学习必备欢迎下载第二章分解因式21 分解因式【学习目标】1经历从分解因数到分解因式的过程2了解分解因式的意义，以及与整式乘法的关系3感受分解因式在解决相关问题中的作用【预习设计】1把一个多项式化成几个的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式2把 993-99 化为几个整数的积的形式3连一连，并回答x2-y2(x+1)29-25x2y(x-y) x2+2x+1 (3-5x)(3+5x) xy-y2(x+y)(x-y) 从左到右的变形是，从右到左的变形是【学习探究】一、学前准备1知识回顾单项式乘以多项式的法则a(b+c)= 多项式乘以多项式的法则(m+n)(a+b)= 2自学教材21，分解因式，弄清下列问题什么叫分解因式？分解因式与整式乘法的关系二、师生互动例 1：下列由左边到右边的变形，是分解因式吗？为什么？(1)(a+3)(a-3)=a2-9 (2)m2-4=(m+2)(m-2) (3)a2-b2+1=(a+b)(a-b)2(4)2mR+2mr=2m(R+r) (5)x2+x=x2(1+1x) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载小结： 1分解因式的结果是的形式2分解后的每个因式必须是式3分解因式必须分解到每个因式都不能再分为止练习教材 21 节知识与技能1、2 例 2：计算左边的四个算式，并由算出的结果在右边填空（1） （m+4)(m-4)= (5)m2-16= (2)(y-3)2= (6)y2-6x+9= (3)3x(x-1)= (7)3x2-3x= (4)m(a+b+c)= (8)ma+mb+mc= 小结：分解因式和整式的乘法互为逆运算( )22( )(a+b)(a-b)ab两边的结果应是相等的，只是形式不同而已例 2：已知 x2-3x+m 可以分解为 (x+2)(x-5), 求出 m 的值练习已知x2-x+n 可以分解为 (x+3)(x-4), 求出 n的值已知关于x 的二次三项式3x2+mx-n=(x+3)(3x-5) ，求 m、n 的值例 3：19992+1999 能被 1999 整除吗？能被2000 整除吗？【训练测评】1下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载Ax2-y2=(x+y)(x-y) B(x+2)(x+3)=x2+5x+6 Cx2+3x+5=x(x+3)+5 D21111(1)(1)xxx2下列各式，分解因式正确的是（）Aa3+b2=(a+b)2 Bxy+xz+x=x(y+z) Cx2+x3=x3 (1x+1) Da2-2ab+b2=(a-b)23多项式x2-3x-10 分解因式的结果是（）4 20072+2007 能被 2007 整除吗？能被2008 整除吗？725 982-482725能被 14 整除吗？四、拓展延伸关于 x 的多项式6x2-11x+m 分解因式后有一个因式是2x-3，试求 m 的值【课后反思】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载22 提公因式法【学习目标】1能确定多项式各项的公因式2会用提公因式法把多项式分解因式【预习设计】1叫多项式各项的公因式2多项式2x2+6x3中各项的公因式是3如果一个多项式的各项含有，那么就可以把这个提出来，从而将多项式化成积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法4分解因式（1）ma+mb= (2)4kx-8ky= (3)5y2+2y2= (4)a2b-2ab2+ab= 【学习探究】一、学前准备1分解因式：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式2公约数： n 个数公共的约数3最大公约数：n 个数最大的公共的约数，叫做这n 个数的最大公约数二、师生互动1什么叫多项式的公因式？2公因式的确定方法：各项系数的最大公约数是公因式的系数各项都会有的字母，其指数取最低作为公因式的字母及指数（3）什么叫提公因式法？口诀：公因式，要提取，公约数，取大值公有字母提出来，字母次数要最低原式除以公因式，商式写在括号里例 1：指出下列各组式子的公因式（1）5a3,4a2b,12abc (2)3x2y3,6x3y2z5,-12x2yz2(3)2a(a+b)2,ab(a+b),5a(a+b) (4)2xn+1,3xn-1,xn(n1 的整数）例 2：分解因式（1）9x2-6xy+3xz (2)-10x2y-5xy2+15xy 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载(3)4a2+6ab+2a (4)-8amb3+12am+1b2+16am+2b 练习：教材22 节相应随堂练习与知识技能例 3：分解因式：（1）2x(y+z)-3(y+z) (2)6(x-y)3-9y(x-y)2(3)x(x-y)+y(y-x) (4)x(x-y)(a-b)-y(y-x)(b-a) 小结：当 n 为正整数时（x-y)2n=(y-x)2n,(x-y)2n-1=-(y-x)2n-1【训练测评】1下列各组多项式中，没有公因式的一组是（）Aax-bx 和 ay-by B2a-3b 和 4a2-6ab C （a-b)2和 (b-a)3 Dxy+xz 和 xy-z 2多项式 -12x2y3+16x3y2+4x2y2的一个因式是-4x2y2，则另一个因式是（）A3y+4x-1 B3y-4x-1 C3y-4x+1 D 3y-4x 34a5b2c2;8a2b3c4,12a3b4的公因式为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载4把 5m2n3-3m2n2-m2n2分解因式得5先分解因式，再求值7a(b+2)+3a(b+2), 其中 a=2,b=-1 6分解因式：（1）5(x-y)2+10(y-x)2(2)6(m-3)+x(3-m) (3)3a2-4ab+a (4)9x2y3-12x3y+3xy 四、拓展延伸n 为整数， n2+n 能被 2 整除吗？【课后反思】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载23 运用公式法（一）【学习目标】1由整式乘法的平方差公式，完全平方公式约出用公式法分解因式的方法2会用公式法分解因式【预习设计】1由 (a+b)(a-b)=a2-b2得 a2-b2= 2分解因式（1）x2-25= (2)9x2-y2= 【学习探究】一、学前准备知识回顾：1 分解因式的概念2平方差公式：二、师生互动1平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 注：式子中a,b 可为多项式，也可为单项式。2平方差公式的特点：结构二项式，一项正，一项负，系数能平方指数要成双，项项完全平方，减号在中央例：分解因式（1）16x2-25y2 (2)9a2-449b2(3)(a+b)2-9 (4)9(m+n)2-(m-n)2(5)2x3-8x 【训练测评】1下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载A-0 1m4+n4 B-16a2+b2C1121-a4D9a2-64b22分解因式（1）9x2-1 (2)-812+4y2(3)(a-1)2+b2(1-a) (4)a5-a (5)(m-n)2-1 (6)4x2-(x-y)2(7)-(a+1)2+9(a-2)2 (8)-(a+b)2+(a-b)2【课后反思】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载23 运用公式法（二）【预习设计】1由完全平方公式(a b)2=a2 2ab+b2得 a2 2ab+b2= 2分解因式：4-4x+x2= 【学习探究】一、学前准备知识回顾：1完全平方公式：2完全平方式：a2+2ab+b2或 a2-2ab+b23完全平方式的特点：首平方，尾平方，积的二倍加（减）在中央即多项式是二次三项式，其中两项的符号相同，且都是一个数(或式 )的完全平方，另外一项是那两项中数(或式 )乘积的二倍二、师生互动完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2注：式中字母a,b可为单项式，也可为多项式。例：分解因式（1）9x2-12xy2+4y4(2)(x+y)2+4(x+y)+4 (3)-6a-a2-9 (4)3ax2+6axy+3ay2(5)(x2+4)2+8x(x2+4)+16x2练习：教材23 节随堂练习、知识技能【课后反思】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载第二章分解因式专题复习一、主干知识梳理22222abababa2abbab积的形式定义每个因式都必须是整式提公因式法因式分解平方差公式：几种常用方法运用公式法完全平方公式：分组分解法二、综合创新应用一、学科内综合因式分解常用的方法是提公因式法和运用公式法，但对于稍复杂的多项式来说，往往是多法并用，综合地运用所学方法解决问题例 1：把下列各式分解因式（1） （a2+4)2-16a2; (2)x3+2x2-9x-18 例 2：解下列因式（1）4x3-4x2-9x+9 (2)x2-2xy+y2-z2(3)(x-y)2-2(x-y)-a2+1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载二、实践应用因式分解是其他数学知识（如分式的计算）的基础，是代数式恒等变形的依据，同时，它在物理、几何的简算中还有广泛的应用例 3：已知长方形的周长是20cm，它的两边x、y 是整数，且满足x-y-x2+2xy-y2+6=0,求其面积练习：一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了45cm2， 求这个正方形原来的边长，若边长减少3cm，它的面积减少了45cm2，这时原来的边长是多少呢？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页