学习好资料欢迎下载第四章三角函数式的变换上一章介绍了角的有关概念和度量，重新定义了各种三角函数，那么相同角或不同角的各种三角函数间有无对应关系，如何转换是我们要进一步了解的，通过学习要能解决三角函数较为复杂的诸如求值、化简、证恒等式等问题 41 同角三角函数关系式1掌握同角三角函数的基本关系式2能应用同角三角函数关系式进行化简和证明一个角的各种三角函数间有无对应关系呢？若2 个锐角 ，分别满足sin =3cos ，4sin =tan ，那么 ，的各种三角函数能否确定？分别为多少？一同角三角函数的关系当角 确定后， 的正弦、余弦、正切值就被确定，对应的三角函数线也随之确定由于三角函数线源出同一单位圆，它们之间必定存在某些关系如图8-1 ，设角 的终边与单位圆交于点 P，则点 P坐标为 (cos ，sin ) ，再注意 OP=1 ，结合勾股定理可得 sin2+cos2=1；又直接由正切函数的定义知sintancos所得的两个公式，即为同角三角函数的两个基本关系：1平方关系22sincos1 ； 2 商数关系sintancos二公式的应用（ 1）已知某任意角的正弦、余弦、正切中的一个，求出其余两个；（ 2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式例 1已知53cos，是第三象限角，求角的其它三角函数值解53cos，是第三象限角，54cos1sin2，34cossintan. 学习目标任务引入主要知识yxPM1 O图 8-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 47 页学习好资料欢迎下载例 2已知125tan，求角的其它三角函数值. 解125tan，是第一或第三象限的角. 222221213cos1cossin1tan1，当是第一象限角时，1312cos，5sintancos13. 类似当是第三象限角时，135sin,1312cos. 例 3已知cos2sin，求值cossin3cos2sin；cossin2sin2解 sin2cos，sin2cos4cos43sincos5cos5；2222sin2sincossin2sincossincos22tan2tantan185例4 化简三角式：21cos 220解21cos 220 =2sin 220 =|sin220 |=-sin220；例5 已知 sin +cos=12，求 (1)sincos； (2)sin3+cos3解 (1) 对sin +cos =12两边平方，得 sin2+2sin cos+cos2=14，因为 sin2+cos2=1，所以 2sincos=-34，sin cos=-38(2)sin3 +cos3=(sin +cos) (sin2-sin cos+cos2) =12(1-sincos)=12(1+38)=1116现在来看前面提出的问题实施任务精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 47 页学习好资料欢迎下载sin =3cos ，4sin =tan ，由同角三角函数的两个基本关系式得：,41cos,3tan,101tancoscossincos122222.15tan,415cos1sin;10103sin,1010cos2 1. 已知 sin 513，求 cos，tan 的值 . 2. 已知 tan=4，求 sin，cos3. 化简（1）1tan1sincos；（2）2sin1cossin4. 证明题（1）244cos21cossin；（2）xxxx2222sintansintan例 4已知是三角形内角，51cossin，求tan，cossin的值 . 解1sincos5，21sincos25，242sincos025，2512cossin；4912sincos25，249sincos25. 又 是三角形内角，7sincos5，4sin5，3cos5，4tan3同角三角函数关系的拓展三角函数有六个，对于同一个角， 这六个三角函数之间都存在关系根据六个三角函数的定义，可列出这些关系是：应用举例思考练习知识拓展精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 47 页学习好资料欢迎下载倒数关系： sin cos =1， csc sec =1，tan cot =1；商数关系：sintancos，coscotsin；平方关系： sin2+cos2=1，1+tan2=sec2，1+cot2 =csc2上述三种、 八个关系式， 称为同角三角函数的基本恒等式恒等式是指等式中的三角函数值有意义的角 都成立， 同角三角函数的基本恒等式是三角函数最重要的特征之一，后继课程经常要用到，请同学熟记习题 41（A组）1. 已知 cos =13，在第四象限，求 的其余三角函数值； 2. 已知12cos13，求sin和tan. 3. 已知 sin - cos =2，求下列各式的值： (1)sincos； (2)sin3- cos3 4. 已知 tan =2，求下列各式的值： (1)3sincos5sin2cos； (2)sin cos 5. 化简21sin 40 为（）. A. cos40 B. sin40 C. cos40 D sin406. 若4cos5，且 在第三象限，则tan =（）. A. 34 B. 34 C. 43 D. 437. 若 tan =3，且322，则 sin =（）. A. 12 B. 32 C. 12 B. 328. 已知 sin2cos，则1tan . （ B组）1. 已知tan3，且为三角形内角，那么cos的值为（）A、3 B、2 33 C、12 D、2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 47 页学习好资料欢迎下载2. 已知tan2，则sincossincos的值为（）A、5 B、5 C、3 D、3 3. 若4sin5，且是第二象限角，则tan的值等于（） A 、43 B 、34 C、34 D、434. 已知2sinsin1，则24coscos5. 若10,sincos22xxx，则111sin1cosxx6. 已知8cos17，求sin,tan. 7. 已知tan3，求2sin3sincos1的值8. 化简题：21tan1sin（其中是第二象限角）9. 求证三角恒等式：（1）sin1cos1cossin；（ 2）2 cossincossin1sin1cos1sincos 42 诱导公式1理解三角函数的诱导公式及其应用2能应用诱导公式，化简和证明不太复杂的三角式子2,与角的终边位置不同， 这些角的三角函数间有何对应关系是我们这一节要着重讨论的问题学习目标任务引入精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 47 页学习好资料欢迎下载正弦、余弦、正切函数的诱导公式据三角函数的定义可知，角的三角函数值与其说是取决于，还不如说取决于的终边位置 两个不同的角，若终边重合，对应的三角函数值必定相等由此立即可得下面三个等式： sin(+2k)= sin， cos(+2k)= cos， (kZ) tan(+2k)= tan，又据三角函数值与对应的三角函数线所表示的数量相等，利用表示三角函数线的线段之间相等关系，我们还可以得到一些不同的角的三角函数值之间的相等关系 (1)负角公式考察图 8-2 设角的终边交单位圆于点P1，角 -的终边交单位圆于点 P2，P1M, P2M 垂直于 x轴，应用直角三角形恒等关系可知P1M=P2M ，OM=OM注意作为有向线段来看，P1M, P2M, OM 分别是和-的正弦线、余弦线，且P1M, P2M表示的数量异号，于是有 sin=sin(-) ，cos=cos(-)；由同角关系式，又有 tan(-)=)cos()sin(=cossin=-tan合之，即得下列一组公式： sin(-)=- sin，cos(-)=cos；tan(-)=-tan他们表示了任意一个角( 对正切函数要求的终边不在 y轴上 ) 与其对应的负角，同名三角函数之间的关系，故叫做负角公式 (2)诱导公式再考察图 8-3 设角的终边交单位圆于点P1，角-的终边交单位圆于点P2，P1M1, P2M2垂直于 x轴，应用直角三角形恒等关系可知 P1M1=P2M2，OM1=OM2注意作为有向线段来看，P1M1, P2M2, OM1, OM2分别是和 -的正弦线、余弦线，且OM1, OM2表示的数量异号，于是有 sin=sin(-) ，cos =-cos(-) ；应用同角三角函数的基本关系式，又有 tan(-)=)cos()sin(=cossin=-tan合之，又得下列一组公式： sin(-)=sin，cos(-)=-cos；tan(-)=-tan主要知识yxP2 O图 8-2 P1 M-yxP2 M2O图 8-3 P1 M1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 47 页学习好资料欢迎下载在图 8-2 中的角画成锐角，这纯粹是为了便于观察，其实对任意的( 正切函数要求的终边不在 y轴上 ) ，上述公式都是成立的下面公式推导中也有同样情况，不再赘述故统称诱导公式为了方便对照，下面把这些公式列成如下的表格同名三角函数角变换表角变换函数名-+2 -sin-sinsin-sin-sincoscos-cos-coscostan-tan-tantan-tan有些同学发愁了：这么多的公式，我怎么记得住？其实并不复杂，公式是很有规律的，可以总结成口诀：“函数名不变，符号看象限”意思是：不管角的实际大小，恒假想它是一个正的锐角，即(0,2) ，按这个假想可确定变换后的角所在的象限，例如2 -必定是第四象限角，变换后函数值的正负号，就是你在变换后的函数值之前所应该加的符号例1求下列三角函数值： (1)sin114；(2)cos76解 (1)sin114=sin(2+34)=sin34=sin(+4)=sin4=22； (2)cos76=cos2+(-65)=cos(-65)=cos65=cos(-6)=-cos6=-32例2化简三角式sin(-)cos(2)tan()cos(2 )解sin( -)cos(2)tan()cos(2 )=)(cos)(tan)(cos)sin(22 =)cos()tan()cos(sin2=sincostancos=sintan=cos 例3求下列各三角函数值：(1)sin585；(2)tan(-116) 解 (1)解法 1 sin585=sin(360+225 )=sin(180+45 )=-sin45=-22；解法 2 sin585=sin(720-135 )=sin(-135)=-sin(135)=-sin45=-22； (2) tan(-116)=- tan116=-tan(26)=-tan(-6)=tan6=33解(1), (2)题这类问题的核心，是把一个求任意角的三角函数值问题，通过诱导公精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 47 页学习好资料欢迎下载式转化为求一个在0,2 中的角1的三角函数值问题下面的框图是这种转化过程的一般程式： 1. 求下列三角函数值：(1)sin(-4) ；(2)cos(-30) ；(3) tan43；(4)sin(-750). 2. 求证下列等式： (1)sin(32-)=-cos；(2)cos(32-)=-sin例 4判断下列函数的奇偶性：;cos21xxf;sin2xxxg解（1）因为函数f(x)的定义域是R,且 f(-x)=2-cos(-x)=2-cosx=f(x), 所以 f(x ）是偶函数 . （2） 因为函数 g(x) 的定义域是R，且 g(-x）=-x -sin(-x)=-(x-sinx)=g(x), 所以 g(x) 是奇函数 . 习题 42 （A组）1. 求三角函数值：)150sin(；)43cos(；)611tan(；)315cot( . 2. 化简下列各式：应用举例思考练习知识拓展任意角的三任意正角的0 2间角的0/2 间角的0间角的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 47 页学习好资料欢迎下载（1）（180cos)cos()180tan()360tan()sin()180sin(；（2）)3tan()cos()tan()tan()2sin(. 3. 证明下列三角恒等式：tan()sin()cos(- )tan(-)=tan. （B组） 1. 求下列三角函数的值 (1)cos316；(2)sin(-253) ；(3)tan(-334) ；(4)tan1020； (5)cos(-114) 2. 化简下列各式： (1)sin()cos()sin()cos()22； (2)sin() tan(5)2cos(4)sin()； (3)cos() sin(2)tan() cos(2 )； (4)tan(2)sin(2)cos(6)cos()sin(5)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 47 页学习好资料欢迎下载 43 和角公式1掌握两角和与差的三角函数公式2应用两角和与差的三角公式进行计算、化简、求值如图 8-4 ，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m 和 15m ，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角为CAD=45，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD图 8-4 我们在研究三角函数时，经常遇到这样的问题：已知任意角、的三角函数值，如何求出+或-的三角函数值？观察下式：090cos)3060cos(, 而232130cos60cos, 所以30cos60cos)3060cos(这表明，两角和或差的三角函数一般不等于两角三角函数的和或差. 事实上，对任意角、，我们不难证得以下结论：sin()sincoscossincos()coscossinsin上述公式称为三角函数的两角和及两角差公式下面证明 sin(+ ) =sincos+ cos sin如图 8-5，在任意三角形ABC中，做 ADBC, BAD=,CAD=. A B D C 图 8-5 由三角形面积公式，得SABC=21AC AB sin(+ ), 主要知识任务引入学习目标D A B C 9 15 E 45 -45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 47 页学习好资料欢迎下载 SABD=21AB AD sin, SADC=21ACAD sin, SABC=SABD+SADC21ACAB sin(+ )=21AB AD sin+21ACAD sin, 两边同除以21AC AB ，得 sin(+ )=.sinsinABADACAD.cos,cosABADACAD而 sin(+ )=sincos +cossin这个公式对任意的角和都成立，其余公式均可由此公式推得。当角、或Zkk2都不等于时，还可推得：tantantan1tantan这组公式称为三角函数的两角和与两角差的公式，又称和角公式. 如下所示，可分别简记为S+，S-，C-，C+，T+，T-。sin(+ ) =sincos +cossin(S+)sin(- ) =sincos -cossin(S-) cos(- ) =coscos + sinsin(C-) cos(+ ) = coscos - sinsin(C+)tan(+ )=tantan1tantan(T+)tan(- )=tantantantan1 (T-)三角函数的和角公式的应用，是一类重点题型，应熟练掌握例 1 不查表，求sin75，sin15的值解sin75=sin(45+30 )=sin45cos30 +cos45sin30=2322+2122=426； sin15=sin(45-30 )=sin45cos30 -cos45sin30=2322 -2122=426例 2 不查表，求cos105及 cos15的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 47 页学习好资料欢迎下载解 cos105=cos(60 +45)=cos60 cos45-sin60 sin45 =12322222=462； cos15 =cos(45 -30 )= cos45 cos30+sin45 sin30 =232 12222=426例 3已知 cos=-54, (2 ) ，求 cos(6-), cos(6+ ) 解因为 cos-54，且2 ，所以 sin=2)54(1=53 cos(6-)=cos6cos+sin6sin =341 3()252 5=10343； cos(6+ )= cos6 cos-sin6 sin =341 3()252 5=10343例 4 不查表，求下列各式的值(1)tan75； (2)34tan71tan-134tan71tan解 (1) tan75= tan(45+30 )=30tan45tan-130tan45tan=3333-=2+3； (2)34tan71tan-134tan71tan=tan(17+43 )= tan60=3例 5 不查表，求下列各式的值(1) 15tan115tan1； (2)tan23+tan22 +tan23 tan22 解 (1)15tan115tan1=15tan45tan115tan45tan=tan(45+15 )=tan60=3； (2) 因为 tan(23+22 )=22tan32tan122tan32tan，所以tan23 +tan22 =tan(23+22 )(1- tan23tan22 ) ，原式 =tan45 (1-tan23tan22)+tan23tan22 =1-tan23 tan22+ tan23 tan22 =1 例 6. 求函数y=sinx+cosx的最大值和最小值，并判断它是否是周期函数解y=sinx+cosx=2(21 sinx+21cosx) =2(sinx cos4+ cosxsin4)=2sin(x+4). 当x+4=2+2k (kZ) ，即x=4+2k, (kZ) 时，y达到最大ymax=2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 47 页学习好资料欢迎下载当x+4=-2+2k(kZ) ，即x=-43+2k, (kZ)时，y达到最小ymin=-2因为 sin(x+4) 是以 2 为周期的周期函数， 所以y=sinx+cosx是周期是2 的周期函数注意遇到三角式asin+bcos时，常用技巧是asin+bcos =2222bababacossin，进而简化为22basin(+ ) ，从而很快求出最值，并方便讨论有关性质其中abbaababtan,cos,sin2222所以例 7 若, 均为锐角，且cos=552， cos =10103，求+ 的值解因为、均为锐角，所以 sin=2cos1=2)552(1=55， sin=2cos1=2)10103(1=1010， cos(+ )=cos cos- sin sin=2531051025105102因为 0 + ，所以+ =4分析作AECD，有BD=AE，设AE为x，只需求出x解如图 8-4 ，作AECD，因为ABCD,AB=9,CD=15, 所以DE=9, EC=6设AE=x, CAE= ，因为CAD=45，所以DAE=45-；在 RtAEC和 RtAED中，有tan=x6, tan(45-)=x9，因为 tan(45 -)=tan1tan1，所以x9=xx6611，化简，得 x2-15 x-54=0，解得x=18，x=-3( 舍去 ) 答：两建筑物底部间的距离BD等于 18m 实施任务精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 47 页学习好资料欢迎下载 1. 不查表，求下列三角函数的值： (1)cos75 (2)cos(-15 ) ； (3)cos80cos20+sin80 sin20 ； (4)cos20cos25-sin20 sin25 ；(5)cos22.5cos22.5 -sin22.5sin22.5 2 证明 (1)cos(+2)=-sin； (2)cos(-)=cos3已知 sin=32, (2,) ，求 cos(3+ ), cos(3-) 4已知 sin=1715, cos=135, , (2,)，求 cos(+ ), cos(-) 的值5. 不查表，求下列各式的值： (1)tan15； (2)tan105； (3)33tan21tan133tan21tan； (4)3tan125tan13tan125tan6. 不查表，求下列各式的值(1)75tan175tan1； (2)tan17 +tan43+3tan17 tan43例 8 如图 8-6 ，三个相同的正方形相接，求证+ =4证明由图 8-6 易知 tan=21, tan=31，且,(0,2) tan(+ )=tantan1tantan=312113121=1，因为,(0,2) ，所以+(0, ) 在区间 (0,) 内，正切值为1 的角只有1 个，即 tan4=1，所以+ =4习题 43 （A组）1. 不查表，求下列各式的值应用举例知识拓展思考练习8-6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 47 页学习好资料欢迎下载 (1)sin105；(2)sin165；(3)sin(-125) ；(4)sin13cos17 +cos13 sin17； (5)sin70cos25 -sin25cos70 2. 化简 (1)sin(+ )cos-cos(+ )sin； (2)sin(-)cos+cos(-)sin 3已知 sin=1715,(2,) ，求 sin(3+ ), sin(3-) 4已知 sin=32, cos =-43，且 , 都是第二象限的角，求 sin(+ ), sin(-) 1 、5. 已知 tan=52，tan=73，求 tan(+ ) 6. 已知 tan=23，tan=53，求 tan(-) 7. 求下列函数的最小值和最大值：(1)y=xxsincos2123； (2)y=2(sinx-cosx)（B组）1不查表，求值(1)cos65 sin70 +sin65 sin20 ； (2)5.22tan15.22tan2； (3)1-22cos8；(4)sin40(tan10 -3) ； (5)cos 10cos20cos40 2已知+ =4，求 (1+tan)(1+tan) 的值 3已知 tan(+ )=52, tan(-4)=41，求 tan(+4) 的值 4若, 是锐角，且满足cos=54, cos(+ )=53，求 sin的值 5已知 sin=53, (2,), tan(-)=21，求 tan(-2) 的值 6已知, 是锐角，且tan, tan是方程 6x2-5x+1=0 的两个根，求+ 的值2、已知等腰三角形的顶角的余弦等于257，求它底角的正弦、余弦和正切3、求证(1)tan1tan1=tan(4) ； (2)tan1tan1=tan(4) (3)sin2x(cot2x-tan2x)=4cos2x； (4)2sin(2+x)cos(2-x)cos+(2cos2x-1)sin=sin(2x+ ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 47 页学习好资料欢迎下载44 倍角公式1掌握三角函数的倍角公式2应用三角函数的倍角公式进行计算、化简、求值图 8-7 2002 年在北京召开的国际数学家大会上，会标是根据我国古代数学家赵爽所创立的弦图为基础设计的，由4 个全等直角三角形和一个小正方形构成一个大的正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积为25，设小直角三角形中较小的角为，那么 cos2=? 倍角公式在和角公式S+, C+, T+中，取=，就可得出相应的二倍角的三角函数公式：sin2 =2sin cos ；(S2)cos2 =cos2-sin2=2 cos2 sin2；(C2)tan2 =2tan-12tan(T2)例 1已知 sin =135, (2, )，求 sin2 , cos2 , tan2 的值解因为 sin =135, (2, )，所以cos =-2sin1=-2)135(1=-1312sin2 =2sin cos =2135(-1312)=-169120；cos2 =cos2-sin2=(-1312)2- (135)2=169119；tan2 =2cos2sin=-169120169119=-119120例 2证明恒等式tancossin22cos2sin2sin2证明左边 =cossin2)sin(cos2sincossin2222=)1cos2(cos)1cos2(sin=tan=右边所以原式成立例 3证明 sin50 (1+3tan10 )=1主要知识任务引入学习目标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 47 页学习好资料欢迎下载证明左边 =sin50 (1+10cos10sin3)=sin5010cos10sin310cos=2sin501010102321cossincos=2 sin5010cos10sin30cos10cos30sin=2sin5010cos40sin=10cos50cos50sin2=10cos100sin=10cos10cos=1=右边所以原式成立在例 3 的证明过程中，使用了正弦函数的和角公式、倍角公式，两次应用了诱导公式，还使用了分子、分母同除以2 的技巧，其目的是要把看似互不关联的三角函数值关联起来，应用已知公式予以简化，达到证明的目的可见熟悉公式并灵活应用的重要性例 4求 cos20cos40cos80的值解一由 sin2=2sincos，得 cos=sin22sin分别应用于原式中三个因子，得 cos20 cos40 cos80 =20sin240sin40sin280sin80sin2160sin=20sin8160sin=81解二将所求式的分子分母同乘以23sin20 ，逐次应用S2，原式 =20sin280cos40cos20cos20sin233=20sin280cos40cos40sin232 =20sin280cos80sin23=20sin8160sin=81例 5已知2 43，cos(-)=1312，sin(+ )=-53，求 sin2分析2 =(-)+(+ ) ， sin2=sin(-)+(+ )=sin(-)cos(+ )+cos(-)sin(+ ) 解由2 43，知 + 23，0 -0, 0,都是常数，这种函数通常叫做正弦型函数，而其图象随之叫做正弦型曲线 (1)正弦型函数的作图及其图象下面我们通过例题来作出正弦型函数的图象，在介绍图象特征的同时，也总结给出一般的作图方法例 4 作出下列函数的在一个周期内的简图： (1)y=2sin(x+3) ； (2)y=-3sin21x解基本方法仍然是五点法，只是找关键的五点需要作一些换算 (1)第一步，列表求出五点坐标：x+30 2232x-36326735sin(x+3) 0 1 0 -1 0 y0 2 0 -2 0 第二步，按正弦曲线线型，顺次描点，得出图象( 见图 9-9) O x y -3图 9-9 322-66735精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 47 页学习好资料欢迎下载 (2)第一步，列表求出五点坐标：21x 0 2232x0 234sin21x0 1 0 -1 0 y0 -3 0 3 0 第二步，按正弦曲线线型，顺次描点，得出图象( 见图 9-10) 从例 4 可见，其实作正弦型函数f(x)=Asin(x+ ) 在一个周期内的图象与作正弦函数的图象是十分类似的第一步总是令x+ =0,2,23,2，解出达到图象最大、最小时的x，在这些x处 sin(x+ ) 总是依次等于0,1,0,-1,0，Asin(x+ ) 的值自然依次等于0,A,0,-A,0 ；有了这关键的五点坐标，下面就是顺次光滑连接的问题了图象质量取决于能否很好地掌握正弦曲线的线型例 5作函数y =-3sin(2x+4) 的简图解第一步，列表求出五点坐标：2x+40 2232x-88838587sin(2x+4) 0 1 0 -1 0 y0 -3 0 3 0 第二步，按正弦曲线线型，顺次描点，得出函数在-8,87上的图象 ( 见图 9-11) ；第三步，以2=22= 为周期作周期延拓，即得所求图象( 见图 9-11) O x y 2图 9-10 -3334y x 图 9-11 -88838785-33O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 47 页学习好资料欢迎下载（2） 正弦型函数的性质因为|sinx|1，所以 |f(x)|=|Asin(x+ )|A，习惯上把A叫做f(x) 的振幅；因为sin(x+ )+2 =sin(x+2)+ =sin(x+ )，f(x+2)=f(x) ，所以f(x)是以 T=2为周期的周期函数习惯上把叫做f(x) 的圆频率或角速度，它表示一个周角内含有周期个数在前面已经提到，正弦型函数f ( x)=Asin(x+ )有如下基本性质：定义域：实数集R；值域： -A, A，最大值是A，最小值是 -A；周期：T=2例 6 求下列函数的周期，最大值、最小值以及使函数达到最大、最小值的x：(1)y=2sin(2x+3) ；(2)y=-3sin(3x-4) 解 (1)A=2, =2，周期T=2= ；最大值ymax=2，最小值ymin=-2 ；当 2x+3=2+2k，即当x=12+k,(kz)时，函数达到最大值；当 2x+3=-2+2k，即当x=-12+k,(kz) 时，函数达到最小值(2)A=-3, =3，周期T=2=32；最大值ymax=3，最小值ymin=-3 ；当 3x-4=2+2k，即当x=4+32k,(kz) 时，函数达到最大值；当 3x-4=-2+2k，即x=-12+32k,(kz) 时，函数达到最小值 4. 正切函数的图象与性质 (1)正切函数的图象先考虑正切函数在(-2,2) 内的图象用描点法可作出其近似图形，再结合正切函数的周期性， 将其向左， 向右作周期为的周期延拓， 可得到正切函数的全部图象( 见图 9-12) ，并把它称为正切曲线(tangent curve)O2图 9-12 xy 2523-23-25-2-4-2O2图 9-13 xy -4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 47 页学习好资料欢迎下载在实用上，如果函数图象不需太精确时，我们可以采用三点两线法作出正切函数在(-2,2) 内的简图，其中三点坐标是(-4,-1), (0,0), (4,1) ；两线则是指竖线x=-2,x=2具体作图时，参照图9-12 顺次光滑连接三点，并注意在上下两端靠近竖线即可 ( 见图 9-13) (2) 正切函数的基本性质由正切函数的定义及正切曲线，可以得到正切函数的下述基本性质：定义域：x | xR, x2+k, kz 值域：实数集R周期性：正切函数是周期为的周期函数奇偶性：奇函数，图象关于原点对称单调性：每个开区间(-2+k, 2+k),(kz) 都是函数y=tanx的增加区间例 7求函数y=tan(2x+3) 的定义域解因为y=tanx的定义域为 x | xR, x2+k, kz，所以为使y=tan(2x+3) 有意义，x的取值应满足 2x+32+ k，即x12+2k, kz故y=tan(2x+3) 的定义域为 x | xR, x12+2k, kz例 8讨论函数f(x)=tan3x的增减性，并求其周期解：先讨论增减性令u=3x，则f(u)=tanu在u(-2+k,2+k) 内是增加的，因此函数f(x)在 3x(-2+k,2+k) ，即在区间x(-6+3k,6+3k), kz 内是增加的再讨论周期性tanu是以为周期的周期函数，即 tan(u+ )=tanu，tan(3x+ )=tan3x，从而 tan3(x+3)=tan3x 所以f(x)=tan3x是以3为周期的周期函数二反三角函数简介由反函数存在的条件知，三角函数在指定区间内仍然存在反函数分别简介如下： 1. 反三角函数的定义: 函数sin,2yx在 -2上的反函数称为反正弦函数，记作arcsinyx； 定义域：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 47 页学习好资料欢迎下载1,1 ,2值域: -2同样函数y=cosx在0,上的反函数称为反余弦函数，记作y=arccosx ，定义域是1,1 ,: 0,值域. y=tanx在,2 2上的反函数称为反正切函数，记作y=arctanx ，定义域：,，值域：,2 2；反正弦函数、反余弦函数和反正切函数都叫做反三角函数注意： （ 1）arcsinx ， arccosx ，arctanx均是一个完整的记号（2）arcsinx ，arccosx 中自变量满足1,1x，当1x时，函数无意义（3）arcsinx ，arccosx ，arctanx均表示一个角，arcsin,22x； arccosx ,2 2；arctanx ,2 2由定义得：如果1,1 ,x则有 sin （arcsinx ）=x，cos（ arccosx ）=x；arcsin （x）= arcsinx ，arccosarccosxx；如果Rx,tan （arctanx ）=x,arctan （ x）=arctanx 注： arcsin （sin） 不一定等于, 同理 arccos（ cos） 不一定等于, arctan（tan）不一定等于 2反三角函数的图象可以根据反函数的性质描点得到图像，也可以利用原来函数图像与反函数图像关于直线xy对称翻折而得到三个反三角函数的图形分别如下所示：图 9-14精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 47 页学习好资料欢迎下载 3.反三角函数的性质 (1)反正弦函数的定义域为-1 ， 1 ，值域为,2 2 (2)反余弦函数的定义域为-1 ， 1 ，值域为0, (3) 反正切函数的定义域为,，值域为,22 (4)反正弦函数为单调递增；反余弦函数为单调递减；反正切函数为单调递增 (5)它们都是有界的均非周期函数 (6)反正弦函数及反正切函数为奇函数；反余弦函数为非奇非偶函数 1. 用五点作图法作出下列函数的简图： (1)y=sinx-1, x0,2 ； (2)y=2sinx, xR；(3) y=2cosx+1, x0,2 ； (4)y=cosx-2, xR 2. 下列等式有可能成立吗？请说明理由： (1)2sinx=3； (2)cos2x=21 3. 不求值，比较下列各组函数值的大小：(1)tan135与 tan142； (2)tan(-43) 与 tan(-53) 4判断下列各式是否成立（1）60)23arcsin(2)233arcsin (3)3arcsin)3arcsin( (4)3)3sin(arcsin例 9 已知函数y=Asin(x+ ) ，其中A0, 0 0，所以A=2因为给出的最高点、最低点在一个周期之内，因此这两点横坐标之差必定是周期的一半，因此 T=2=2(127-12)=，得=2应用举例思考练习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 47 页学习好资料欢迎下载最后因为图象的最高点必定于x+ =2+2k处达到，所以x+ =2x+ =2+2k, (kz) ；以=2, x=12代入得6+ =2+2k，=3+2k, (kz) ；又因为 0 2，所以=3合之得所求的函数解析式为y=2sin(2x+3) 例 10已知交流电I( 安培 ) 在一个周期中的图象为如图9-15 所示的正弦型曲线，求I与时间t的函数关系式解设所求函数关系式为I =Asin(t+)，由图 9-15 可知，A=50，周期T=1.1510-2-0.1510-2=1 10-2=10-2，所以=T2=200 因为一个周期中曲线的起点的横坐标是0.15 10-2，即-=0.15 10-2，所以=-2000.1510-2=-103所以所求函数关系式是I=50sin(200t-103) 图 9-15 在电工学中，常会遇到形如)sin(tAy的正弦型函数。现以电流为例。)sin(imtIi式中i为正弦电流的瞬时值，mI为正弦电流的最大值，称为正弦量的角频率，i称为初相位，t为时间。mI，i都是常量，称为正弦量的三要素，而频率f、周期T和角频率这三个物理量的关系是TTf2,1三个量中只要知道一个，便可求出其它两个物理量。例如，我国工业和民用电的频率知识拓展I O t 50-500.15 102 1.15 102 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 47 页学习好资料欢迎下载Hzf50，其周期为sT02.0501，角频率sradfT/31422正弦交流电波形图的横坐标在电工学中一般用t表示例 11 某正弦交流电的最大值mI=A1.7，初相060i，频率Hzf50，试写出电流的瞬时值表达式，并画出波形图。解： 电流的瞬时值表达式为)60314sin(1 .7)sin(0ttIiim（1）初相3600i时，将ti314sin的起点向右平移3个单位，得到电流)60314sin(0ti的波形图；（2）再将)60314sin(0ti的波形图上所有点的纵坐标都伸长到原来的7.1 倍，得到所求正弦交流电波形图习题（A组） 1. 用五点作图法作出下列函数的图象(xR) ： (1)y=3sinx；(2)y=31sinx ； (3)y=sin3x；(4)y=sin31x；(5)y=sin(x+6) 2. 不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1)sin(-5) 与sin7；(2)cos53与cos52 3 . 用三点两线法作出函数下列函数的简图：(1)y=tanx-1 ；(2)y=-tanx；(3)y=tan2x4. 观察正弦曲线和余弦曲线. ，分别写出满足下列条件的x的集合： (1)sinx0 5. 观察正切函数曲线，分别写出满足下列条件的x 的集合： (1)tanx0； (2)tanx=0 6计算下列各式的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 47 页学习好资料欢迎下载（1）_)23(cosarcsin；（ 2）_)21tan(arcsin；（3）_)4arcsin(sin； （4）_)43arcsin(cos；（5）_)53arcsin(sin（B组） 1用五点作图法作出下列函数在一个周期内的简图： (1) y =21sin(2x-4) ； (2) y =2sin(21x+6) 2. 求下列函数的定义域： (1)y=tan2x； (2)y=tan(3x-4) ； (3) y=-tan(2x+6) 3. (1)求函数y=2+cos3x的最小值及取得最小值时自变量x的集合： (2) 求函数y=-sin2x的最小值及取得最小值时自变量x的集合，并考察其增减性 4. 函数 y =Asin(x+ ) 在同一个周期内当x=12时，y有最小值 -3 ；当x=127时，y有最大值3，求此函数的解析式 5. 已知函数y=Asin(x+ ) 在同一个周期内的最高点和最低点的横坐标相差23，而最低点之一的坐标为(4,-23) ，求其解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 47 页学习好资料欢迎下载46 解三角形1能掌握正弦定理、余弦定理。2能应用正弦定理和余弦定理解决一些简单的实际问题在生产活动和实际生活中，经常遇到和三角形有关的各种问题，如何来解决？如图 10-1，在海岸A处发现北偏东45方向，距A处（3 1）海里的B处有一艘走私船 . 在A处北偏西75方向，距A处 2 海里的C处的我方缉私船，奉命以103 海里时的速度追截走私船，此时走私船正以10 海里时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜 . 问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船 ?并求出所需时间. 图 10-1 你已经熟悉了直角三角形中的角与边的关系，如对图10-2所示的直角三角形，有 a=csin, b=ccos, c=22ba, tan=ba (1) 等，并且，你还会应用这些关系来解直角三角形，即已知直角三角形中某些边或角，求其余角或边但生产活动和实际生活中，遇到的未必都是直角三角形问题，有些是斜三角形问题 例如为了求得不可直接到达的两点A,B之间的距离，通常另选一点C，测得a, b和角( 见图 10-3) 如果=90 ，那是一个简单的解直角三角形问题；但若, A, B没有一个是90 ，那就是一个斜三角形问题了因此有必要探求在斜三角形中，内角和边之间的关系目前你所知道的关系是：大边对大( 内) 角，小边对小 ( 内) 角，这种认识太含糊了，现在我们要把这种所谓“对（应）”予以数量化， 说得更具体一些，是边与内角的三角函数之间的关系1正弦定理、余弦定理 (1)正弦定理如图 10-4，在三角形ABC 中，若以 BC 为底边，得 BC 边上的高 h=bsinC 或h=csinB, 故 ABC 的面积为SABC=BacCabhBCsin21sin2121若以 AB 为底边，同理可得SABC=BcaAcbsin21sin21学习目标任务引入主要知识C A B a b c 图 10-2 b A B C a 图 10-3 图 10-4 x y A B O C a b c h 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 47 页学习好资料欢迎下载即S ABC=BacAbcCabsin21sin21sin21上式称为任意三角形的面积公式：任一个三角形的面积，都等于任意两边及其夹角正弦乘积的一半各部分均除以abc21，可得CcBbAasinsinsin即任何三角形三内角的正弦与三条对边的对应比相等我们把这个结论叫做正弦定理 (2)余弦定理把从图 (10-4) 中以 B为原点， BC 边为 X轴建立坐标系，则A点坐标为（ ccosB,csinB), C点坐标为 (a,0),由两点间距离公式可得22sin0cosBcBcaACb，即222sincosBcBcabBBcBaca2222sincoscos2Baccacos222. 若以另外的顶点为原点，另外边为为X轴建立坐标系，同理可得a2=b2+c2-2bccosAc2=a2+b2-2abcosC这组公式叫做余弦定理，即三角形任何一边长的平方，等于其它两边长的平方和减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍ABC 中只要有任何一个内角为直角，例如 C=90 ， 即有 c2=a2+b2，这就是勾股定理可见余弦定理是直角三角形的勾股定理向斜三角形的推广，而勾股定理是余弦定理的特例余弦定理的另一种形式为222cos2bcaAbc222cos2abcCab222cos2cabBca上式可称为解三角形的夹角公式正弦定理、余弦定理是“大边对大( 内) 角，小边对小 ( 内) 角”的数字化2. 解斜三角形有了斜三角形的以正弦定理和余弦定理表示的角边之间的关系，为我们去解决一些与斜三角形有关的问题创造了条件为此让我们先来总结一下解直角三角形问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 47 页学习好资料欢迎下载直角三角形共有三条边和三个内角，已知它们之间有关系(1) 解直角三角形问题的表现形式是： 已知直角三角形的二条边或一条边和一个锐角，求其余的角和边因为直角三角形有一个内角是已知的(90 ) ，因此实际上已知条件是三个，利用边角关系 (1) 求出其余未知的三个按照已知条件形式归类，解算的方法可以归结为下表：条件类型图像解 算 步 骤图象中以粗线表示已知条件斜三角形也共有三条边和三个内角，用正弦定理和余弦定理表示斜三角形的角边之间的关系 解斜三角形问题的表现形式是：已知一个斜三角形的某些边和角，求其余的未知边和角我们也可以把解斜三角形问题归纳为成下表：条件类型图象解算步骤三条边三边应用余弦定理于两个不同内角，得到两个内角的余弦值求出两个内角第三内角 = -( 两内角的和 ) 条件类型图象解算步骤两条边和一个角两边夹一角c2=a2+b2-2abcosCc, cCaAsinsinA, cCbBsinsinB. 两边一对角cCbBsinsinB，可能多解或无解A= -(B+C) A, a2=b2+c2-2abcosAa. 两个角和一条边两角夹一边A= -(B+C) A, cCaAsinsinc, cCbBsinsinb. 两角一对边A= -(B+C) A, aAbBsinsina, cCaAsinsinc. 图中以粗线表示已知条件二条边一边和锐角二 条 直 角边 ( 两 边 夹一角 ) 一 条 直 角边和斜边c=22bac, sinA=a/ cAB = /2-AB . b A B C c a b A B C c a sinA =a/ cA, B= -ABsinB =b/c b, c=22bac. 直角边和锐角（两角与一边）斜边和锐角b A B C c a sinB=b/cc, c=22baa A= /2-BAb A B C c a sinB=b/cb, c=22baa,A = /2-BAb A B C c a b A B C c a b A B C c a b A B C c a b A B C c a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 47 页学习好资料欢迎下载注意， 表中所列的步骤，并非不能改变，例如表中最后一行，第三步完全可以不用正弦定理，而用余弦定理求c遇到一个解斜三角形的问题，首先应该判断它属于哪一类，然后按步骤解算你可以通过一定量的练习，总结经验，摸索规律。一般有“三边必定用余弦，还有两角夹一边；正弦两边一对角，双角必定用正弦”例 1 已知在BbaCAcABC和求中，,30,45,1000解这是属于两角一边类型0030,45,10CAc00105)(180CAB由CcAasinsin得21030sin45sin10sinsin00CAca由CcBbsinsin得25654262075sin2030sin105sin10sinsin000CBcb例 2 在ABC中，已知2 3a，62c，060B，求 b 及 A解这是属于两边夹一角类型2222cosbacacB =22(2 3)( 62)2 2 3 (62)cos045 =212 ( 62)4 3( 3 1) =82 2.b求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos222222(2 2)( 62 )(2 3)1,222 2 2 ( 62)bcaAbc060 .A解法二： sin02 3sinsin45 ,2 2aABb又622.4 1.4 3.8,2 32 1.8 3.6,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 47 页学习好资料欢迎下载ac，即00A090 ,060 .A分析：此题属于已知两边夹角解三角形的类型，可通过余弦定理形式一先求出第三边.在第三边求出后其余边角求解有两种思路：一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角，二是利用两边和一边对角结合正弦定理求解，若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍，而在 0 180之间，余弦有惟一解，故用余弦定理较好. 例 3 在CAacBbABC, 1,60,30和求中，解这是属于两边一对角类型21360sin1sinsin,sinsin0bBcCCcBb00090,30,60,BCCBCBcb为锐角，222cba例 4 CBbaAcABC, 2,45,60和求中，解这是属于两边一对角类型23245sin6sinsin,sinsin0aAcCCcAa0012060,sin或CcaAc1360sin75sin6sinsin,75600000CBcbBC时，当，1360sin15sin6sinsin,151200000CBcbBC时，当或0060,75, 13CBb00120,15, 13CBb例 4 表明， 在已知两边一对角情况，解斜三角形会出现两解情况如何判定何时仅有一解、何时有两解呢？在ABC中，如果已知a, b和A，解的情况为： 1A为直角或钝角： (1)当ab时一解，如图10-5(1) ； (2)当a b时无解 2若A为锐角： (1)若a b或a=bsinA时一解，如图10-5(2) ； (2)若babsinA时两解，如图10-5(3) 在解具体的题目时，据数量关系可判断出解的个数，同学不需死记硬背. 10-5(1) A B C a b c A B C a b c A B C a b c A B C a b c B10-5(2) 10-5(3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 47 页学习好资料欢迎下载例 5如图 10-6， 在ABC中， 已知三边AB,BC,AC， 求三角形的三个内角( 精确到分 ) 解这是属于三边类型对角A应用余弦定理，BC2=AC2+AB2-2ABACcosA，得 cosA=6014496982789222.)(，应用计算器，求得A48 11 ；对角B应用余弦定理， AC2=BC2+AB2-2AB BCcosB，得 cosB=285714.0112327829)87(222应用计算器，求得B73 24 ；C=180 -(A+B) 58 25 评述：通过前例，我们可以体会在解斜三角形时，如果正弦定理与余弦定理均可选用，哪么求边两个定理均可，求角则余弦定理可免去判断取舍的麻烦. 现在来解决开始时提出的问题。解：如图 10-1 ，设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则CD103 t海里，BD10t海里 . BC2AB2AC2 2ABACcosA（3 1）2222（3 1） 2cos120 6 BC6 BCsinAACsin ABCsinABCACsinABC2sin1200622ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD90 30 120BDsin CBDCDsin CBDsin BCDBD sin CBDCD10t sin120 103 t12，BCD30，DCE90 30 60由CBD120，BCD30，得D30BDBC，即 10t6 t610（小时） 15（分钟）答：缉私船沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15 分钟 . 实施任务图 10-6 A B C 79 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 47 页学习好资料欢迎下载在ABC中：1已知b 8，c3，A60，求a；2已知a 20，b 29，c 21，求B；3已知a 33，c2，B150，求b；4已知a 2，b2，c31，求A. 5在 ABC中，a= ,b=3, A=45满足此条件的三角形的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个6. 已知 ABC中a: b: c= 3: 5: 7，则此三角形是 ( ) A锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 任意三角形解斜三角形在实际中遇到的机会是比较多的首先，让我们一起来解决本部分开始时提出的问题 . 例 6如图 10-7 ，为了测量不可直接到达的两点A,B之间的距离， 可以另选一点C，AC, BC是可以直接到达的现量得AC=60m, BC=75m, ACB=87 30 ，求AB( 精确到 0.1m) 分析这是一个典型的解斜三角形问题，而且属于“两边夹一角”类型解应用余弦定理AB2=BC2+AC2-2ACBCcosC，AB=CBCACACBCcos222 =0387cos900036005625=043619.090009225=980985.93426.8832所以AB94.0m例 7 如图 10-8 ，为了测量塔的高度CD，可以取一点A，再在AD线上另选一点B，在A,B点处测取点C的仰角,，同时量取AB，经过简单的计算，塔高CD就可以得到了现设量得AB=50m ，=38 20 ，=55 10 ，求塔高CD( 精确到 0.1m) 分析从已知条件可得ABC= -,这样在斜三角形ABC中，已知两角夹一边，可以算得BC或AC；再根据三角函数定义得CD=BCsin或CD=ACsin解ABC=180 -=124 50 ；以两角夹一边类型，解斜三角形ABCACB=180 -(3820 +124 50 )=16 50 ；应用正弦定理应用举例思考练习A B C 87 30图 10-7 7560图 10-8 C D A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页，共 47 页学习好资料欢迎下载sinsinBCACBAB0238sin0516sin50BC， BC=0238sin0516sin50=620235.0289589.050107.088840 ；在RtABC中，CD=BCsin=107.088840sin5510 =107.0889250.82081787.900340 所以塔高CD87.9m例 8 用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和, 已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度. 分析：在RtEGA中求解EG，只有角 一个条件，需要再有一边长被确定，而EAC中有较多已知条件，可在EAC中考虑EA边长的求解，而在EAC中有角 ，EAC180 两角与BDa一边，故可用正弦定理求解EA. 解：在ACE中，ACBDa，ACE，AEC ，根据正弦定理，得AEa sin sin （ ）在 RtAEG中，EGAEsin a sin sin sin （）EFEGba sin sin sin （）b，图 10-9 答：气球的高度是a sin sin sin （）b. 评述： 此题也可以通过解两个直角三角形来解决，思路如下： 设EGx，在 RtEGA中，利用 cot 表示AG；在 RtEGC中，利用cot 表示CG，而CGAGCABDa，故可以求出EG，又GFCDb，故EF高度可求 . 例 9 如图 10-10 ，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定CD=23km，ADB=CDB=30, ACD=60, ACB=45求A, B两点的距离分析本题给出的角度较多，涉及几个三角形，因此思考时要选择好依次从哪个三角形入手解答较为简便解因为ADC=ADB+CDB=60；又因为ACD=60，所以DAC=60，DC=AC=23在BCD中，DBC=180-(30 -105 )=45 ，所以45sin30sinDCBC, BC=46ABC中应用余弦定理，有图 10-10 A B C 30D 306045精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页，共 47 页学习好资料欢迎下载AB2=AC2+BC2-2ACBCcos45=8322462328343，AB=46所以A, B两点间距离为46km习题（A组） 1 在 ABC中 (1)a=15,b=10, A=60，求 A； (2)a=11,b=25, A=30，求 A 2在 ABC中， sin2A+sin2B=sin2C求证 ABC是直角三角形 3求下列 ABC的面积 S： (1)a=4, b=5, C=30； (2)b=8, c=8, A=60 4 在ABC中，已知cmcBA10,105,45，解三角形 . 5. 已知 ABC中， a8， b7，B60，求 c 及ABC. 6 在ABC中，已知14b，30A，120B，求a及ABC的面积S. （B组） 1根据下列条件解三角形( 角度精确到1) (1)a 31，b42，c27；(2)a 9，b10，c15. 2如图所示，一艘船以32km/h 的速度向正北方向航行，起初望见一座灯塔在船的北偏东 20 ； 半小时后， 望见这座灯塔在船的北偏东65 求两次望见灯塔时，离灯塔有多远 ( 结果精确到0.1km) 3如图，货轮在海上以40 海里 /h 的速度由B到C航行，航行的方位角是140 ；A处有一灯塔，其方位角是110 在C处观察灯塔A的方位角是35 ，由B到C需航行 30 分钟，求C到灯塔 A的距离4我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD=6公里， ACD=45，ADC=75，目标出现于地面点B处时，测得BCD=30，BDC=15，求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号) 第 2 题图ABS20北65第 3 题图第 4 题图A B C 15D 307545精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 41 页，共 47 页学习好资料欢迎下载本章小结1. 同角三角函数关系(恒等式 ) sin2+cos2=1；tan =cossin2. 诱导公式周期公式： sin(2k + ) = sin，cos(2k + ) = cos ，tan(k + ) = tan，(kZ)；负角公式： sin(-)=-sin，cos(- ) =cos ，tan(-)=tan；诱导公式： sin( - )= sin， cos( - )=-cos， tan( -)=-tan ；sin( + )= -sin，cos( +)=-cos ， tan( + )=tan；sin(2 - )= -sin，cos(2 - )=cos ，tan(2 -)=tan；口诀：“函数名不变，符号看象限”3. 两角和与差的三角公式S：sincoscossinsin；C：sinsincoscoscos；C：tantan1tantantan4. 倍角公式S2：cossin22sin；C2：2222sin211cos2sincos2cos；T2：2tan1tan22tan5. 三角函数的图象(图象见下 ) 及基本性质作精确图方法：三角函数线投影法作简图方法：正弦、余弦函数：五点(两端、最高、最低、中间)法，正切函数：三点两(渐近 )线法基本性质性质sinxcosxtanx周期性周期为 2周期为 2周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数xyO 22xy-1 1 O 23图例： y= sinx：y= cosx：2-2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 42 页，共 47 页学习好资料欢迎下载增减区间增加：,kk2222减小：,kk22322(kZ) 增加：,)(kk212减小：)( ,122kk(kZ) 增加：),(kk22(kZ) 6. 正弦型函数及其图象正弦型曲线函数形式： y=Asin(x+ ),(A, , 为常数，0)；作图法：五点法( x+ =0,2, ,23,2 )；性质：定义域为R，值域为 -A,A，周期为27. 反三角函数基本性质8.正弦定理和余弦定理及在解斜三角形中的应用定理和公式解斜三角形类型正弦定理：三角形内角的正弦与对边的对应比相等CcBbAasinsinsin=2R(R 表示三角形外接圆的半径) 已知两角夹一边；已知两边一对角(可能二解 )；已知两角一对边余弦定理：三角形任一内角的对边的平方，等于邻边平方和减去邻边同这个内角余弦乘积的二倍a2=b2+c2-2b c cosA；b2=a2+c2-2a c cosB；c2=a2+b2-2a b cosC已知三边；已知两边夹一角三角形的面积公式：AbcBacCabSABCsin21sin21sin21复习题四一选择题性质名称y=arcsinxy=arccosxy=arctanx定义域-1 ，1-1 ，1,值域,220,22增减区间D内均为单调递增D内均为单调递减D内均为单调递增奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数周期性非周期函数非周期函数非周期函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 43 页，共 47 页学习好资料欢迎下载 1. 使为增函数的区间是为减函数x，xsincos ( ) A. 22,2kk B. 2,22kk C. 22,2kk D. 2,22kk(Zk) 2. 已知)2,4(，则sin、cos、tan的大小顺序为 ( ) A. tancossin B. sincostan C. sintancos D. cossintan 3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间30，为减函数的是 ( ) A. xycos B.xy2log C.42xy D.xy31 4. 函数xy2sin的最小正周期是 ( ) A. 6 B. 2 C. D. 2 5. 下列命题正确的是 ( ) A. )3cos(3xy为偶函数 B. |sin|xy的最小正周期是2 C. xxycos是奇函数 D. xy2sin的最小正周期是2 6. 要使mmxx464cos3sin有意义，则实数m的取值范围是 ( ) A. 0, 1 B. 37, 0 C. 37, 1 D. 4,23 7在下列各式中正确的是（） A. 23)3arcsin( B. 3)3sin(arcsin C. 4)45arcsin(sin D. 23)21(cosarcsin8. 已知ABCRt中，90C，30B，1b，则 BC=( ) A. 3 B. 2 C. 23 D. 22 9.已知ABC中，1a，2b，3c，则ABC是 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 44 页，共 47 页学习好资料欢迎下载 A. 直角 B. 等边 C.等腰 D.等腰直角 10.已知ABCRt中，90C，30B，6a，则bc= ( ) A. 1 B.1 C.32 D.32 11. 在 ABC中，4:3:2:cba，求Ccos，则ABC形状为 ( ) A. 锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定1. 12.cossin0cossin，则为第一象限角，且若 ( ) A. 2 B. 22 C. 32 D. 4213. 设2tan且0sin，则cos的值等于 ( ) A. 55 B. 51 C.55 D. 5114. 0015cos165sin ( ) A. 41 B. 21 C. 43 D. 2215. 已知 cos=1312 (223) ，那么 sin的值等于（）A. 5 B. - 135 C. 135 D. -5 16. 若 tan=3, 求 sincos等于（）A. 310 B. - 310 C. - 103 D. 10317. 已知：0,31cossin，那么的值2sin为（） A 98 B98 C98 D不确定二. 填空题 1.函数3sin 24,yx当 x= 时， y 取得最大值，其最大值为 . 2. 比较大小 :)100sin(00560sin; 7cos65cos. 3.)0(sinAKxAy的最大值是23，最小值是21，则 A= ，K= . 4. 函数tan 24yx的周期是 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 45 页，共 47 页学习好资料欢迎下载 5. 函数xxy44sincos的周期是 . 6.3)2(cos2xy的值域是 . 7.1)31(sin22xy的值域是 . 8.化简：1540sin12 . 9. 已知116sin3cos5cos2sin4，则tan= . 10.是第二象限角，则1cscsecsin2 . 1112cos24cos48cos48sin812tan11tan1113已知5sin5，则44sincos的值为14已知 tan=31, tan=-2 则 tan(-) 等于 _1525sin20sin65sin70sin的值是 _. 三. 解答题 1. 用“五点法”画函数20sin1，xxy其中的图象 2. 求下列各式的值：32cosarccos21arccossin 3.求下列各函数的定义域: xysin21xycos211 4求函数3sin2sin2xxy的最大值和最小值。 5.008 6,45 ,60,ABCABBCAC BC在中, 求. 6. 在ABC中，33a，2b，150C，求 c. 7. 在 ABC中，已知045,32,22Aba，求c，CB ,. 8. 在ABC中，已知4,3,2abc，求ABC的面积 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 46 页，共 47 页学习好资料欢迎下载 9. 在的面积求中ABCABBAABC,2,60,45,00. （精确到0.01 ） 10. 在ABC中，33a，7b，2c，求 B. 11证明下列恒等式：（1）2tan2)4tan()4tan(；（2）22sincos)cos()cos(12化简：（1）2cos41co；（2）)120cos()120cos(cosxxx；（3）);4(sin)4(cos22xx（4）12cot4sin13若,均为锐角，10103cos,552cos，求的值 . 14已知：135)cos(,53cos，,是锐角，求cos的值 . 15已知：432，53)sin(,1312)cos(，求2sin的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 47 页，共 47 页