第页（共 23 页）1 初一有理数所有知识点总结和常考题知识点1、正数和负数（1） 、大于 0 的数叫做正数。（2） 、在正数前面加上负号“ - ”的数叫做负数。（3） 、数 0 既不是正数，也不是负数，0 是正数与负数的分界。（4） 、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。2、有理数(1) 凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意： 0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，如： - （-2 ）=4，这个时候的 a=-2。不是有理数；(2) 有理数的分类 : 负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3) 自然数0 和正整数； a 0 a 是正数； a 0 a 是负数； a0a 是正数或 0是非负数； a 0a 是负数或 0a是非正数 . 3、数轴【重点】（1） 、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求： 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3 ；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2 ，-3 （2） 、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。（3） 、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。（4） 、一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数 -a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。4、相反数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页第页（共 23 页）2 （1） 、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 注意： a 的相反数是 -a；a-b 的相反数是 b-a；a+b的相反数是 -(a+b)=-a-b； 非零数的相反数的商为 -1 ； 相反数的绝对值相等。（2） 、一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a 和-a，我们说这两点关于原点对称。（3） 、a 和-a 互为相反数。 0 的相反数是 0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0。（4） 、在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。（5） 、若两个数 a、b 互为相反数，就可以得到a+b=0；反过来若 a+b=0，则 a、b 互为相反数。（6） 、多重符号的相乘由“ -”的个数来定：若“ - ”的个数为偶数，相乘结果为正数；若“ - “的个数为奇数，化简结果为负数。比如：-2 4（-3 ）（ -1）（-5） ，首先由 4 个负号，所以最终结果是正数，再算数字相乘得到120 5、绝对值（1） 、 绝对值的定义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。数 a 的绝对值记作 |a| 。（2） 、正数的绝对值等于它本身； 0 的绝对值是 0（或者说 0 的绝对值是它本身，或者说 0 的绝对值是它的相反数） ；负数的绝对值等于它的相反数； （注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；） 。0 是绝对值最小的数。（3） 、绝对值可表示为：)0()0(0)0(aaaaaa或)0()0(aaaaa；（4） 、01aaa；01aaa；（5） 、任何数的绝对值总是非负数（非负数是正数或0） ，即|a| 0。（6） 、互为相反数的两个数的绝对值相等。绝对值相等的两个数可能是互为相反数或者相等。（7） 、有理数比大小： 正数比 0 大，0 大于负数，正数大于负数； 两个负数比较，绝对值大的反而小； 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（8） 、比较两个负数的大小的步骤如下： 先求出两个数负数的绝对值； 比较两个绝对值的大小； 根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。1、有理数的加法（1） 、有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 一个数与 0 相加，仍得这个数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页第页（共 23 页）3 （2） 、加法计算步骤：先定符号，再算绝对值。（3） 、有理数加法的运算律： 加法的交换律： a+b=b+a； 加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）. （4） 、为了计算简便，往往会采取以下方法：互为相反的两个数，可以先相加；符号相同的数，可以先相加；分母相同的数，可以先相加；几个数相加能得到整数，可以先相加。2、有理数的减法（1） 、 有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数； 即 a-b=a+ （-b） .（有理数减法运算时注意两“变”：减法变加法； 把减数变为它的相反数 . ）注：有理数的减法实质就是把减法变加法。3、有理数的乘法（1） 、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零；（2） 、一个数同 1 相乘，结果是原数；一个数同-1 相乘，结果是原数的相反数。（3） 、乘积为 1 的两个数互为倒数；注意： 0 没有倒数；若 ab=1a 、b 互为倒数。（4） 、几个不是偶的数相乘， 积的符号由负因式的个数决定。负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数是，积是负数。（5） 、有理数乘法的运算律： 乘法的交换律： ab=ba； 乘法的结合律：（ab）c=a（bc） ； 乘法的分配律： a（b+c）=ab+ac. 4、有理数的除法（1） 、有理数除法法则：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数。（2） 、有理数除法符号法则： 两数相除，同号得正， 异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于0 的数，都得 0。（3） 、乘除混合运算的步骤：先把除法转化为乘法；确定积的符号；运用乘法运算律和乘法法则进行计算得出结果。5、有理数的乘方（1） 、求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数， n 叫做指数。（2） 、an表示的意义是 n 个 a 相乘。如： 23=222=8 （3） 、分数的乘方，在书写时一定要把整个分数用小括号括起来。如：（1/2 ）2（4） 、负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同负号）用小括号括起来。（5） 、10 的几次方，幂的结果中1 后面就有几个 0。如： 105 =100000 （6） 、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。显然，正数的任何次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是0。1 的任何次幂都是 1。-1 的奇数次幂是 -1，-1 的偶数次幂是 1。6、科学记数法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页第页（共 23 页）4 （1） 、 把一个大于 10数表示成 a10n的形式 （其中 a 是整数数位只有一位的数，而且 1a10，n 是正整数），使用的是科学计数法。（2） 、用科学记数法表示一个n 位整数，其中 10 的指数是 n-1。例：240 000 000 用科学计数法记为2.4 1087、近似数（1） 、接近实际数字，但是与实际数字还是有差别，这个数是一个近似数。（2） 、精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示。（3） 、利用四舍五入法得到的近似数，四舍五入到哪一位， 就说这个近似数精确到哪一位。（4） 、从一个数的左边的第一个非0 数字起，到末尾数字止， 所有的数字都是这个数的有效数字。（5） 、解题技巧： 近似数精确到哪一位， 只需看这个数的最末一位在原数的哪一位。当四舍五入到十位或十位以上时，应先用科学记数法表示这个数， 再按要求取近似数。（6） 、a10n中有效数字是指a的有效数字。7、等于本身的数汇总： 相反数等于本身的数： 0 倒数等于本身的数： 1，-1 绝对值等于本身的数：正数和0 平方等于本身的数： 0,1 立方等于本身的数： 0,1 ，-1. 常考题 : 一选择题（共 12 小题）1的倒数是（）A2 B2 C D 2| 2| 的相反数是（）A B 2 CD2 3| | 的相反数是（）ABC 3 D3 4某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为（250.1 ）kg、 （250.2 ） kg、 （250.3 ） kg 的字样，从中任意拿出两袋， 它们的质量最多相差 （）A0.8kg B0.6kg C0.5kg D0.4kg 5计算（ 3）2的结果是（）A6 B6 C 9 D9 6有理数 a、b 在数轴上的对应的位置如图所示，则（）Aa+b0 Ba+b0 Cab=0 Dab0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页第页（共 23 页）5 7若 x 的相反数是 3，|y|=5 ，则 x+y 的值为（）A8 B2 C 8 或2 D8 或 2 8如果 |a|= a，下列成立的是（）Aa0 Ba0 Ca0 Da0 9在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194 亿立方米 194亿用科学记数法表示为（）A1.94 1010B0.194 1010 C19.4109D1.9410910下列说法不正确的是（）A0 既不是正数，也不是负数B1 是绝对值最小的数C一个有理数不是整数就是分数D0 的绝对值是 0 11一种面粉的质量标识为“250.25 千克”，则下列面粉中合格的是（）A24.70 千克B25.30 千克C 24.80 千克D25.51 千克12某地某天的最高气温是8，最低气温是 2，则该地这一天的温差是（）A10B6C6 D10二填空题（共 12 小题）13PM 2.5 是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将 0.0000025 用科学记数法表示为14如图，是一个简单的数值运算程序，当输入x 的值为 1 时，则输出的数值为15 点 A表示数轴上的一个点， 将点 A向右移动 7 个单位，再向左移动 4 个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是16绝对值小于 5 的所有的整数的和是17若 x 的相反数是 3，|y|=5 ，则 x+y 的值为18纳米是一种长度单位，常用于度量物质原子的大小，1 纳米=109米，已知某种植物孢子的直径为45000纳米，用科学记数法表示该孢子的直径为米19符号“ f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）=0，f （2）=1，f （3）=2，f （4）=3，；（2）f （）=2，f （）=3，f （）=4，f （）=5，利用以上规律计算： f （2009）f （）= 20图中是一幅“苹果图”，第一行有1 个苹果，第二行有2 个，第三行有 4个， 第四行有 8 个， ， 你是否发现苹果的排列规律？猜猜看， 第六行有个苹果、第十行有个 （可用乘方形式表示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页第页（共 23 页）6 21水位上升用正数表示，水位下降用负数表示，如图，水面从原来的位置到第二次变化后的位置，其变化值是22观察两行数根据你发现的规律， 取每行数的第 10 个数，求得它们的和是 （要求写出最后的计算结果）23若实数 a，b 满足，则= 24如图，数轴上的两个点A，B所表示的数分别是a，b，在 a+b，ab，ab，|a| |b| 中，是正数的有个三解答题（共 16 小题）25观察下列等式，将以上三个等式两边分别相加得：（1）猜想并写出：= （2）直接写出下列各式的计算结果：= ；= （3）探究并计算：26有 20 筐白菜，以每筐 25 千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：与标准质量的差值（单位：千克）3 2 1.5 0 1 2.5 筐数1 4 2 3 2 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页第页（共 23 页）7 （1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克？（2）与标准重量比较， 20 筐白菜总计超过或不足多少千克？（3）若白菜每千克售价2.6 元，则出售这 20 筐白菜可卖多少元？ （结果保留整数）27为体现社会对教师的尊重， 教师节这一天上午， 出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师 如果规定向东为正， 向西为负，出租车的行程如下 （单位：千米） ：+15，4，+13，10，12，+3，13，17（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？（2）若汽车耗油量为0.4 升/ 千米，这天下午汽车共耗油多少升？28计算： 12+2（ 3）229 小王上周五在股市以收盘价 （收市时的价格）每股 25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内， 小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况： （单位：元）星期一二三四五每股涨跌（元）+2 0.5 +1.5 1.8 +0.8 根据上表回答问题：（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？（2）本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？30据国家税务总局通知，从2007 年 1 月 1 日起，个人年所得12 万元（含 12万元）以上的个人需办理自行纳税申报小张和小赵都是某公司职员， 两人在业余时间炒股小张 2006 年转让沪市股票 3 次，分别获得收益 8 万元、1.5 万元、5 万元；小赵 2006年转让深市股票5 次，分别获得收益 2 万元、2 万元、6 万元、 1 万元、 4 万元小张 2006年所得工资为 8 万元，小赵 2006年所得工资为 9 万元现请你判断：小张、小赵在2006 年的个人年所得是否需要向有关税务部门办理自行纳税申报并说明理由（注：个人年所得 =年工资（薪金）+年财产转让所得 股票转让属“财产转让”，股票转让所得盈亏相抵后为负数的，则财产转让所得部分按零“填报”）31某自行车厂计划一周生产自行车1400 辆，平均每天生产 200 辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入下表是某周的生产情况 （超产记为正、减产记为负）：星期一二三四五六日增减+5 2 4 +13 10 +16 9 （1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆；（2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆；（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆；（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15 元；少生产一辆扣 20 元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？32计算： 1100（10.5 ）3 （ 3）2 33已知 |a|=3 ，|b|=5 ，且 ab，求 ab 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页第页（共 23 页）8 34计算： 142 （ 3）2 35计算： （2）4（ 2）2+5（）0.25 36计算：37有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的： 任取四个 113 之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于 24，例如 1，2，3，4，可作如下运算：（1+2+3）4=24 （注意上述运算与4（2+3+1）应视作相同方法的运算）现有四个有理数3，4，6，10运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下：（1）； （2）； （3）另有四个数 3，5，7，13，可通过运算式（ 4）使其结果等于 2438 若“三角表示运算 ab+c， “方框”表示运算 xy+z+w ，求：表示的运算，并计算结果39根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1） 请你根据图中 A、 B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：；B：；（2）观察数轴，与点A的距离为 4 的点表示的数是：；（3）若将数轴折叠，使得A点与3 表示的点重合，则B点与数表示的点重合；（4）若数轴上 M 、N两点之间的距离为2010（M在 N的左侧） ，且 M 、N两点经过（3） 中折叠后互相重合， 则 M 、N两点表示的数分别是： M ： N：40已知 x、y 为有理数，现规定一种新运算，满足xy=xy+1（1）求 24 的值；（2）求（14）（ 2）的值；（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数） ，分别填入下列和中，并比较它们的运算结果：和；（4）探索 a（b+c）与 ab+ac的关系，并用等式把它们表达出来精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页第页（共 23 页）9 初一有理数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习( 含答案解析 ) 参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1 （2015?宿迁）的倒数是（）A2 B2 C D 【分析】根据乘积为1 的两个数互为倒数，可得答案【解答】解：的倒数是 2，故选： A【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键2 （2008?莱芜） | 2| 的相反数是（）A B 2 CD2 【分析】利用相反数和绝对值的定义解题：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0只有符号不同的两个数互为相反数【解答】解： | 2|=2 ，2 的相反数是 2| 2| 的相反数是 2故选： B【点评】主要考查了相反数和绝对值的定义，要求掌握并灵活运用3 （2015?东营） | | 的相反数是（）ABC 3 D3 【分析】一个负数的绝对值是它的相反数，求一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号【解答】解： | |=，的相反数是故选： B【点评】本题考查了相反数的意义，求一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，不要把相反数的意义与倒数的意义混淆同时考查了绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数4 （2004?无为县）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为（250.1 ）kg、 （250.2 ）kg、 （250.3）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（）A0.8kg B0.6kg C0.5kg D0.4kg 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页第页（共 23 页）10 【分析】根据题意给出三袋面粉的质量波动范围，并求出任意两袋质量相差的最大数【解答】解：根据题意从中找出两袋质量波动最大的（250.3 ）kg，则相差 0.3（ 0.3 ）=0.6kg故选： B【点评】 解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量5 （2015?郴州）计算（ 3）2的结果是（）A6 B6 C 9 D9 【分析】根据有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行【解答】解：（3）2=（3）（ 3）=9故选： D【点评】 本题考查有理数的乘方运算， 乘方的运算可以利用乘法的运算来进行负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数6 （2014 秋?莘县期末）有理数 a、b 在数轴上的对应的位置如图所示，则 （）Aa+b0 Ba+b0 Cab=0 Dab0 【分析】先根据数轴判断出a、b 的正负情况，以及绝对值的大小，然后对各选项分析后利用排除法求解【解答】解：根据图形可得：a1，0b1，|a| |b| ，A、a+b0，故 A选项正确；B、a+b0，故 B选项错误；C、ab0，故 C选项错误；D、ab0，故 D选项错误故选： A【点评】本题考查了有理数的加法、减法，根据数轴判断出a、b 的情况，以及绝对值的大小是解题的关键7 （2006?哈尔滨）若 x 的相反数是 3，|y|=5 ，则 x+y 的值为（）A8 B2 C 8 或2 D8 或 2 【分析】首先根据相反数，绝对值的概念分别求出x、y 的值，然后代入 x+y，即可得出结果【解答】解： x 的相反数是 3，则 x=3，|y|=5 ，y=5，x+y=3+5=2，或 x+y=35=8则 x+y 的值为 8或 2故选： D【点评】此题主要考查相反数、绝对值的意义绝对值相等但是符号不同的数是互为相反数一个数到原点的距离叫做该数的绝对值，一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页第页（共 23 页）11 8 （2008?赤峰）如果 |a|= a，下列成立的是（）Aa0 Ba0 Ca0 Da0 【分析】绝对值的性质： 正数的绝对值等于它本身， 负数的绝对值等于它的相反数，0 的绝对值是 0【解答】解：如果 |a|= a，即一个数的绝对值等于它的相反数，则a0故选 D【点评】本题主要考查的类型是：|a|= a 时，a0此类题型的易错点是漏掉0 这种特殊情况规律总结： |a|= a 时，a0；|a|=a 时，a09 （2013?自贡）在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194 亿立方米 194亿用科学记数法表示为（）A1.94 1010B0.194 1010 C19.4109D1.94109【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n是负数【解答】解： 194亿=19400000000 ，用科学记数法表示为： 1.94 1010故选： A【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及 n 的值10 （2016春?翔安区期末）下列说法不正确的是（）A0 既不是正数，也不是负数B1 是绝对值最小的数C一个有理数不是整数就是分数D0 的绝对值是 0 【分析】先根据： 0 既不是正数，也不是负数；整数和分数统称为有理数；0 的绝对值是 0；判断出 A、C、D正确；再根据绝对值最小的数是0，得出 B错误【解答】解： 0 既不是正数，也不是负数，A正确；绝对值最小的数是0，B错误；整数和分数统称为有理数，C正确；0 的绝对值是 0，D正确故选： B【点评】本题主要考查正数的绝对值是正数，负数的绝对值是正数，0 的绝对值是 0，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键11 （2017?乐安县校级模拟）一种面粉的质量标识为“250.25 千克”，则下列面粉中合格的是（）A24.70 千克B25.30 千克C 24.80 千克D25.51 千克【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正， 则另一个就用负表示【解答】解：“ 250.25 千克”表示合格范围在25上下 0.25 的范围内的是合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页第页（共 23 页）12 格品，即 24.75 到 25.25 之间的合格，故只有 24.80 千克合格故选： C【点评】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量12 （2013?曲靖）某地某天的最高气温是8，最低气温是 2，则该地这一天的温差是（）A10B6C6 D10【分析】用最高温度减去最低温度， 然后根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解【解答】解： 8（ 2）=8+2=10 （） 故选 D【点评】本题考查了有理数的减法运算法则，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键二填空题（共 12 小题）13 （2013?辽阳） PM 2.5 是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025 用科学记数法表示为2.5 106【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定【解答】解： 0.0000025=2.5 106，故答案为： 2.5 106【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10n，其中 1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定14 （2005?桂林）如图，是一个简单的数值运算程序，当输入x 的值为 1 时，则输出的数值为2 【分析】根据题中的运算程序框图，将x=1 代入得到（ 1）2（ 2）+4，计算即可得到输出的数值【解答】解：输入的值为1，列得：到（ 1）2（2）+4 =1（ 2）+4 =2+4 =2则输出的数值为 2故答案为： 2【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的程序框图是解本题的关键15 （2014秋?沧浪区校级期末）点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动 7个单位，再向左移动4 个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页第页（共 23 页）13 【分析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解【解答】解：设点A表示的数是 x依题意，有 x+74=0，解得 x=3故答案为： 3 【点评】此题综合考查了数轴、 绝对值的有关内容， 用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点16 （2012秋?下城区期末）绝对值小于5 的所有的整数的和是0 【分析】绝对值的意义：一个数的绝对值表示数轴上对应的点到原点的距离互为相反数的两个数的和为0【解答】解：根据绝对值的意义，结合数轴，得绝对值小于 5 的所有整数为 0，1，2，3，4所以 0+11+22+33+44=0故答案为： 0【点评】此题考查了绝对值的意义，并能熟练运用到实际当中能够结合数轴，运用数形结合的思想，进行分析计算17（2015 秋?港南区期末）若 x 的相反数是 3， |y|=5 ， 则 x+y 的值为2 或8 【分析】根据相反数的定义，绝对值的定义求出可知x、y 的值，代入求得 x+y的值【解答】解：若 x 的相反数是 3，则 x=3；|y|=5 ，则 y=5x+y 的值为 2 或8【点评】主要考查相反数和绝对值的定义只有符号不同的两个数互为相反数；一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 018 （2005?广东）纳米是一种长度单位， 常用于度量物质原子的大小， 1 纳米=109米，已知某种植物孢子的直径为45000 纳米，用科学记数法表示该孢子的直径为4.5 105米【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a10的 n 次幂的形式）其中 1|a| 10，n 表示整数， n 为整数位数减 1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10 的 n 次幂【解答】解： 1纳米=109米，45 000 纳米=4.5104纳米=4.5105米【点评】用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定 a：a 是只有一位整数的数；（2）确定 n：当原数的绝对值 10 时，n 为正整数， n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值 1 时，n 为负整数， n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页第页（共 23 页）14 19 （2012?德州校级模拟）符号“ f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）=0，f （2）=1，f （3）=2，f （4）=3，；（2）f （）=2，f （）=3，f （）=4，f （）=5，利用以上规律计算： f （2009）f （）= 1 【分析】观察（ 1）中的各数，我们可以得出f （2009）=2008；观察（ 2）中的各数，我们可以得出f （）=2009；由此我们可以计算f （2009）f （）的值【解答】解： f （2009）f （）=20082009=1【点评】考查有理数的运算方法和数学的综合能力解此题的关键是能从所给出的资料中找到数据变化的规律， 并直接利用规律求出得数， 代入后面的算式求解有理数加法法则：两个数相加，取较大加数的符号，并把绝对值相加有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数20 （2004?福州）图中是一幅“苹果图”，第一行有1 个苹果，第二行有2 个，第三行有 4 个，第四行有 8 个，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第六行有25个苹果、第十行有29个 （可用乘方形式表示）【分析】根据有理数乘方的定义，题意和图示可知：二行有21=2个，第三行有22=4 个，第四行有 23=8个，所以，第六行有25个苹果、第十行有29个【解答】解：第六行有25个苹果、第十行有29个【点评】主要考查了乘方的意义 乘方是乘法的特例， 乘方的运算可以利用乘法的运算来进行负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；1 的奇数次幂是 1，1的偶数次幂是 1，0 的任何次幂还是 021 （2006?柳州）水位上升用正数表示，水位下降用负数表示，如图，水面从原来的位置到第二次变化后的位置，其变化值是8 【分析】本题是一道看图求值的问题，求解时可以根据题意列出算式，然后利用法则求解【解答】解： 035=8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页第页（共 23 页）15 答：变化值是 8【点评】解决此类问题的关键是根据题意正确的列出算式注意将原来的位置看做 022 （2008?十堰）观察两行数根据你发现的规律，取每行数的第10 个数，求得它们的和是（要求写出最后的计算结果）2051 【分析】根据两行数据找出规律，分别求出每行数的第10 个数，再把它们的值相加即可【解答】解：第一行的第十个数是210=1024，第二行的第十个数是1024+3=1027 ，所以它们的和是 1024+1027=2051 【点评】本题属规律性题目， 解答此题的关键是找出两行数的规律第一行的数为 2n，第二行对应的数比第一行大3，即 2n+323 （2007?茂名）若实数 a，b 满足，则= 1 【分析】根据绝对值的性质，得一个非零数除以它的绝对值的结果可能是1，也可能是 1；再结合互为相反数的两个数的和为0，知 a、b 为异号的两个数最后再根据绝对值的性质进行化简计算【解答】解：由，可得 a、b 为异号的两个数，则ab0，=1【点评】绝对值的性质： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0互为相反数的性质：互为相反数的两个数的和为0此题需要在此基础上，灵活应用24 （2006?佛山）如图，数轴上的两个点A，B所表示的数分别是a，b，在 a+b，ab，ab，|a| |b| 中，是正数的有1 个【分析】由数轴可以看出ab，且 a0，b0，根据 |a| |b| ，据此做题【解答】解： a+b0；ab0；ab0；|a| |b| 0答：正数有一个【点评】本题考查的重点是：大数小数0，异号两数相乘得负三解答题（共 16 小题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页第页（共 23 页）16 25 （2007?邵阳）观察下列等式，将以上三个等式两边分别相加得：（1）猜想并写出：= （2）直接写出下列各式的计算结果：= ；= （3）探究并计算：【分析】 （1）由算式可以看出=；（2）由（ 1）的规律直接抵消得出答案即可；（3）每一项提取，利用（ 1）的规律推得出答案即可【解答】解：（1）=（2）直接写出下列各式的计算结果：=；=（3）=（1+ + +）=【点评】此题考查有理数的混合运算以及数字的变化规律，根据数字的特点， 拆项计算是解决问题的关键26 （2012秋?保康县期末）有20 筐白菜，以每筐 25 千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：与标准质量的差值（单位：千克）3 2 1.5 0 1 2.5 筐数1 4 2 3 2 8 （1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页第页（共 23 页）17 （2）与标准重量比较， 20 筐白菜总计超过或不足多少千克？（3）若白菜每千克售价2.6 元，则出售这 20 筐白菜可卖多少元？ （结果保留整数）【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正， 则另一个就用负表示【解答】解： （1）最重的一筐超过2.5 千克，最轻的差 3 千克，求差即可 2.5 （3）=5.5（千克） ，故最重的一筐比最轻的一筐多重5.5 千克；（2）列式 1（3）+4（ 2）+2（ 1.5 ）+30+12+82.5=383+2+20=8（千克） ，故 20 筐白菜总计超过 8 千克；（3）用（ 2）的结果列式计算2.6 （2520+8）=1320.81320（元） ，故这 20 筐白菜可卖 1320（元） 【点评】此题的关键是读懂题意，列式计算，注意计算结果是去尾法27 （2007秋?达州期末）为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师如果规定向东为正， 向西为负， 出租车的行程如下（单位：千米） ：+15，4，+13，10，12，+3，13，17（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？（2）若汽车耗油量为0.4 升/ 千米，这天下午汽车共耗油多少升？【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答【解答】解：（1）根据题意：规定向东为正，向西为负：则（+15）+（4）+（+13）+（10）+（12）+（+3）+（13）+（17）=25 千米，故小王在出车地点的西方，距离是25 千米；（2）这天下午汽车走的路程为|+15|+| 4|+|+13|+|10|+| 12|+|+3|+|13|+| 17|=87，若汽车耗油量为0.4 升/ 千米，则 870.4=34.8 升，故这天下午汽车共耗油34.8 升【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量一般情况下具有相反意义的量才是一对具有相反意义的量28 （2015?厦门）计算： 12+2（ 3）2【分析】选算乘方，再算乘法，最后算加减，由此顺序计算即可【解答】解：原式 =12+29 =1+18 =17【点评】此题考查有理数的混合运算， 掌握运算顺序与符号的判定是解决问题的关键29 （2004?芜湖）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25 元买进某公司股票 1000 股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况： （单位：元）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页第页（共 23 页）18 星期一二三四五每股涨跌（元）+2 0.5 +1.5 1.8 +0.8 根据上表回答问题：（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？（2）本周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？【分析】 （1）由题意可知：星期一比上周的星期五涨了2 元，星期二比星期一跌了 0.5 元，则星期二收盘价表示为25+20.5 ，然后计算；（2） 星期一的股价为 25+2=27 ； 星期二为 270.5=26.5 ； 星期三为 26.5+1.5=28 ；星期四为 281.8=26.2 ；星期五为 26.2+0.8=27 ；则星期三的收盘价为最高价，星期四的收盘价为最低价；（3）计算上周五以 25元买进时的价钱， 再计算本周五卖出时的价钱， 用卖出时的价钱买进时的价钱即为小王的收益【解答】解：（1）星期二收盘价为 25+20.5=26.5 （元/ 股） （2）收盘最高价为 25+20.5+1.5=28 （元/ 股） ，收盘最低价为25+20.5+1.51.8=26.2 （元/ 股） （3）小王的收益为： 271000（15） 251000（1+5）=2700013525000125=1740（元） 小王的本次收益为1740 元【点评】本题考查的是有理数在解决实际生活问题的应用和有理数的混合运算能力在运算时一定要细心，认真30 （2007?云南）据国家税务总局通知，从2007 年 1 月 1 日起，个人年所得 12万元（含 12 万元）以上的个人需办理自行纳税申报小张和小赵都是某公司职员，两人在业余时间炒股小张2006 年转让沪市股票 3 次，分别获得收益8 万元、1.5 万元、 5 万元；小赵 2006 年转让深市股票 5 次，分别获得收益 2 万元、2 万元、 6 万元、 1 万元、 4 万元小张 2006 年所得工资为 8 万元，小赵2006年所得工资为 9 万元现请你判断：小张、小赵在2006 年的个人年所得是否需要向有关税务部门办理自行纳税申报并说明理由（注：个人年所得 =年工资（薪金）+年财产转让所得 股票转让属“财产转让”，股票转让所得盈亏相抵后为负数的，则财产转让所得部分按零“填报”）【分析】分别计算出小张个人年所得和小赵个人年所得，若个人年所得12 万元（含 12 万元）以上，则需申报【解答】解：小张需要办理自行纳税申报，小赵不需要办理自行纳税申报理由如下：设小张股票转让总收益为x 万元，小赵股票转让总收益为y 万元，小张个人年所得为W1万元，小赵个人年所得为W2万元则 x=8+1.55=4.5，y=2+26+1+4=10W1=8+4.5=12.5 （万元） ，W2=9（万元） W1=12.5 万元 12 万元， W2=9万元 12 万元根据规定小张需要办理自行纳税申报，小赵不需要申报【点评】此题信息量较大， 从大量的信息中找到和解题相关的条件去掉无关的条件是解答此题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页第页（共 23 页）19 31 （2015秋?民勤县期末）某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产 200 辆，但由于种种原因， 实际每天生产量与计划量相比有出入下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：星期一二三四五六日增减+5 2 4 +13 10 +16 9 （1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆；（2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆；（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆；（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15 元；少生产一辆扣 20 元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？【分析】 （1）该厂星期四生产自行车200+13=213辆；（2）该厂本周实际生产自行车（524+1310+169）+2007=1409辆；（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车16（ 10）=26 辆；（4）这一周的工资总额是200760+（524+1310+169）（ 60+15）=84675元【解答】解： （1）超产记为正、减产记为负，所以星期四生产自行车200+13辆，故该厂星期四生产自行车213 辆；（2）根据题意 524+1310+169=9，2007+9=1409辆，故该厂本周实际生产自行车1409 辆；（3）根据图示产量最多的一天是216 辆，产量最少的一天是190 辆，216190=26辆，故产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车26 辆；（4）根据图示本周工人工资总额=720060+975=84675元，故该厂工人这一周的工资总额是84675 元【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学32 （2014秋?天水期末）计算： 1100（10.5 ）3 （ 3）2 【分析】对于一般的有理数混合运算来讲，其运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的在此基础上， 有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法【解答】解：原式 =【点评】本题考查的是有理数的运算能力注意： （1）要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页第页（共 23 页）20 （2）在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序；（3）1 的任何次幂还是 133 （2014秋?通许县期中）已知 |a|=3 ，|b|=5 ，且 ab，求 ab 的值【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，注意在条件的限制下a，b 的值剩下 2 组a=3时，b=5或 a=3 时，b=5，所以 ab=2 或 ab=8【解答】解： |a|=3 ，|b|=5 ，a=3，b=5ab，当 a=3 时，b=5，则 ab=2当 a=3 时，b=5，则 ab=8【点评】本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2 个两个绝对值条件得出的数据有4 组，再添上 a，b 大小关系的条件，一般剩下两组答案符合要求，解此类题目要仔细，看清条件，以免漏掉答案或写错34 （2009秋?丹棱县期末）计算： 142 （3）2 【分析】按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减， 有括号的先算括号里面的【解答】解：原式 =1（29）=1（ 7）=1+=【点评】此题要注意正确掌握运算顺序以及符号的处理35 （2017?石家庄模拟）计算：（2）4（ 2）2+5（）0.25 【分析】按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后加减， 有括号的先算括号里面的【解答】解：原式 =16+（）=【点评】此题要注意正确掌握运算顺序以及符号的处理36 （2009秋?焦作期末）计算：【分析】对于一般的有理数混合运算来讲，其运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的在此基础上， 有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页第页（共 23 页）21 【解答】解：原式 =【点评】注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的37 （2014秋?南通校级期末）有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个 113 之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24，例如 1，2，3，4，可作如下运算：（1+2+3）4=24 （注意上述运算与4（2+3+1）应视作相同方法的运算）现有四个有理数 3，4，6，10运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于 24，运算式如下：（1）1043（6）； （2）410（6）3 ； （3）310+4+（6） 另有四个数 3，5，7，13，可通过运算式（ 4）（5）（ 13）+73 使其结果等于 24【分析】读懂游戏规则， 试着在给定的四个数之间加上运算符号，使其结果等于24【解答】解：（1）1043（ 6）=24；（2）410（ 6）3=24；（3）310+4+（6）=24；（4） （5）（ 13）+73=24【点评】此题是对有理数运算的灵活应用，可以培养学生的灵活性及兴趣性38 （2014秋?青神县期末）若“三角表示运算 ab+c，“方框”表示运算 xy+z+w ，求：表示的运算，并计算结果【分析】此题主要是找规律， 从给出的运算中找出规律 然后按规律列出代数式即可【解答】解：根据题意得：求：=（+） （2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页第页（共 23 页）22 3+（6）+3=（+）（ 8）= 【点评】注意要从给出的运算中找到它们的关系，然后再按有理数的混合运算计算即可39 （2013秋?江阴市期中）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中 A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：1 ；B：2.5 ；（2）观察数轴，与点A的距离为 4 的点表示的数是：5 或3 ；（3）若将数轴折叠，使得A点与3 表示的点重合，则B点与数0.5 表示的点重合；（4）若数轴上 M 、N两点之间的距离为2010（M在 N的左侧） ，且 M 、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M 、N两点表示的数分别是： M ：1006 N：1004 【分析】 （1） （2）观察数轴，直接得出结论；（3）A点与3 表示的点相距 4 单位，其对称点为 1，由此得出与 B点重合的点；（4）对称点为 1，M点在对称点左边，距离对称点20102=1005个单位， N点在对称点右边，离对称点1005 个单位，由此求出M 、N两点表示的数【解答】解：（1）由数轴可知， A点表示数 1，B点表示数 2.5 故答案为： 1，2.5 ；（2）A点表示数 1，与点 A的距离为 4 的点表示的数是： 3 或 5故答案为： 3 或 5；（3）当 A点与 3 表示的点重合，则B点与数 0.5 表示的点重合故答案为 0.5 ；（4）由对称点为 1，且 M 、N两点之间的距离为2010（M在 N的左侧）可知，点 M 、N到1的距离为 20102=1005，所以， M点表示数 11005=1006，N点表示数 1+1005=1004 故答案为： 1006，1004【点评】本题考查了数轴的运用关键是利用数轴，数形结合求出答案，注意不要漏解40 （2016秋?东莞市期末）已知x、y 为有理数，现规定一种新运算，满足xy=xy+1（1）求 24 的值；（2）求（14）（ 2）的值；（3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数） ，分别填入下列和中，并比较它们的运算结果：和；（4）探索 a（b+c）与 ab +ac的关系，并用等式把它们表达出来精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页第页（共 23 页）23 【分析】读懂题意，掌握规律，按规律计算每个式子【解答】解：（1）24=24+1=9；（2） （14）（ 2）=（14+1）（ 2）+1=9；（3） （1）5=15+1=4，5（ 1）=5（ 1）+1=4；（4）a（ b+c）=a（b+c）+1=ab+ac+1 ，ab +ac=ab+1+ac+1=ab+ac+2 a（ b+c）+1=ab +ac【点评】解答此类题目的关键是认真观察已知给出的式子的特点，找出其中的规律精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页