学习必备欢迎下载新课标必修 3 概率部分知识点总结及典型例题解析事件：随机事件确定性事件 : 必然事件和不可能事件随机事件的概率(统计定义 )： 一般的，如果随机事件A在n次实验中发生了m次，当实验的次数n很大时，我们称事件A 发生的概率为nmAP说明 ：一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值概率必须满足三个基本要求： 对任意的一个随机事件A，有10AP0, 1,PP则有可能事件分别表示必然事件和不和用如果事件BPAPBAPBA:,则有互斥和古典概率： 所有基本事件有限个每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n， 则每一个基本事件发生的概率都是n1，如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，则事件A发生的概率为nmAP几何概型： 一般地，一个几何区域D中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为的 侧 度的 侧 度DdAP（ 这里要求D的侧度不为0， 其中侧度的意义由D确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）几何概型的基本特点： 基本事件等可性 基本事件无限多颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D内随机地取点，指的是该点落在区域D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。互斥事件 (exclusive events) ：不能同时发生的两个事件称为互斥事件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载对立事件 （complementary events） ：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为：A独立事件的概率：BPAPAABP,B,则为相互独立的事件事件若，若n21n2121A.AA.AAAP,.,PPPAAAn则为两两独立的事件说明： 若,B,B,中最多有一个发生则为互斥事件AA可能都不发生， 但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 对立事件一定是互斥事件 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 若 事 件BA,是 互 斥 事 件 ， 则 有BPAPBAP一 般 地 ， 如 果nAAA,.,21两 两 互 斥 ， 则 有nnAPAPAPAAAP.2121APAP1 在本教材中nAAA.21指的是nAAA,.,21中至少发生一个 在具体做题中，一定要注意书写过程，设出事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来，具体的格式请参照我们课本上（新课标试验教科书- 苏教版）的例题例题选讲：例 1. 在大小相同的6 个球中， 4 个是红球，若从中任意选2 个，求所选的2 个球至少有一个是红球的概率？【分析】 题目所给的6 个球中有4 个红球， 2 个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法解法 1： （互斥事件）设事件A为“选取 2 个球至少有1 个是红球”，则其互斥事件为A意义为“选取2 个球都是其它颜色球”1514151-1AP-1AP1512)56(1AP答：所选的2 个球至少有一个是红球的概率为1514. 解法2： （古典概型）由题意知，所有的基本事件有15256种情况，设事件A为“选取 2 个球至少有1 个是红球” ， 而事件A所含有的基本事件数有1423424精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载所以1514AP答：所选的2 个球至少有一个是红球的概率为1514. 解法 3： （独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件A为“选取2 个球至少有 1 个是红球”，事件A有三种可能的情况：1 红 1 白； 1 白 1 红； 2 红，对应的概率分别为：5364,5462,5264， 则有1514536454625264AP答：所选的2 个球至少有一个是红球的概率为1514. 评价： 本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少! 变式训练1： 在大小相同的6 个球中， 2 个是红球， 4 个是白球，若从中任意选取3 个，求至少有 1 个是红球的概率？解法 1： （互斥事件）设事件A为“选取3 个球至少有1 个是红球”，则其互斥事件为A，意义为“选取3 个球都是白球”5451-1AP-1AP51425364123)456(123234AP3634CC答：所选的3 个球至少有一个是红球的概率为54. 解法 2： （古典概型）由题意知，所有的基本事件有2012345636C种情况，设事件A为 “ 选取3 个 球 至少有1 个是 红球 ”， 而事 件A所 含 有 的基 本事 件数 有16234241224C， 所以542016AP答：所选的3 个球至少有一个是红球的概率为54. 解法 3： （独立事件概率）设事件A为“选取 3 个球至少有1 个是红球”，则事件A的情况如下：红 白 白514354621 红 2 白白 白 红51425364白 红 白51435264红 红 白1514451622 红 1 白红 白 红151415462白红 红151415264精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载所以541513513AP答：所选的3 个球至少有一个是红球的概率为54. 变式训练2：盒中有 6 只灯泡，其中2 只次品， 4 只正品，有放回的从中任抽2 次，每次抽取 1 只，试求下列事件的概率：（ 1）第 1 次抽到的是次品（ 2）抽到的2 次中，正品、次品各一次解： 设事件A为“第 1 次抽到的是次品” ， 事件B为“抽到的2 次中，正品、次品各一次”则3162AP，94664224BP（或者9462646462BP）答： 第 1 次抽到的是次品的概率为31，抽到的2 次中，正品、次品各一次的概率为94变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3 道选择题， 3 道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回， 求 （ 1） 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2） 求至少 1 人抽到选择题的概率？【分析 】 （1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少1 人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来解：设事件A为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件B为“至少 1 人抽到选择题” ，则B为“两人都抽到填空题”（1）10356331035363261313PPPAPAP或者（ 2）515152632623PPBPBP或者则545111BPBP答： 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为103，少 1 人抽到选择题的概率为54. 变式训练4：一只口袋里装有5 个大小形状相同的球，其中3 个红球， 2 个黄球，从中不放回摸出 2 个球，球两个球颜色不同的概率？【分析 】先后抽出两个球颜色相同要么是1 红 1球，要么是1 黄 1 球略解 :536534352425325CAPAP或者变式训练5： 设盒子中有6 个球，其中4 个红球， 2 个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽到1 个红球 1 个白球的概率是多少？略解 : 946642662464626264AP例 2. 急救飞机向一个边长为1 千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为80 米和 50 米的水池，当急救物品落在水池及距离水池10 米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？【分析 】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量解： 如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为1 千米的正方形为区域D，事件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载aa/6FEDC1CABB1A1“发放急救物品无效”为A，距离水池10 米范围为区域d，即为图中的阴影部分，则有测度测度DdAP100010004104105021080250802答： 略颜老师说明：这种题目要看清题目意思，为了利用几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入另外一个网格，分析是同样的变式训练1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚硬币的直径的2 倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正方形内的概率？略解：324141442222测度测度DdAP变式训练2：如图， 设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是a, 现有一直径等于2a的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？【分析 】因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点只要圆心到网格线的距离小于等于半径解： 如图，正三角形ABC内有一正三角形111CBA，其中tan30DABEAD,61FAEBDA,1111aaABa63，aaaADAB331332BA11当圆心落在三角形111CBA之外时，硬币与网格有公共点111CBA111ABCCBA-SPSS有公共点的概率82. 04333143432222aaa答： 硬币落下后与网格有公共点的概率为0.82 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载BDC PA变 式 训 练3 ： 如 图 ， 已 知 矩 形在正方形内，中,7AC,5ABABCD,P任取一点90APB求的概率？略解：5657525212AP变式训练4：平面上画了彼此相距2a 的平行线把一枚半径r a 的硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率？解： 设事件A为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线OM，垂足为M， 线段OM的长度的取值范围为a,0，其长度就是几何概型所有的可能性构成的区域D的几何测度，只有当aOM0时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足事件A的区域d的几何测度，所以araaarAP的长度的长度,0,答： 硬币不与任何一条平行线相碰的概率为ara【评价与链接 】该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域D和区域d，理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画。蒲丰投针问题：平面上画有等距离的一系列的平行线，平行线间距离为a2（0a） ，向平面内任意的投掷一枚长为2all的针，求针与平行线相交的概率？解：以x表示针的中点与最近的一条平行线的距离，又以表示针与此直线的交角，如图易知0,0ax，有这两式可以确定-x平面上的一个矩形，这是为了针与平行线相交，其充要条件为Sinlx2，有这个不等式表示的区域A为图中的阴影部分，由等可能性知aladSi nlSSAPA02rM2a 2a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载如果,a,的值如果已知反过来的值值代入上式即可计算则以已知APAPl则也可以利用上式来求，而关于AP的值，则可以用实验的方法，用频率去近似它，既 : 如 果投 针N 次 ， 其 中 平 行 线 相 交 的 次 数 为n 次 ， 则 频 率 为Nn， 于 是 ，naN,lNnalAP于是注释：这也是历史上有名的问题之一，用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出概率，再用频率近似概率来建立等式，进而求出. 在历史上有好多的数学家用不同的方法来计算，如中国的祖冲之父子俩，还有撒豆试验，也是可以用来求的. 会面问题： 甲乙两人约定在6 时到 7时在某地会面， 并约定先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率？解： 设“两人能会面”为事件A，以x 和 y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件为：15yx在平面上建立如图所示的坐标系，则yx,的所有可能的结果是边长为60 的正方形 ,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示，由几何概型知，167604560222SSAPA答： 两人能会面的概率167. 课本上一道例题的变式训练：如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求ACAM的概率？【分析 】点M随机的落在线段AB上，故线段AB为区域D，当点M位于如图的AC内时ACAM，故线段AC即为区域d解: 在AB上截取ACAC，于是22)(ABACABACACAMPACAMP答：ACAM的概率为22【变式训练】如图，在等腰直角三角形ABC中，在ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，求ACAM的概率？错解： 在AB上截取ACAC，在ACB内部任意作一条射线CM，满足条件的M看精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载作是在线段AC上任取一点M，则有22)(ABACABACACAMPACAMP【分析】 这种解法看似很有道理，但仔细一看值得深思，我们再看看题目的条件已经发生了改变， 虽然在线段上取点是等可能的，但过和任取得一点所作的射线是均匀的，所以不能把等可能的取点看作是等可能的取射线，在确定基本事件时一定要注意观察角度，注意基本事件的等可能性.正解：在ACB内的射线是均匀分布的，所以射线CM作在任何位置都是等可能的，在AB上截取ACAC，则5.67ACC，故满足条件的概率为75.0905.67评价： 这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度，确定区域D和d，求出其测度，再利用几何概型来求概率.例3.利用随机模拟法计算曲线2,0,2xyxy和所围成的图形的面积. 【分析 】在直角坐标系中作出长方形（2,4,0,2xyyxy所围成的部分，用随机模拟法结合几何概型可以得到它的面积的近似值）解： （1）利用计算机或者计算器生成两组0 到 1 区间上的随机数，randbranda00,（2）进行平移变换：004,2bbaa，其中ba,分别随机点的横坐标和纵坐标（3）假如作N次试验，数处落在阴影部分的点数1N，用几何概型公式计算阴影部分的面积由NNS18得出7 .281NNS评价： 这是一种用计算机模拟试验的方法，结合几何概型公式来计算若干函数围成的图形面积，其基本原理还是利用我们教材上介绍的撒豆试验，只是用随机数来代替豆子而已，另外要求我们理解用试验的频率来近似概率的思想.另外这种题目到我们学习了积分，还可以有下面的解法：7.23xdx203202xS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页