学习必备欢迎下载例说用二次函数求图形面积的最值二次函数常用来解决最优化问题这类问题。而图形面积最优化问题已经走进各省市的中考试卷。下面分类予以说明。一、围成图形面积的最值1、 只围二边的矩形的面积最值问题例1、如图 1，用长为18 米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。（1）设矩形的一边长为x（米），面积为 y（平方米），求 y 关于 x 的函数关系式；（2）当 x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。解： （1）设矩形的长为x（米） ，则宽为（ 18- x ） （米），根据题意，得：xxxxy18)18(2；又180,0180xxx（2）xxxxy18)18(2中， a= -1 0， y 有最大值，即当9)1(2182abx时，81)1(41804422maxabacy故当 x=9 米时，苗圃的面积最大，最大面积为81 平方米。点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。2、 只围三边的矩形的面积最值例2、如图 2，用长为50 米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析： 关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（250x）（米） ，根据题意，得：xxxxy2521)250(2；又500,02500xxxxxxxy2521)250(2中， a=210， y 有最大值，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载即当25)21(2252abx时，2625)21(42504422maxabacy故当 x=25 米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。点评：如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。3、 围成正方形的面积最值例 3、 将一条长为20cm的铁丝剪成两段， 并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少 ? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x ） cm 由题意得：17)420()4(22xx解得：4,1621xx当161x时， 20-x=4 ；当42x时， 20-x=16 答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16 厘米、 4 厘米。（2）不能理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为)5(4420xxcm，围成两个正方形的面积为ycm2，根据题意，得：25102)5(222xxxxy，25102)5(222xxxxy中， a= 2 0， y 有最小值，即当2522102abx时，225241025244422minabacy=12.512, 故两个正方形面积的和不可能是12cm2.4、 围成扇形的面积最值例 4 用长为 30 米的铁丝围成一个扇形, 问如何围扇形的面积最大? 解: 如图 3，设围成扇形的半径为R 米,则围成扇形的弧长为(30-2R) 米, 扇形的面积为y（平方米） , 根据题意，得：RRRRlRy15)230(21212RRRRlRy15)230(21212中，a= -1 0， y 有最大值，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载即当215)1(2152abR时，4225)1(41504422maxabacy故当围成的扇形的半径R是215米时，扇形的面积最大，最大面积为4225平方米。二、截出图形面积的最值问题例 5 如图 4, ABC是一块锐角三角形的余料, 边 BC=120mm, 高 AD=80mm, 要把它加工成长方形零件 PQMN , 使长方形PQMN 的边 QM 在 BC上, 其余两点 P、N在 AB 、AC上。（1）问如何截才能使长方形PQMN 的面积 S最大？（2）在这个长方形零件PQMN 面积最大时， 能否将余下的材料APN 、 BPQ NMC 剪下再拼成（不计接缝用料和损耗）一个与长方形零件PQMN大小一样的长方形？若能，给出一种拼法；若不能，试说明理由。分析：解题的关键是利用几何知识求得函数关系式，再利用函数的性质加以解决问题。解： （1）设长方形零件PQMN 的边 PN=a mm ，PQ=x mm ，则 AE=AD-ED=AD-PQ=（80- x ）mm ，PNBC APN ABC ，ADAEBCPN（相似三角形的对应高的比等于相似比）xaxxa23120,80120解得：，0800xx， 0 x80 S=xxxxxa12023231202）（ 0x80）S=xxxxxa12023231202）（ 0x80）中， a=230， S有最大值，即当40)23(21202abx时，2400)23(412004422maxabacs故当截得的长方形零件PQMN 的长为 60 mm ，宽为 40 mm 时，长方形零件PQMN 的面积最大，最大面积为2400mm2。点评：长方形零件PQMN 的面积最大时，PN恰好是三角形的中位线。（2）能。理由是：大小一样的长方形。，所以从理论上说，还余料的面积也是，长方形零件的最大面sABC240048008012021拼法：1、 作 ABC的中位线PN ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载2、 分别过 P、N两点作 BC的垂线，垂足分别为Q 、M ，3、 过 A作 BC的平行线，分别交QP 、MN的延长线于G、H两点因此，四边形PNGH 即为和长方形PQMN 大小一样的长方形。例 6 如图 6，在直角梯形ABCD 中， A= D=90，截取AE=BF=DG =x，已知 AB=6 ，CD=3，AD=4 。求： （1）四边形CGEF 的面积 S与 x 之间的函数关系式；（2） 四边形 CGEF 的面积 S是否存在着最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。解： （1）梯形 ABCD 的面积为 =4)63(21=18，SAEF=21AE AF=21x（6-x ） =3x-21x2；SDGE=21DE DG=21x（4-x ） =2x-21x2；SBCF=21BF DA=21x4=2x；所以， S=18-（3x-21x2）- （ 2x-21x2）-2x =x2-7x+18 ；因为： GC 0、DE 0、AF0，所以 6-x 0、3-x 0、 4-x 0、x0 所以 0 x3 因此自变量x 的取值范围是：0x 3。（2）因为 S =x2-7x+18= （x-27）2+423，故当 x=27时，面积有最小值，而自变量x 的取值范围是： 0 x3，所以 x=27根本不在这个范围内，因此面积不存在最小值。三、采光面积的最值例 7 用 19 米长的铝合金条制成如图所示的矩形的窗框。（1）求窗框的透光面积S （平方米）与窗框的宽x（米）之间的函数关系式；（2）求自变量x 的取值范围；（3）问如何设计才能使窗框透过的面积最大？最大的透光面积是多少？分析：关键是用含x 的代数式表示出BC的长。解： (1) 由图示的信息，可得：3BC+2 0.5+3 x=19, 所以 , BC=6 x, 所以 AC=AB+BC=(6 x+0.5) 米 , 所以 , S=(6 x+0.5) x= -x2+213x; (2) 由题意 , 得:x 0,6-x 0, 所以 0x 6, 因此自变量x 的取值范围是：0x6, （3） S=(6 x+0.5) x= -x2+213x 中， a= -1 0， S有最大值，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载即当413)1(22132abx时，16169)1(4)213(04422maxabacS故当 x=413米时，窗框的面积最大，最大面积为16169平方米。四、动态图形面积的最值例 8 如图 8，如图 9，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，A=60，BDAD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD . (1) 当点P运动 2 秒时，设直线PM与AD相交于点E，求APE的面积；(2) 当点P运动 2 秒时，另一动点Q也从A出发沿ABC的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm 的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QNPM. 设点Q运动的时间为t秒(0t10) ，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 . 求S关于t的函数关系式；求S的最大值 . 解： (1) 当点P运动 2 秒时，AP=2 cm，由A=60，知AE=1，PE=3 . SAPE=23. (2) 当 0t6 时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=2t，QF=t23，AP=t+2，AG=1+2t，PG=t233. 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=2323t. 当 6t8 时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动 . 设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=2t，DF=4-2t，QF=t23，BP=t-6 ，CP=10-t ，PG=3)10(t，而BD=34，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=3343108352tt. 当 8t 10 时，点P和点Q都在BC上运动 . 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20-2t，QF=(20-2t)3 ，CP=10-t，PG=3)10(t. 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=31503302332tt. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载故S关于t的函数关系式为2233,(06)2253103343, (68)83 3303150 3.(810)2ttStttttt当 0t6 时，S的最大值为237当 6t8 时，S的最大值为36当 8t10 时，S的最大值为36所以当t=8 时，S有最大值为36 . 正方形 ABCD 边长为 4，M 、N分别是 BC 、CD上的两个动点，当M点在 BC上运动时，保持 AM和 MN垂直，（1）证明： RtABM RtMCN ；（2）设 BM=x ，梯形 ABCN 的面积为y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积；（3）当 M点运动到什么位置时RtABM RtAMN ，求此时x 的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页