年龄是44 岁，儿子年龄是11 岁。例 4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4 岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61 岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？（可用方程解）解这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：过去某一年今 年将来某一年甲岁岁61 岁乙4 岁岁岁表中两个“”表示同一个数，两个“”表示同一个数。因为两个人的年龄差总相等： 4 61，也就是 4， 61 成等差数列，所以， 61 应该比 4 大 3 个年龄差，因此二人年龄差为（614）319（岁）甲今年的岁数为 611942（岁）乙今年的岁数为 421923（岁）答：甲今年的岁数是42 岁，乙今年的岁数是23 岁。11 行船问题【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页7 船只逆水航行的速度是船速与水速之差。【数量关系】（顺水速度逆水速度） 2船速（顺水速度逆水速度） 2水速顺水速船速 2逆水速逆水速水速 2逆水速船速 2顺水速顺水速水速 2【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流速度为每小时15 千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？解 由条件知，顺水速船速水速320 8，而水速为每小时15 千米，所以，船速为每小时320 81525（千米）船的逆水速为251510 （千米）船逆水行这段路程的时间为320 1032（小时）答：这只船逆水行这段路程需用32 小时。例 2 甲船逆水行 360 千米需 18 小时，返回原地需10 小时；乙船逆水行同样一段距离需15 小时，返回原地需多少时间？解由题意得甲船速水速 360 1036甲船速水速 360 1820可见 （3620）相当于水速的2 倍，所以， 水速为每小时（3620 ）28（千米）又因为，乙船速水速 360 15，所以， 乙船速为360 15832（千米）乙船顺水速为32840（千米）所以， 乙船顺水航行 360 千米需要360 409（小时）答：乙船返回原地需要9 小时。例 3 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576 千米，风速为每小时24 千米，飞机逆风飞行 3 小时到达，顺风飞回需要几小时？解 这道题可以按照流水问题来解答。（1）两城相距多少千米？（576 24）31656 （千米）（2）顺风飞回需要多少小时？1656 （576 24）2.76 （小时）列成综合算式（576 24）3（576 24）2.76 （小时）答：飞机顺风飞回需要2.76 小时。12 列车问题【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速火车追及：追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 一座大桥长 2400 米，一列火车以每分钟900 米的速度通过大桥， 从车头开上桥到车尾离开桥共需要 3 分钟。这列火车长多少米？解 火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。（1）火车 3 分钟行多少米？900 32700 （米）（2）这列火车长多少米？2700 2400 300 （米）列成综合算式900 32400 300 （米）答：这列火车长300 米。例 2 一列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大桥，用了2 分 5 秒钟时间，求大桥的长度是多少米？解 火车过桥所用的时间是2 分 5 秒125 秒，所走的路程是（ 8 125 ）米，这段路程就是（ 200 米桥长），所以，桥长为8 125 200800 （米）答：大桥的长度是800 米。例 3 一列长 225 米的慢车以每秒 17 米的速度行驶， 一列长 140 米的快车以每秒22 米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225 140 ）米，而快车比慢车每秒多行（ 2217）米，因此，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页8 所求的时间为（225 140 ）（2217）73（秒）答：需要 73 秒。例 4 一列长 150 米的列车以每秒 22 米的速度行驶， 有一个扳道工人以每秒3 米的速度迎面走来， 那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。150 （223）6（秒）答：火车从工人身旁驶过需要6 秒钟。例 5 一列火车穿越一条长2000 米的隧道用了 88 秒，以同样的速度通过一条长1250 米的大桥用了58 秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？解 车速和车长都没有变， 但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。 可知火车在（8858）秒的时间内行驶了（ 2000 1250 ）米的路程，因此，火车的车速为每秒（2000 1250 ）（8858）25（米）进而可知，车长和桥长的和为（2558）米，因此，车长为25581250 200 （米）答：这列火车的车速是每秒25 米，车身长 200 米。13 时钟问题【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。【数量关系】分针的速度是时针的12 倍，二者的速度差为 11/12 。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。例 1 从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？解 钟面的一周分为60 格，分针每分钟走一格，每小时走60 格；时针每小时走 5 格，每分钟走 5/601/12 格。每分钟分针比时针多走（11/12 ）11/12 格。4 点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以分针追上时针的时间为20（11/12 ） 22（分）答：再经过 22 分钟时针正好与分针重合。例 2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？解 钟面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而两针成直角的时候相差15 格（包括分针在时针的前或后 15 格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5 4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5 415）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5415）格。再根据 1 分钟分针比时针多走（ 11/12 ）格就可以求出二针成直角的时间。（5 415）（11/12 ） 6（分）（5 415）（11/12 ） 38 （分）答：4 点 06 分及 4 点 38 分时两针成直角。例 3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？解 六点整的时候，分针在时针后（5 6）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。（5 6）（11/12 ） 33（分）答：6 点 33 分的时候分针与时针重合。14 盈亏问题【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数（大盈小盈）分配差参加分配总人数（大亏小亏）分配差【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3 个就余 11 个；若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋友？有多少个苹果？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页9 解 按照“参加分配的总人数（盈亏）分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？（111）（43）12（人）（2）有多少个苹果？3121147（个）答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。例 2 修一条公路，如果每天修260 米，修完全长就得延长8 天；如果每天修 300 米，修完全长仍得延长 4 天。这条路全长多少米？解 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数（大亏小亏）分配差”的数量关系，可以得知原定完成任务的天数为（260 83004）（300260 ）22（天）这条路全长为300 （224）7800 （米）答：这条路全长7800 米。例 3 学校组织春游，如果每辆车坐40 人，就余下 30 人；如果每辆车坐 45 人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有（1）有多少车？（300）（4540）6（辆）（2）有多少人？40 630270 （人）答：有 6 辆车，有 270 人。15 工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“ 1”表示工作总量。【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数 （它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量工作效率工作时间工作时间工作量工作效率工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率）【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。例 1 一项工程，甲队单独做需要10 天完成，乙队单独做需要15 天完成，现在两队合作，需要几天完成？解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需 10 天完成，那么每天完成这项工程的1/10 ；乙队单独做需 15 天完成，每天完成这项工程的 1/15 ；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10 1/15 ）。由此可以列出算式：1（1/10 1/15 ）11/6 6（天）答：两队合做需要6 天完成。例 2 一批零件，甲独做6 小时完成，乙独做8 小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？解 设总工作量为 1，则甲每小时完成1/6 ，乙每小时完成 1/8 ，甲比乙每小时多完成（ 1/6 1/8 ），二人合做时每小时完成（ 1/6 1/8 ）。因为二人合做需要 1（1/6 1/8 ）小时，这个时间内，甲比乙多做 24 个零件，所以（1）每小时甲比乙多做多少零件？241（1/6 1/8 ）7（个）（2）这批零件共有多少个？7（1/6 1/8 ）168 （个）答：这批零件共有168 个。解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6 1/8 43由此可知，甲比乙多完成总工作量的43 / 4 3 1/7所以，这批零件共有241/7 168（个）例 3 一件工作，甲独做 12 小时完成，乙独做 10 小时完成，丙独做 15 小时完成。现在甲先做 2 小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页10 设总工作量为 12、10、和 15 的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是60125 60 106 60 154 因此余下的工作量由乙丙合做还需要（605 2）（64）5（小时）答：还需要 5 小时才能完成。也可以用（ 1-1/12*2 ）/（1/10+1/15）例 4 一个水池， 底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4 个进水管时，需要 5 小时才能注满水池；当打开2 个进水管时，需要15 小时才能注满水池；现在要用2 小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。要 2 小时内将水池注满， 即要使 2 小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则 4 个进水管 5 小时注水量为（ 1 4 5），2 个进水管15 小时注水量为（ 12 15 ），从而可知每小时的排水量为（1 2 151 4 5）（155）1即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知一池水的总工作量为1 4 51 515 又因为在 2 小时内，每个进水管的注水量为12，所以， 2 小时内注满一池水至少需要多少个进水管？（151 2）（1 2）8.5 9（个）答：至少需要 9 个进水管。16 正反比例问题【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例 1 修一条公路，已修的是未修的1/3 ，再修 300 米后，已修的变成未修的1/2 ，求这条公路总长是多少米？解 由条件知，公路总长不变。原已修长度总长度 1（13）14312现已修长度总长度 1（12）13412比较以上两式可知，把总长度当作12 份，则 300 米相当于（ 43）份，从而知公路总长为300 （43）123600 （米）答： 这条公路总长 3600 米。例 2 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算， 91 分钟可以做几道应用题？解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设 91 分钟可以做 X 应用题 则有 28491X28X 91 4 X91 4 28 X 13答：91 分钟可以做 13 道应用题。例 3 孙亮看十万个为什么这本书，每天看24 页，15 天看完，如果每天看36 页，几天就可以看完？解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系设 X 天可以看完，就有2436X15 36X 24 15 X 10答：10 天就可以看完。例 4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页11 A 252036B16解 由面积宽长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此，A3620 16 25 B20 16 解这两个比例，得A45 B20所以，大矩形面积为4536 25202016162答：大矩形的面积是162.17 按比例分配问题【含义】 所谓按比例分配， 就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数比的前后项之和【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。例 1 学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47 人，二班有 48 人，三班有 45 人，三个班各植树多少棵？解 总份数为474845140一班植树560 47/140 188 （棵）二班植树560 48/140 192 （棵）三班植树560 45/140 180 （棵） 答：一、二、三班分别植树188 棵、192 棵、180 棵。例 2 用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形， 三角形三条边的比是345。 三条边的长各是多少厘米？解 34512 60 3/12 15（厘米）604/12 20（厘米）605/12 25（厘米）答：三角形三条边的长分别是15 厘米、 20 厘米、 25 厘米。例 3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2 ，二儿子分总数的 1/3 ，三儿子分总数的1/9 ，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解， 则很容易得到1/2 1/3 1/9 96296217 17 9/17 9 176/17 6 17 2/17 2答：大儿子分得9 只羊，二儿子分得6 只羊，三儿子分得2 只羊。例 4 某工厂第一、二、三车间人数之比为81221，第一车间比第二车间少80 人，三个车间共多少人？人 数80 人一共多少人？对应的份数12881221解 80（128）（81221 ）820 （人）答：三个车间一共820 人。18 百分数问题【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。 分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数比较量标准量标准量比较量百分数【解题思路和方法】一般有三种基本类型：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页12 （1） 求一个数是另一个数的百分之几；（2） 已知一个数，求它的百分之几是多少；（3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例 1 仓库里有一批化肥， 用去 720 千克，剩下 6480 千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？解 （1）用去的占720 （720 6480 ）10%（2）剩下的占6480 （720 6480 ）90%答：用去了 10% ，剩下 90% 。例 2 红旗化工厂有男职工420 人，女职工 525 人，男职工人数比女职工少百分之几？解 本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以 （525 420 ）525 0.220% 或者 14205250.220%答：男职工人数比女职工少20% 。例 3 红旗化工厂有男职工420 人，女职工 525 人，女职工比男职工人数多百分之几？解 本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此（525 420 ）420 0.25 25% 或者 525 420 10.25 25%答：女职工人数比男职工多25% 。例 4 红旗化工厂有男职工420 人，有女职工 525 人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？解 （1）男职工占420 （420 525 ）0.444 44.4%（2）女职工占525 （420 525）0.556 55.6%答：男职工占全厂职工总数的44.4% ，女职工占 55.6% 。例 5 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：增长率增长数原来基数 100%合格率合格产品数产品总数 100%出勤率实际出勤人数应出勤人数 100%出勤率实际出勤天数应出勤天数 100%缺席率缺席人数实有总人数 100%发芽率发芽种子数试验种子总数 100%成活率成活棵数种植总棵数 100%出粉率面粉重量小麦重量 100%出油率油的重量油料重量 100%废品率废品数量全部产品数量 100%命中率命中次数总次数 100%烘干率烘干后重量烘前重量 100%及格率及格人数参加考试人数 100%19 “牛吃草”问题【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】草总量原有草量草每天生长量天数【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。例 1 一块草地， 10 头牛 20 天可以把草吃完， 15 头牛 10 天可以把草吃完。问多少头牛5 天可以把草吃完？解 草是均匀生长的，所以，草总量原有草量草每天生长量天数。求“多少头牛5 天可以把草吃完”，就是说 5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量因为，一方面 20 天内的草总量就是10 头牛 20 天所吃的草，即（ 1 1020）；另一方面， 20 天内的草总量又等于原有草量加上20 天内的生长量，所以1 1020原有草量 20 天内生长量同理 1 1510原有草量 10 天内生长量由此可知（2010）天内草的生长量为1 1020115 1050因此，草每天的生长量为50（2010）5（2）求原有草量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页13 原有草量 10 天内总草量 10 内生长量 1 15105 10100（3）求 5 天内草总量5 天内草总量原有草量 5 天内生长量 1005 5125（4）求多少头牛 5 天吃完草因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛 5 天吃草量为 5。因此 5 天吃完草需要牛的头数125 525 （头）答：需要 5 头牛 5 天可以把草吃完。例 2 一只船有一个漏洞， 水以均匀速度进入船内， 发现漏洞时已经进了一些水。 如果有 12 个人淘水，3 小时可以淘完；如果只有5 人淘水，要 10 小时才能淘完。求17 人几小时可以淘完？解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量因为， 3 小时内的总水量 1 123原有水量 3 小时进水量10 小时内的总水量 15 10 原有水量 10 小时进水量所以，（ 103）小时内的进水量为1510112 314因此，每小时的进水量为14（103）2（2）求淘水前原有水量原有水量 1 1233 小时进水量 362 330（3）求 17 人几小时淘完17 人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17 2），所以 17 人淘完水的时间是30（172）2（小时）答：17 人 2 小时可以淘完水。20 鸡兔同笼问题【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（实际脚数 2鸡兔总数）（42）假设全都是兔，则有鸡数（ 4鸡兔总数实际脚数）（ 42）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（ 2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（ 42）假设全都是兔，则有鸡数（ 4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（ 42）【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。例 1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解 假设 35 只全为兔，则鸡数（ 4 3594）（42）23（只）兔数 352312（只）也可以先假设 35 只全为鸡，则兔数（ 942 35）（42）12（只）鸡数 351223（只）答：有鸡 23 只，有兔 12 只。例 2 2 亩菠菜要施肥 1 千克， 5 亩白菜要施肥 3 千克，两种菜共 16 亩，施肥 9 千克，求白菜有多少亩？解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（ 1 2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（ 3 5）千克”与“每只兔有 4 只脚”相对应， “16 亩”与“鸡兔总数”相对应，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页14 “9 千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16 亩全都是菠菜，则有白菜亩数（ 912 16）（3 51 2）10（亩）答：白菜地有 10 亩。例 3 李老师用 69 元给学校买作业本和日记本共45 本，作业本每本3 .20 元，日记本每本0.70 元。问作业本和日记本各买了多少本？解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45 本全都是日记本，则有作业本数（ 690.70 45 ）（3.200.70）15（本）日记本数 451530（本）答：作业本有 15 本，日记本有 30 本。例 4 （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100 只，鸡的脚比兔的脚多80 只，问鸡与兔各多少只？解 假设 100 只全都是鸡，则有兔数（ 2 100 80）（42）20 （只）鸡数 100 2080（只）答：有鸡 80 只，有兔 20 只。例 5 有 100 个馍 100 个和尚吃，大和尚一人吃 3 个馍，小和尚 3 人吃 1 个馍，问大小和尚各多少人？解 假设全为大和尚，则共吃馍（3 100 ）个，比实际多吃（ 3 100 100 ）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100 不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（ 31/3 ）个。因此，共有小和尚（3 100 100）（31/3 ）75（人）共有大和尚100 7525（人）答：共有大和尚25 人，有小和尚 75 人。21 方阵问题【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数（每边人数1）4每边人数四周人数 41（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数每边人数每边人数空心方阵：总人数（外边人数）（内边人数）内边人数外边人数层数 2 （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数（每边人数层数）层数 4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。例 1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22 人，参加体操表演的同学一共有多少人？解 2222484（人）答：参加体操表演的同学一共有484 人。例 2 有一个 3 层中空方阵，最外边一层有10 人，求全方阵的人数。解 10*10 （103 2）*（103 2）84（人）答：全方阵 84 人。例 3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52 人，最内层人数是28 人，这队学生共多少人？解 （1）中空方阵外层每边人数52 4114（人）（2）中空方阵内层每边人数28 416（人）（3）中空方阵的总人数 14 146 6160 （人）答：这队学生共160 人。例 4 一堆棋子，排列成正方形，多余4 棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9 只棋子，问有棋子多少个？解 （1）纵横方向各增加一层所需棋子数4913（只）（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数（131）27（只）（3）原有棋子数 77940（只）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页15 答：棋子有 40 只。例 5 有一个三角形树林，顶点上有1 棵树，以下每排的树都比前一排多1 棵，最下面一排有5 棵树。这个树林一共有多少棵树？解 第一种方法：1234515（棵）第二种方法：（51）5 215（棵）答：这个三角形树林一共有15 棵树。22 商品利润问题【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。【数量关系】利润售价进货价利润率（售价进货价）进货价 100%售价进货价（ 1利润率）亏损进货价售价亏损率（进货价售价）进货价 100%【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 某商品的平均价格在一月份上调了10% ，到二月份又下调了10% ，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？解 设这种商品的原价为1，则一月份售价为 （110% ），二月份的售价为 （110%） （110% ），所以二月份售价比原价下降了1（110% ）（110% ）1%答：二月份比原价下降了1%。例 2 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52 元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？解 要知亏还是盈，得知实际售价52 元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为52 元是原价的 80% ，所以原价为（ 52 80%）元；又因为原价是按期望盈利30% 定的，所以成本为5280% （130% ）50（元）可以看出该店是盈利的，盈利率为（5250）504%答：该店是盈利的，盈利率是4%。例 3 成本 0.25 元的作业本 1200 册，按期望获得 40% 的利润定价出售，当销售出80% 后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86% 。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是 0.25（ 140% ），所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80% 的盈利额之差，即0.25 1200 40% 86%0.25 1200 40% 80% 7.20（元）剩下的作业本每册盈利7.20 1200 （180% ） 0.03 （元）又可知 （0.25 0.03 ）0.25 （140% ） 80%答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。例 4 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10% ，甲店按 30% 的利润定价，乙店按20% 的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6 元，求乙店的定价。解 设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为110% 0.9甲店定价为0.9（130% ）1.17乙店定价为1（120%）1.20由此可得乙店进货价为6（1.201.17）200 （元）乙店定价为200 1.2240（元）答：乙店的定价是240 元。23 存款利率问题【含义】 把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。【数量关系】年（月）利率利息本金存款年（月）数 100%利息本金存款年（月）数年（月）利率本利和本金利息本金1年（月）利率存款年（月）数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页16 【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例 1 李大强存入银行1200 元，月利率 0.8%，到期后连本带利共取出1488 元，求存款期多长。解 因为存款期内的总利息是（1488 1200 ）元，所以总利率为（1488 1200 ）1200 又因为已知月利率，所以存款月数为（1488 1200 ）1200 0.8% 30（月）答：李大强的存款期是30 月即两年半。例 2 银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92% ，三年期 8.28% ，五年期 9%。如果甲乙二人同时各存入 1 万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？解 甲的总利息 10000 7.92% 210000 （17.92% 2）8.28% 3 1584 11584 8.28% 34461.47 （元）乙的总利息10000 9% 54500 （元）4500 4461.47 38.53 （元）答：乙的收益较多，乙比甲多38.53 元。24 溶液浓度问题【含义】 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。【数量关系】溶液溶剂溶质浓度溶质溶液100%【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例 1 爷爷有 16%的糖水 50 克，（ 1）要把它稀释成 10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成 30% 的糖水，需加糖多少克？解 （1）需要加水多少克？50 16% 10% 5030（克）（2）需要加糖多少克？50（116%）（130% ）5010（克）答：（ 1）需要加水 30 克，（ 2）需要加糖 10 克。例 2 要把 30% 的糖水与 15% 的糖水混合，配成 25% 的糖水 600 克，需要 30% 和 15% 的糖水各多少克？解 假设全用 30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出600 （30% 25% ）30（克）这是因为 30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600 克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分 30% 的溶液。这样，每“换掉” 100 克，就会减少糖100（30%15%）15（克） 所以需要“换掉” 30%的溶液（即“换上” 15% 的溶液）100 （3015）200 （克）由此可知，需要15%的溶液 200 克。需要 30% 的溶液 600 200 400 （克）答：需要 15%的糖水溶液 200 克，需要 30%的糖水 400 克。例 3 甲容器有浓度为12%的盐水 500 克，乙容器有 500 克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。解 由条件知，倒了三次后，甲乙两容器中溶液重量相等，各为500 克，因此，只要算出乙容器中最后的含盐量，便会知所求的浓度。下面列表推算：甲容器乙容器原 有盐水 500盐 500 12% 60水 500第一次把甲中一半倒入乙中后盐水 500 2250盐 60 230盐水 500 250750盐 30第而次把乙中一半倒入甲中后盐 水 250 375 625盐 301545盐水 750 2375盐 30 215第三次使甲乙中盐水同样多盐水 500盐 45936盐水 500盐 45361524由以上推算可知，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页17 乙容器中最后盐水的百分比浓度为245004.8%答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。25 构图布数问题【含义】 这是一种数学游戏， 也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。【数量关系】根据不同题目的要求而定。【解题思路和方法】通常多从三角形、 正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。 按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。例 1 十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。解 符合题目要求的图形应是一个五角星。4 5 210因为五角星的 5 条边交叉重复，应减去一半。例 2 九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。解 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形，一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。例 3 九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。解 符合题目要求的图形是一个三角形，每边栽4 棵树，三个顶点上重复应减去，正好9 棵。4 339例 4 把 12 拆成 1 到 7 这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计一种图形，填入这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于12。解 共有五种写法，即12147 12 156 12 23712246 12 345在这五个算式中， 4 出现三次，其余的1、2、3、5、6、7 各出现两次，因此， 4 应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处。26 幻方问题【含义】把 n n 个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。三级幻方的幻和 45315 五级幻方的幻和 325 565【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。例 1 把 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。解 幻和的 3 倍正好等于这九个数的和，所以幻和为（123456789）345 315九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。设“中心数”为，因为出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以 （123456789）（ 41）15 4即 453 60 所以 5接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。例 2 把 2，3，4，5，6，7，8，9，10 这九个数填到九个方格中，使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。解 只有三行，三行用完了所给的9 个数，所以每行三数之和为（2345678910）318276951438927468精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页18 假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8 行上的三个数之和都等于 18，我们看 18 能写成哪三个数之和：最大数是 10：1810621053最大数是 9： 18972963954最大数是 8： 18873864最大数是 7： 18765 刚好写成 8 个算式。首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观察上述 8 个算式，只有 6 被用了 4 次，所以正中间方格中应填6。然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8 个算式中只有 9、7、5、3 被用了三次，所以 9、7、5、3 应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。最后确定其它方格中的数。如图。27 抽屉原则问题【含义】把 3 只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2 只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3 只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了 2 只或 2 只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把n1 个物体（也叫元素）放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着 2 个或更多的物体（元素）。抽屉原则可以推广为：如果有m 个抽屉，有 kmr（0r m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k1）个或更多的元素。通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k 倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k1）个或更多的元素。【解题思路和方法】（1）改造抽屉，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屉；（3）说明理由，得出结论。例 1 育才小学有 367 个 2000 年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？解 由于 2000 年是润年，全年共有366 天，可以看作 366 个“抽屉”，把 367 个 1999 年出生的学生看作 367 个“元素”。 367 个“元素”放进 366 个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2 个或更多的“元素”。这说明至少有 2 个学生的生日是同一天的。例 2 据说人的头发不超过20 万跟，如果陕西省有3645 万人，根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗？解 人的头发不超过20 万根，可看作 20 万个“抽屉”， 3645 万人可看作 3645 万个“元素”，把3645 万个“元素”放到20 万个“抽屉”中，得到3645 20182 5 根据抽屉原则的推广规律，可知k1183答：陕西省至少有183 人的头发根数一样多。例 3 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10 个，白球 9 个，黄球 8 个，蓝球 2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4 个球颜色相同？解 把四种颜色的球的总数（3332）11 看作 11 个“抽屉”，那么，至少要取（111）个球才能保证至少有4 个球的颜色相同。答；他至少要取12 个球才能保证至少有4 个球的颜色相同。28 公约公倍问题【含义】需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。 最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。例 1 一张硬纸板长 60 厘米，宽 56 厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？解 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。60 和 56 的最大公约数是 4。答：正方形的边长是4 厘米。例 2 甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36 分钟，乙车行一周要30 分钟，丙车行一周要 48 分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？解 要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48 的倍数。因为问至少要多少5103精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页19 时间，所以应是 36、30、48 的最小公倍数。36 、30、48 的最小公倍数是720 。答：至少要 720 分钟（即 12 小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。例 3 一个四边形广场，边长分别为60 米，72 米，96 米，84 米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？解 相邻两树的间距应是60、72、96、84 的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84 这几个数的最大公约数12。所以，至少应植树（6072 9684）1226（棵）答：至少要植 26 棵树。例 4 一盒围棋子， 4 个 4 个地数多 1 个，5 个 5 个地数多 1 个，6 个 6 个地数还多 1 个。又知棋子总数在 150 到 200 之间，求棋子总数。解 如果从总数中取出1 个，余下的总数便是4、5、6 的公倍数。因为 4、5、6 的最小公倍数是60，又知棋子总数在 150 到 200 之间，所以这个总数为6031181（个）答：棋子的总数是181 个。29 最值问题【含义】 科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。【数量关系】一般是求最大值或最小值。【解题思路和方法】按照题目的要求，求出最大值或最小值。例 1 在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3 分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？解 先将两块饼同时放上烤， 3 分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过 3 分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3 分钟即可。这样做，用的时间最少，为9 分钟。答：最少需要 9 分钟。例 2 在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10 千米，已知 1 号煤场存煤 100 吨，2 号煤场存煤 200 吨，5 号煤场存煤 400 吨，其余两个煤场是空的。 现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运 1 千米花费 1 元，集中到几号煤场花费最少？解 我们采用尝试比较的方法来解答。集中到 1 号场总费用为12001014004018000 （元）集中到 2 号场总费用为11001014003013000 （元）集中到 3 号场总费用为1100201200101 400 1012000 （元）集中到 4 号场总费用为1100301200201 400 1011000 （元）集中到 5 号场总费用为11004012003010000 （元）经过比较，显然，集中到5 号煤场费用最少。答：集中到 5 号煤场费用最少。例 3 北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10 台，上海可调运外地4 台。现决定给重庆调运 8 台，给武汉调运 6 台，若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？解 北京调运到重庆的运费最高，因此，北京往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4 台全都调往重庆，再从北京调往重庆4 台，调往武汉 6 台，运费就会最少，其数额为500 48004400 67600 （元）答：上海调往重庆4 台，北京调往武汉6 台，调往重庆 4 台，这样运费最少。30 列方程问题【含义】 把应用题中的未知数用字母代替，根据等量关系列出含有未知数的等式方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。【数量关系】方程的等号两边数量相等。【解题思路和方法】可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。（1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。（2）设：把应用题中的未知数设为。（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。（4）解；求出所列方程的解。重庆武汉北京800400上海500300精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页20 （5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。例 1 甲乙两班共 90 人，甲班比乙班人数的2 倍少 30 人，求两班各有多少人？解 第一种方法：设乙班有人，则甲班有（90）人。找等量关系：甲班人数乙班人数230 人。列方程：902 30解方程得 40 从而知 9050第二种方法：设乙班有人，则甲班有（2 30）人。列方程 （2 30）90解方程得 40 从而得知2 3050答：甲班有 50 人，乙班有 40 人。例 2 鸡兔 35 只，共有 94 只脚，问有多少兔？多少鸡？解 第一种方法：设兔为只，则鸡为（35）只，兔的脚数为 4个，鸡的脚数为 2（35）个。根据等量关系“兔脚数鸡脚数94”可列出方程4 2（35）94 解方程得 12 则 3523第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡，则有 兔数（实际脚数 2鸡兔总数）（42）所以 兔数（ 942 35）（42）12（只）鸡数 351223 （只）答：鸡是 23 只，兔是 12 只。例 3 仓库里有化肥 940 袋，两辆汽车 4 次可以运完，已知甲汽车每次运125 袋，乙汽车每次运多少袋？解 第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。940 4125110 （袋）第二种方法：从总量里减去甲汽车4 次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以4，即是所求。（940 125 4）4110 （袋）第三种方法：设乙汽车每次运袋，可列出方程940 4 125解方程得 110第四种方法：设乙汽车每次运袋，依题意得（125 ） 4940 解方程得 110答：乙汽车每次运110 袋。消去法在一些应用题中，有时会出现两个或两个以上并列的未知数，我们可以根据数据特点，设法消去一个或两个未知数，只保留其中的一个未知数，在求得这个未知数后，再求出其它的未知数。这种解题思路和方法就是消去法。例 1学校买了 4 张办公桌和 1 把椅子，共用去 510 元，后又买来 6 张办公桌和 1 把椅子共用去 750元。求每张办公桌和每把椅子各多少元？分析与解 根据已知条件，列出关系式：4 张桌子的价钱 +1 把椅子的价钱 =510 元-6 张桌子的价钱 +1 把椅子的价钱 =750 元-观察比较两个等式，式比式多买了（6-4 ）张桌子，就多用了（ 750-510 ）元，从而可以求出每张办公桌为（ 750-510 ）（6-4 ）=120 元，每把椅子为 510-120 4=30 元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页