读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思专题三：立体几何1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征考纲要求：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构1.棱柱的结构特征： （1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形；（2）每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。2.棱锥的结构特征： （1）有一个面是多边形； （ 2）其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。3.棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。4.圆柱的结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴。5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。6.圆台的结构特征：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。圆台也可以看作由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。例题：如图 ,长方体 ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从A 到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少巩固练习：1由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是（）A 六棱锥B 六棱台C 六棱柱D 非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体2 下列说法中，正确的是（）A 棱柱的侧面可以是三角形B 由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图 C 正方体的各条棱都相等D棱柱的各条棱都相等3构成多面体的面最少是（）A三个B 四个C 五个D 六个4 用一个平面去截棱锥, 得到两个几何体, 下列说法正确的是（）A 一个几何体是棱锥, 另一个几何体是棱台B 一个几何体是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台C 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体是棱台D 一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台5将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是（）A圆锥B圆柱C圆台D以上均不正确6A、B 为球面上相异两点, 则通过 A、B可作球的大圆有（）A一个B无穷多个C零个D一个或无穷多个7如下图几何体是由哪些简单几何体构成的？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思例题：长方体 ABCD-A1B1C1D1 的表面可如上图中三种方法展开, 表面展开后 , A与 C1两点间的距离分别为22(34)574,22(53)445,22(54)33 10, 三者比较得74为从 A 点沿表面到C1点的最短距离1.1.2 中心投影与平行投影以及直观图的画法考纲要求：能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；会画一些几何体的三视图与直观图了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（1）多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积。可以把多面体展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积。圆柱的表面积：)(2222lrrrlrS（其中r是底面半径，l是母线长）圆锥的表面积：)(2lrrrlrS（其中r是底面半径，l是母线长）圆台的表面积：)(22rllrrrS（其中rr ,是圆台的上，下底面半径，l是母线长）柱体的体积：ShV（S为底面半径，h为高）锥体的体积：ShV31（S为底面半径，h为高）台体的体积 : hSSSSV)(31（SS ,分别是上，下底面面积，h为圆台（棱台）的高）球的表面积：24 RS（R是球的半径）球的体积：334RV（R是球的半径）巩固练习：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆， 则该几何体可能是 （）A圆柱B. 三棱柱C. 圆锥D.球体2下列几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是（）A 球和圆柱B圆柱和圆锥C 正方体和圆柱D 球和正方体3如果用表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么右图中有7 个立方体叠成的几何体，则主视图是（）ABCD4在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（）A平行且相等B 平行但不相等C. 相等但不平行D 既不平行也不相等5下列说法中正确的是（）A 互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B 梯形的直观图可能是平行四边形C 矩形的直观图可能是梯形D 正方形的直观图可能是平行四边形6如右图中“斜二测”直观图所示的平面图形是（）A直角梯形B等腰梯形C 不可能是梯形D平行四边形7如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A 3 B223C 6 D . 328已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是A.1cm3 B.2cm3C.3cm3D.6cm39若球的半径为R，则这个球的内接正方体的全面积等于（）A8R2B 9R2C10R2D12R2 10.一个长方体的顶点都在球面上，它的长，宽，高分别是cmcmcm5 ,4,3，求球的体积11.正方形 ABCD的边长为1，E 、 F分别为 BC、CD的中点，沿AE，EF ，AF折成一个三棱锥，使 B， C，D 三点重合，那么这个三棱锥的体积为（）A81B241C242D48512 一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和 4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周 ,所得旋转体的体积是_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思13A、B、C是球面上三点，已知弦AB=18cm，BC=24cm，AC=30cm，平面 ABC与球心 O 的距离恰好为球半径的一半，求球的面积1.2 点、线、面之间的位置关系考纲要求： 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号语言：lBAlBlA则且若,作用是：判断直线是否在平面内。公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（确定平面的依据）推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3：经过两条平行线，有且只有一个平面注意：经过一点、两点或同一条直线的三点可能有无数个平面。公理 3： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号语言：lPlPP且则且若,作用是： 判定两个平面相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线。巩固练习：1若点 N 在直线 a 上，直线a 又在平面内，则点N，直线 a 与平面之间的关系可记作（）ANaBNaCNaDNa2 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（）A0B 1C1 或 4D 无法确定3 空间不重合的三个平面可以把空间分成（）A 4 或 6 或 7 个部分B 4 或 6 或 7 或 8 个部分C 4 或 7 或 8 个部分D 6 或 7或 8 个部分4下列说法正确的是（）一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; 一条直线上有两点在一个平面内 , 则这条直线在这个平面内; 若线段AB, 则线段AB 延长线上的任何一点必在平面内 ; 一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内 . A B C D 5三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（）A1 个B1 个或 2 个C1 个或 3 个D3 个1.2.2 空间两直线的位置关系重难点：理解异面直线的概念，能计算异面直线所成角；掌握公理4 及等角定理OCABO1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思ABDCNMP公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补空间两条直线的位置关系有且只有三种：（1）相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点。（ 2）平行直线：同一平面内，没有公共点；（ 3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。例题 1如图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=14cm,BD=14cm，M，N 分别是AB，CD的中点， MN=72cm，求异面直线AC 与 BD 所成的角巩固练习：1若 a ,b 是异面直线 , b, c 是异面直线 , 则 a ,c 的位置关系是（）A相交、平行或异面B 相交或平行C异面D平行或异面2已知 a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a，那么 c 与 b（）A 一定是异面直线B一定是相交直线C 不可能是平行直线D不可能是相交直线3M、N 分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 BB1、B1C1的中点， (1)求 MN 与 AD 所成的角；(2)求 MN 与 CD1所成的角4空间四边形ABCD中, AD=1 , BC=3, BD=132, AC=32, 且ADBC, 则异面直线AC和BD 所成的角为 _5. 正方体 AC1中， E 、F分别是 AB、BB1的中点，则A1E与 C1F所成的角的余弦值是A12B22C25D215 1.2.3 直线与平面的位置关系重难点： 了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义； 线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化直线与平面的位置关系有且只有三种：（1）直线在平面内：有无数个公共点；（2）直线与平面相交：有且只有一个公共点；（3）直线与平面平行：没有公共点。巩固练习：1下面命题正确的是（）A若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面没有公共点B若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点C若一条直线与一个平面有公共点，直线与这个平面相交精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思MBFCNDAEDEMABCNPD直线在平面外，则直线与平面相交或平行2下列命题正确的个数是（）若直线上有无数个点不在平面内, 则l; 若直线与平面平行 , 则与平面内的任意一条直线都平行; 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; 若直线与平面平行 , 则与平面内的任意一条直线都没有公共点 . A0 个B 1 个C 2 个D3 个直线与平面平行的判断定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 （由线线平行线面平行）符号语言：aba且,ab直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行（线面平行线线平行）符号语言：a，aba,b例题已知四面体ABCD中， M，N 分别是ACDABC和的重心，求证：BD平面 CMN；巩固练习1M，N，P分别为空间四边形ABCD的边 AB，BC，CD上的点，且AM：MB=CN：NB=CP ：PD. 求证： （1）AC平面 MNP； （2）平面 MNP 与平面 ACD的交线 AC1.2.4 平面与平面的位置关系：（1）两个平面平行：没有公共点；（2）两个平面相交：有一条公共直线。平面与平面平行的判断定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行（线面平行面面平行）符号语言：aPbaba,，b平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行（面面平行线面平行）例题：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面11DABBDC1。巩固练习：1. 平面与平面平行的条件可以是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思A内有无穷多条直线都与平行。 B直线a，a，且直线a不在内，也不在内。 C直线,a直线,b且a，bD内的任何直线都与平行。2下列命题中正确的命题是（）平行于同一直线的两平面平行; 平行于同一平面的两平面平行; 垂直于同一直线的两平面平行; 与同一直线成等角的两平面平行. A和B和C和D和和3 设直线,m,平面,下列条件能得出的是（）A,m,且l，mB, m,lmC,m,且lmD|,|m,且lm 1.2.5 直线与平面垂直定义： 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面垂直，记作l直线与平面垂直的判断定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 （线线垂直线面垂直）符号语言：baAbablal,l直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行例 1：如图的多面体是直平行六面体ABCDA1B1C1D1经平面AEFG 所截后得到的图形，其中 BAEGAD45 ，AB2AD2，BAD 60 . (1)求证： BD平面 ADG；(2)求平面 AEFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值巩固练习：1下面条件中 , 能判定直线平面的一个是（）A与平面内的两条直线垂直B与平面内的无数条直线垂直C与平面内的某一条直线垂直D与平面内的任意一条直线垂直1.2.6 平面与平面垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直。平面与平面垂直的判断定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直 （线面垂直面面垂直）平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直巩固练习：1对于直线m、n 和平面 、 , 下列能判断 的一个条件是（）Anm，m，nBnm，nm,Cmn，n，mDmn，m，n2已知直线l平面 ,直线 m平面 ,有下面四个命题: ml/ml /ml /ml其中正确的两个命题是（）A与B与C与D与3把直角三角形ABC沿斜边上的高CD折成直二面角A-CD-B后, 互相垂直的平面有_对4在正 ABC中， ADBC于 D，沿 AD 折成二面角BAD C后， BC=21AB，这时二面角BADC大小为A600 B 900C450D12005如图 ,AB 是圆 O 的直径 ,PA垂直于圆O 所在的平面 ,C是圆周上不同于A、B 的任意一点求证 :平面 PAC垂直于平面PBC 6.如图所示，ABCDPA矩形所在的平面，NM ,分别是PCAB,的中点，（1）求证：MN平面PAD；（2）求证：CDMN；（3）若045PDA，求证：平面BMN平面PCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1直线的方向向量与直线的向量方程(1)直线的方向向量在空间中，任取一定点O 为基点，那么空间任一点P 的位置可由向量OP来表示我们也把 OP叫点 P 的位置向量如图(a)所示空间任一直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定如图 (b)所示，点 A是直线 l 上一点，向量a表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任一点P，有APta，这样点 A 和向量a，不仅可以确定直线l 的位置，还可具体表示出l 上的任意点直线l 上的向量e以及与e共线的向量叫做l 的方向向量(2)直线 l 的向量方程由(1)可知，直线l 上任一点P，一定存在实数t，使 AP ta解此式可以看作是直线l 的参数方程直线l 的参数方程还可以作如下表示：对空间任一确定的点O(如图所示 ) 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在唯一的实数t 满足等式： OPOAta如果在l上取 ABa，则上式可化为：OPOAtABOAt(OBOA)(1 t)OAtOB.或或都叫做空间直线的向量参数方程t12时， M 为线段 AB 的中点， OM12(OAOB)为线段 AB的中点的向量形式(3)平面的向量形式空间中平面的位置可以由上两条相交直线来确定，如图所示设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a，b，P 为平面上任意一点，由平面向量的基本定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得 OPxayb，这样点O 与向量a，b就确定了平面的位置精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2平面的法向量(1)法向量的定义已知平面 (如图所示 )，直线 l ，取 l 的方向向量a，则a ，则称a叫平面的法向量已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当选取平面的一个法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面 ，那么称向量n垂直于平面 ，记作n ，此时，我们把向量n叫做平面的法向量(2)平面 的法向量的求法先在平面内任找两不共线的向量a和b. 设平面 的法向量为n，则na且nb，即00nbna求出法向量n，n为一族平行向量，不唯一，为了便于运算，我们经常利用这一族平行向量中形式(坐标 )最简单的一个题型一法向量的求法例 1 求ABC 所在平面的法向量，其中A(1， 1,0)、B(1,1,1)、C(3,4,3)例题 2： 如图所示， 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是正方形， AA1 2AB4，点 E 在 CC1上且 C1E3EC . (1)证明： A1C平面 BED； (2)写出平面DA1E 的一个法向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用设空间两条直线l1、l2的方向向量分别为e1、e2，两个平面1、2的法向量分别为1n、2n，则有下表：平行垂直l1与 l2e1e2e1e2l1与 1e1n1e1n11与 2n1n2n1n24.利用空间向量证明平行关系与垂直关系(1)证明线面平行或面面平行证明线面平行：证明这条直线的方向向量与这个平面的法向量垂直，依据是直线与平面平行的定义 直线与平面无公共点；证明面面平行：证明两个平面的法向量平行，依据是垂直于同一直线的两个平面平行；(3)证明平行与垂直结论一： 设 A、B 是直线 m 上的点， C、D 是直线 n 上的点， 现有 mn? AB CD(AB、CD 不重合 )；m n? AB CD0.利用这一结论还可以进一步解决直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面平行及平面与平面垂直等问题结论二：设n是平面 的一个法向量，直线a?平面 ，若 an，则 a . 结论三：设n是 的一个法向量，若an，则 a . 题型二线面平行的证明方法已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F 分别是 BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1平面 ADE ；(2)平面 ADE 平面 B1C1F. 题型三面面平行的证明方法例 3 在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD平面 CB1D1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(2)证明线面垂直证明这条直线的方向向量与平面的法向量平行，依据是两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面；证明面面垂直：转化为证明线面垂直题型四线面垂直的证明方法例 4 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E 是 BB1的中点，F 是 CD 的中点求证：D1F平面 ADE . 巩固练习： 1.如图所示，四棱锥PABCD 的底面是正方形，PD底面ABCD，点 E在棱 PB 上求证：平面AC平面 PDB . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2.如图所示，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE，FAFE， AEF 45 . (1)求证： EF 平面 BCE；(2)设线段 CD、AE 的中点分别为P、M，求证： PM 平面 BCE . 5求有关的角在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等关于角的计算，均可归结为求两个向量的夹角对于空间向量a，b，有|,cosbababa.利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题结论一：设Aa，Ba，Cb，D b 且直线 a 与 b 是异面直线，则AB，CD就是异面直线a 与 b 所成的角或它的补角结论二：如图，设Aa，Ba，n是平面的一个法向量，如果AB，n是一个锐角，则直线a与平面 所成的角就是AB，n的余角，即2 AB，n；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思如果 AB，n是一个钝角，则直线a 与平面 所成的角就等于AB，n2. 题型五：求直线与平面所成的角例 5：如图所示，在三棱锥PABC 中， PB平面 ABC， ABC 是直角三角形，B90 ，ABBC 2， PAB45 ，点 D、E、F 分别为 AC、AB、BC 的中点(1)求证： EF PD；(2)求直线 PF 与平面 PBD 所成的角的余弦值；(3)求二面角EPFB 的正切值结论三：设 、是二面角 l 的两个平面，m，n分别是 、的法向量，如果当m，n的起点都在二面角的面内，方向均指向二面角的内部或均指向二面角的外部，则这个二面角的大小就是 m，n；如果m与n的方向一个指向二面角的内部，另一个指向二面角的外部，则这个二面角的大小就是m，n6求有关的距离立体几何中涉及的距离问题较多，如两点距离，点与线的距离，点、线与平面的距离，两异面直线的距离等若用向量来处理这类问题，则思路简单，解法固定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(1)利用 |AB|AB|AB AB可以求解有关距离问题（2）点到面的距离问题的求法设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为|nnABd例 6.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，(1)求 D1到平面 A1BD 的距离；(2)求 DD1与平面 A1BD 所成的角的正弦值巩固练习：（2008）如图， 正四棱柱1111ABCDA B C D中，124AAAB，点E在1CC上且ECEC31（）证明：1AC平面BED；（）求二面角1ADEB的大小A B C D E A1 B1 C1 D1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（20XX 年） 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCDEF， ，分别为ABSC，的中点（1）证明EF 平面SAD；（2）设2SDDC，求二面角AEFD的大小A E B C F S D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页