第 1 页 共 11 页三角形中作辅助线专题三（重点：角平分线）初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。一、 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的。如图 1-1，AOC= BOC ，如取 OE=OF ，并连接 DE 、DF ，则有 OED OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例 1. 如图 1-2，AB/CD，BE平分 BCD ，CE平分 BCD ，点 E在 AD上，求证： BC=AB+CD。图1-2ADBCEF图 1-1OABDEFC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页第 2 页 共 11 页分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形， 同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明， 延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。简证：在此题中可在长线段BC上截取 BF=AB ，再证明 CF=CD ，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。 另外一个全等自已证明。 此题的证明也可以延长BE与 CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。例 2. 已知：如图 1-3，AB=2AC ，BAD= CAD ，DA=DB ，求证 DC AC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。例 3. 已知：如图 1-4，在 ABC中， C=2 B,AD平分 BAC ，求证： AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？例 4. 如图 3-1：已知 AD为ABC的中线，且 1=2, 3=4, 求证： BE+CFEF 。分析：要证 BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知 1=2，3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF 移到同个三角形中。证明：在 DN上截取 DN=DB ， 连接 NE ， NF ， 则 DN=DC，在DBE 和NDE 中：DN=DB （辅助线作法）1=2（已知）图1-3ABCDE图1-4ABCDEABCDEFN13图1234精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页第 3 页 共 11 页ED=ED （公共边）DBE NDE （SAS ）BE=NE （全等三角形对应边相等）同理可得： CF=NF 在EFN中 EN+FNEF（三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF 。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。练习：1. 已知在 ABC中，AD平分 BAC ，B=2C ，求证： AB+BD=AC 2. 已知：在 ABC中， CAB=2 B，AE平分 CAB交 BC于 E，AB=2AC ，求证： AE=2CE 3. 已知：在 ABC中，ABAC,AD 为BAC的平分线， M为 AD上任一点。求证： BM-CMAB-AC 4. 已知：D是ABC的BAC的外角的平分线 AD上的任一点，连接DB 、DC 。求证： BD+CDAB+AC。（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例 5. 如图 2-1，已知 ABAD, BAC= FAC,CD=BC。求证： ADC+ B=180 分析：可由 C向BAD的两边作垂线。 近而证 ADC 与B之和为平角。图 2-1ABCDEF图2-2ABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页第 4 页 共 11 页例 6. 如图 2-2，在ABC中， A=900，AB=AC ，ABD= CBD 。求证： BC=AB+AD 分析：过 D作 DE BC于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例 7. 已知如图 2-3，ABC的角平分线 BM 、CN相交于点 P。求证： BAC的平分线也经过点P。分析：连接 AP ，证 AP平分 BAC即可，也就是证 P到 AB 、AC的距离相等。练习：5如图 2-4AOP= BOP=150，PC/OA，PD OA ，如果 PC=4 ，则 PD= （） A 4 B 3 C 2 D 1 6已知在 ABC 中，C=900，AD平分 CAB ，CD=1.5,DB=2.5 .求 AC 。7已知：如图 2-5, BAC= CAD,ABAD，CE AB ，AE=21（AB+AD ）. 求证： D+ B=1800。图2-3PABCMNDF图2-4BOAPDC图2-5ABDCE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页第 5 页 共 11 页OEDCBA8. 已知：如图 2-6, 在正方形 ABCD 中，E为 CD 的中点， F 为 BC 上的点， FAE= DAE 。求证： AF=AD+CF。9. （涉及平行四边形的判定 ）已知：如图 2-7，在 RtABC 中， ACB=900,CDAB ，垂足为 D，AE平分 CAB交 CD于 F，过 F 作 FH/AB 交 BC于 H。求证 CF=BH 。10. 如图，已知在ABC中， B=60， ABC的角平分线AD,CE相交于点O ，求证： OE=OD 11.（06 郑州市中考题）如图， ABC中，AD平分 BAC ，DG BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（ 2）如果 AB=a，AC=b，求 AE 、BE的长. 12. 中考应用（06 北京中考）如图， OP是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：图2-6EABCDF图2-7FDCBAEHEDGFCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页第 6 页 共 11 页（1）如图，在 ABC 中，ACB是直角， B=60，AD 、CE分别是 BAC 、BCA 的平分线， AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在 ABC中，如果 ACB不是直角，而 (1) 中的其它条件不变，请问，你在(1) 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。例 8.已知：如图 3-1，BAD= DAC ，ABAC,CD AD于 D，H是 BC中点。求证： DH=21（AB-AC ）分析：延长 CD交 AB于点 E，则可得全等三角形。问题可证。例 9.如图 9-1 ：在 Rt ABC中， AB AC ， BAC 90， 1 2，CE BD的延长于E 。求证： BD 2CE 分析：要证BD2CE ，想到要构造线段2CE ，同时 CE与 ABC的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA ， CE交于点 F。BE CF （已知） BEF BEC 90 （垂直的定义）在 BEF与 BEC中，图示 3-1ABCDHE19图DCBAEF12(第 23 题图 ) O P A M N E B C D F A C E F B D 图图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页第 7 页 共 11 页)()()(21已证公共边已知BECBEFBEBE BEF BEC （ASA ） CE=FE=21CF （全等三角形对应边相等） BAC=90 BE CF （已知） BAC CAF 901 BDA 90 1 BFC 90 BDA BFC 在 ABD与 ACF中)()()(已知已证已证ACABBFCBDACAFBAC ABD ACF （AAS ） BD CF （全等三角形对应边相等）BD 2CE 例 10（用到相似三角形成比例关系）已知：如图 3-3 在ABC 中，AD 、AE分别 BAC的内、外角平分线，过顶点B 作 BFAD ，交 AD的延长线于 F，连结 FC并延长交 AE于 M 。求证： AM=ME。分析：由 AD 、AE是BAC内外角平分线，可得EA AF，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例 11. 已知：如图 3-4，在 ABC 中，AD平分BAC ，AD=AB ，CM AD交 AD延长线于 M 。求证： AM=21（AB+AC ）图3-2DABEFC图3-3DBEFNACM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页第 8 页 共 11 页练习： 13.（涉及中位线 ）已知：在 ABC中，AB=5 ，AC=3 ，D是 BC中点， AE是BAC的平分线，且 CEAE于 E，连接 DE ，求 DE 。14. （涉及中位线平行四边形矩形）已知 BE 、BF分别是 ABC的ABC的内角与外角的平分线，AFBF于 F，AE BE于 E，连接 EF分别交 AB 、AC于 M 、N ，求证 MN=21BC （四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时， 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。 或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1 和图 4-2 所示。图4-2图4-1CABCBAFIEDHG例 12. 如图， BCBA ，BD平分 ABC ，且 AD=CD ，求证： A+C=1800。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页第 9 页 共 11 页例 13.如图， AB CD ，AE 、DE分别平分 BAD 、ADE ，求证： AD=AB+CD。课后练习：15. 已知，如图， C=2 A，AC=2BC 。求证： ABC 是直角三角形。16已知：如图， AB=2AC ，1=2，DA=DB ，求证： DC AC 17已知 CE 、AD是ABC 的角平分线， B=60，求证： AC=AE+CD B D C A A B E C D C A B A E B D C A B D C 1 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页第 10 页 共 11 页18已知：如图在 ABC 中， A=90，AB=AC ，BD是ABC 的平分线，求证： BC=AB+AD 二、 由线段和差不等式想到的辅助线口诀：线段和差不等式，移到同一三角形中去。方法一，截长补短法；方法二，连接两点或者延长某边，构成新的三角形。原理： 三角形中两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边（利用三角形三边关系证明线段不等关系）。例 15.如图， ABAC, 1=2，求证： AB ACBD CD 。（截长补短法 ）（一）、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例 14.已知如图 1-1：D、E 为ABC 内两点 ,求证:AB+ACBD+DE+CE. 证明：（法一）将 DE两边延长分别交 AB 、AC于 M 、N ，在AMN 中，AM+ANMD+DE+NE;（1）在BDM 中，MB+MDBD；（2）在CEN 中，CN+NECE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC （法二：图 1-2）延长 BD交 AC于 F，廷长 CE交 BF于 G ，在 ABF和GFC 和GDE 中有：A B C D ABCDENM11图ABCDEFG21图1 2 A C D B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页第 11 页 共 11 页AB+AFBD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）（1）GF+FCGE+CE（同上）（ 2）DG+GEDE（同上）（ 3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE+EC。练习：（见前面例题4；练习 3、4 题）（二）、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例 16.如图 2-1：已知 D 为ABC 内的任一点，求证： BDCBAC。分析： 因为 BDC 与BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使 BDC 处于在外角的位置， BAC 处于在内角的位置；证法一 ：延长 BD交 AC于点 E，这时 BDC 是EDC 的外角，BDC DEC ，同理 DEC BAC ， BDC BAC 证法二 ：连接 AD ，并廷长交 BC于 F，这时 BDF是ABD的外角， BDF BAD ，同理， CDF CAD ， BDF+ CDF BAD+ CAD ，即： BDC BAC 。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。ABCDEFG12图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页