学习必备欢迎下载重庆科创职业学院授课教案课名：高等数学（工本0023）教研窒：数理教研室班级：编写时间：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载课题：第一节向量及其线性运算教学目的及要求：使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。教学重点：1. 向量的概念 2.向量的运算 3.空间直角坐标系的概念4.向量的坐标表示式教学难点：空间思想的建立，向量平行与垂直的关系，向量的坐标表示式小结与思考： 本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识， 引导学生对向量 （自由向量） 有清楚的理解， 并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。如何运用平行四边形法则进行向量的减法运算？如何运用三角形法则进行多向量的加、减法运算？介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。作业： 见作业本 7.旁批栏：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载二、向量的线性运算1加减法cba： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换律和结合律见图74 74 加法运算图2cba即cba)(3向量与数的乘法a：设是一个数，向量a与的乘积a规定为0)1 (时，a与a同向，|aa0)2(时，0a0)3(时，a与a反向，|aa其满足的运算规律有：结合律、分配律。 设0a表示与非零向量a同方向的单位向量，那么aaa0定理 1：设向量 a0，那么，向量 b 平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 ba。例 1：在平行四边形ABCD 中，设aAB，bAD， 试用a和 b 表示向量MA、MB、MC和MD，这里 M 是平行四边形对角线的交点。（见图 75）解：AMAC2ba，于是)(21baMA由于MAMC，于是)(21baMC图 74 又由于MDBD2ba，于是)(21abMD由于MDMB，于是)(21abMB旁批栏：abc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载三、空间直角坐标系1将数轴（一维） 、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图71，其符合右手规则。即以右手握住z轴，当右手的四个手指从x轴的正向以2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向。2 空间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别为xoy面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图72 所示。图 71 右手规则演示图图 72 空间直角坐标系图图 73 空间两点21MM的距离图3空间点),(zyxM的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示a) 在原点、坐标轴、坐标面上的点；b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。空间两点间的距离若),(1111zyxM、),(2222zyxM为空间任意两点，则21MM的距离（见图73） ，利用直角三角形勾股定理为：2222122212212NMpNpMNMNMMMd而121xxPM12yyPN122zzNM旁批栏：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载所以21221221221)()()(zzyyxxMMd特殊地：若两点分别为),(zyxM，)0 ,0 ,0(o，则222zyxoMd例 1：求证以)1 , 3,4(1M、)2, 1 ,7(2M、)3, 2, 5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。证明 :14)21 () 13()74(222221MM6)23() 12()75(222232MM6)13()32()45(222213MM由于1332MMMM，原结论成立。例 2：设P在x轴上，它到)3 ,2,0(1P的距离为到点)1, 1 ,0(2P的距离的两倍，求点P的坐标。解：因为P在x轴上，设P点坐标为)0,0 ,(x113222221xxPP21122222xxPP212PPPP，221122xx1x所求点为：)0,0 , 1(，)0,0 , 1(四、利用坐标作向量的线性运算1向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。设 a =21MM是以),(1111zyxM为起点 、),(2222zyxM为终点的向量，i、j、k 分别表示沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们图为这一坐标系的基本单位向量，由图75，并应用向量的加法规则知：)(1221xxMMi + )(12yyj+)(12zzk 或a = axi + ayj + azk 上式称为向量a 按基本单位向量的分解式。旁批栏：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载有序数组ax、 ay、az与向量 a 一一对应，ax、ay、az就叫做向量a 的坐标，并记为a ax，ay，az。上式叫做向量a 的坐标表示式。于是，起点为),(1111zyxM终点为),(2222zyxM的向量可以表示为,12121221zzyyxxMM特别地，点),(zyxM对于原点O 的向径,zyxOM注意 ：向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标有本质区别：向量 a 的坐标是三个数ax、ay、 az；向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量axi 、 ayj 、 azk.2向量运算的坐标表示设,zyxaaaa，,zyxbbbb即kjiazyxaaa，kjibzyxbbb则(1) 加法：kjiba)()()(zzyyxxbababa(2) 减法：kjiba)()()(zzyyxxbababa（）数乘：kjia)()()(zyxaaa或,zzyyxxbabababa,zzyyxxbabababa,zyxaaaa（）平行：若 a0 时，向量ab/相当于ab，即,zyxzyxaaabbb也相当于向量的对应坐标成比例，即旁批栏：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载五、向量的模、方向角、投影（一）向量的模与方向余弦的坐标表示式设,zyxaaaa， 可以用它与三个坐标轴的夹角、（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向， 称、为非零向量a 的方向角， 见图 76，其余弦表示形式coscoscos、称为方向余弦。1 模222zyxaaaa2 方向余弦由性质1知coscoscoscoscoscos212121aaaMMaMMaMMazyx，当0222zyxaaaa时，有图76222222222coscoscoszyxzzzyxyyzyxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaa任意向量的方向余弦有性质：1coscoscos222与非零向量a 同方向的单位向量为：cos,cos,cos,1zyxaaaaaaa0例： 已知两点 M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量21MM的模、方向余弦、方向角以及与21MM同向的单位向量。旁批栏：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载解：21MM1-2 ，3-2，0-2=-1 ，1，-2 2)2(1)1(22221MM21cos，21cos，22cos32，3，43设0a为与21MM同向的单位向量，由于cos,cos,cos0a即得22,21,210a（二）向量的投影1几个概念(1) 轴上有向线段的值： 设有一轴u，AB是轴u上的有向线段， 如果数满足AB， 且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫做轴u上有向线段AB的值 ，记做 AB，即AB。设 e 是与u轴同方向的单位向量，则eAB(2)设 A、 B、C 是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有BCABAC(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和 b，任取空间一点O，作aOA，bOB，规定不超过的AOB称为向量a和 b 的夹角，记为()a,b(4) 空间一点A 在轴u上的投影： 通过点 A 作轴u的垂直平面， 该平面与轴u的交点A叫做点 A在轴u上的投影。(5) 向量AB在轴u上的投影： 设已知向量AB的起点 A 和终点 B 在轴u上的投影分别为点A和B，那么轴u上的有向线段的值BA叫做向量AB在轴u上的投影，记做ABjuPr。2投影定理性质 1： 向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：cosPrABABju旁批栏：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载小结与思考： 本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。如何运用平行四边形法则进行向量的减法运算？如何运用三角形法则进行多向量的加、减法运算？介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。作业： 见作业本 7.旁批栏：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页