数列解题技巧归纳总结等差数列与等比数列：等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义1nnaad1(0)nnaq qa分类递增数列：0d递减数列：0d常数数列：0d递增数列：11010 01aqaq，或，递减数列：11010 01aqaq，或，摆动数列：0q常数数列：1q通项1(1)()nmaandpnqanm d其中1,pd qad11nn mnmaa qa q（0q）前n项和211()(1)22nnn aan ndSnapnqn其中1,22ddpqa11(1)(1)1(1)nnaqqSqnaq中项, ,2a b cbac成等差的充要条件:2, ,a b cbac成等比的必要不充分条件：主要性质等和性： 等差数列na若mnpq则mnpqaaaa推论：若2mnp则2mnpaaa2n kn knaaa12132nnnaaaaaa即：首尾颠倒相加，则和相等等积性： 等比数列na若mnpq则mnpqaaaa推论：若2mnp则2()mnpaaa2()n kn knaaa12132nnnaaaaaa即：首尾颠倒相乘，则积相等其1、等差数列中连续m项的和，组成的新数列是等差数列。即：232,mmmmmsssss等差，公差为1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。 即：232,mmmmmsssss等比，公比为mq。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页它性质2m d则有323()mmmsss2、 从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：14710,a a aa（下标成等差数列）3、,nnab等 差 ， 则2na，21na，nkab，nnpaqb也等差。4、等差数列na的通项公式是n的一次函数，即：nadnc(0d) 等差数列na的前n项和公式是一个没有常数项的n的二次函数，即：2nSAnBn(0d) 5、项数为奇数21n的等差数列有：1snsn奇偶nssaa奇偶中21(21)nnsna项数为偶数2n的等差数列有：1nnsasa奇偶，ssnd偶奇21()nnnsn aa6、,nmam an则0m nanmss则0()m nsnm,nmsm sn则()m nsmn 2 、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：14710,a a aa（下标成等差数列）3、,nnab等比，则2na，21na，nka也等比。其中0k4、等比数列的通项公式类似于n的指数函数，即：nnacq，其中1acq等比数列的前n项和公式是一个平移加振幅的n的指数函数，即：(1)nnscqc q5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法：1()nnaad 常数2、中项法：112(2)nnnaaan证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法：1()nnaqa常数2、中项法：11(2,0)nnnnaaana2（）设元技三数等差：, ,ad a ad三数等比：2, ,aa aqa aq aqq或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页巧四数等差：3 ,3ad ad ad ad四数等比：23,a aq aqaq联系1、若数列na是等差数列， 则数列naC是等比数列， 公比为dC，其中C是常数，d是na的公差。2、若数列na是等比数列，且0na，则数列logana是等差数列，公差为logaq，其中a是常数且0,1aa，q是na的公比。数列的项na与前n项和nS的关系：11(1)(2)nnnsnassn数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果na等差，nb等比，那么nna b叫做差比数列）即把每一项都乘以nb的公比q， 向后错一项， 再对应同次项相减， 转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列11nnaa和11nnaa（其中na等差）可裂项为：111111()nnnnaadaa，1111()nnnnaadaa等差数列前n项和的最值问题：1、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最大值。（）若已知通项na，则nS最大100nnaa；（）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最大；2、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最小值（）若已知通项na，则nS最小100nnaa；（）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最小；数列通项的求法：公式法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页已知nS（即12( )naaaf nL）求na， 用作差法 ：11,(1),(2)nnnSnaSSn。已知12( )na aaf ng g L g求na，用作商法：(1),(1)( ),(2)(1)nfnf nanf n。已知条件中既有nS还有na，有时先求nS，再求na；有时也可直接求na。若1( )nnaaf n求na用累加法 ：11221()()()nnnnnaaaaaaaL1a (2)n。已知1( )nnaf na求na，用累乘法 ：121121nnnnnaaaaaaaaL(2)n。已知递推关系求na，用构造法 （构造等差、等比数列）。特别地 ， （1）形如1nnakab、1nnnakab（,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列 后，再求na；形如1nnnakak的递推数列都可以除以nk得到一个等差数列后，再求na。（2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。（3）形如1knnaa的递推数列都可以用对数法求通项。（7） （理科） 数学归纳法 。（8）当遇到qaadaannnn1111或时， 分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1) 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d，q 为常数）例 1、已知 an 满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。例 1、解an+1-an=2 为常数an是首项为1，公差为2 的等差数列an=1+2（n-1 ）即 an=2n-1 例 2、已知na满足112nnaa，而12a，求na=？（2）递推式为 an+1=an+f（n）例 3、已知na中112a，12141nnaan，求na.解：由已知可知)12)(12(11nnaann)121121(21nn令 n=1， 2， （n-1 ） ，代入得（ n-1 ）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+ +（an-an-1）2434)1211(211nnnaan说明只要和f （1）+f （2）+f （n-1 ）是可求的，就可以由an+1=an+f （n）以 n=1，2，（n-1 ）代入，可得n-1 个等式累加而求an。(3) 递推式为 an+1=pan+q（p，q 为常数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页例 4、na中，11a，对于 n1（n N）有132nnaa，求na. 解法一：由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）因此数列 an+1-an是公比为3 的等比数列，其首项为a2-a1=（3 1+2）-1=4 an+1-an=43n-1an+1=3an+2 3an+2-an=43n-1 即 an=23n-1-1 解法二： 上法得 an+1-an是公比为3 的等比数列， 于是有：a2-a1=4， a3-a2=4 3， a4-a3=4 32， ，an-an-1=4 3n-2，把 n-1 个等式累加得：an=23n-1-1 (4) 递推式为 an+1=p an+q n （p，q 为常数）)(3211nnnnbbbb由上题的解法，得：nnb)32(23nnnnnba)31(2)21(32 (5) 递推式为21nnnapaqa思路：设21nnnapaqa, 可以变形为：211()nnnnaaaa，想于是 an+1- an是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。求na。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页(6) 递推式为 Sn与 an的关系式关系；（2）试用 n表示 an。)2121()(1211nnnnnnaaSS11121nnnnaaannnaa21211上式两边同乘以2n+1得 2n+1an+1=2nan+2 则2nan 是公差为 2 的等差数列。2nan= 2+ （n-1 ） 2=2n 2数列求和问题的方法（1） 、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。13 5 (2n-1)=n2【例 8】求数列 1， （3+5） ， （7+9+10） ， （ 13+15+17+19） ，前 n 项的和。解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n 项中，共有1+2+n=)1(21nn个奇数，最后一个奇数为：1+21n(n+1)-12=n2+n-1 因此所求数列的前n 项的和为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页（2） 、分解转化法对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1 （n2-1 ）+ 2 （n2-22）+3 （n2-32） +n（n2-n2）解 S=n2（1+2+3+ +n）- （ 13+23+33+n3）（3） 、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：12363nnnnnSCCnCL例 10、解0120363nnnnnnSCCCnC?L Sn=3n2n-1 （4） 、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和例 11、求数列 1，3x，5x2, ,(2n-1)xn-1前 n 项的和解设 Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1(2)x=0时， Sn=1(3) 当 x0 且 x1 时，在式两边同乘以x 得 xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn， -，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn(5) 裂项法：把通项公式整理成两项( 式多项 ) 差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页例 12、求和11111 53 75 9(21)(23)nn?L注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例 13】等差数列 an的首项 a10，前 n 项的和为Sn，若 Sl=Sk（l k）问 n 为何值时Sn最大？此函数以n 为自变量的二次函数。a10 Sl=Sk（l k）， d0 故此二次函数的图像开口向下 f （l ） =f （k）2方程思想【例 14】设等比数列 an前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解依题意可知q1。如果 q=1，则 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0 与等比数列不符。 q1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页整理得 q3（2q6-q3-1 ） =0 q0 此题还可以作如下思考：S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），由 S3+S6=2S9可得 2+q3=2（1+q3+q6）， 2q6+q3=03换元思想【例 15】已知 a，b，c 是不为 1 的正数， x，y，zR+，且求证： a，b， c 顺次成等比数列。证明依题意令ax=by=cz=k x=1ogak，y=logbk，z=logck b2=ac a，b， c 成等比数列（a，b，c 均不为 0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页