学习必备欢迎下载排列组合知识点与方法归纳一、知识要点1.分类计数原理与分步计算原理（1）分类计算原理（加法原理）：完成一件事，有n 类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n 类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+ mn种不同的方法。（2）分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1 步有 m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法，做第n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1 m2 mn种不同的方法。2.排列（1）定义从 n 个不同元素中取出m （）个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 . （2）排列数的公式与性质a)排列数的公式： =n （n-1 ）（ n-2 ）（ n-m+1） =特例：当 m=n时， =n ！=n（ n-1 ）（ n-2 ） 321规定： 0！=1 b)排列数的性质：（） =（）（）3.组合（1）定义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载a)从 n 个不同元素中取出个元素并成一组， 叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合b)从 n 个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。（2）组合数的公式与性质a)组合数公式：（乘积表示）（阶乘表示）特例：b)组合数的主要性质：（）（）4.排列组合的区别与联系（1） 排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。（2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系：二、经典例题例 1、某人计划使用不超过500 元的资金购买单价分别为60、70 元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3 片，磁盘至少买2 盒，则不同的选购方式是（）A .5 种 B.6 种 C. 7种 D. 8种解：注意到购买3 片软件和2 盒磁盘花去320 元，所以，这里只讨论剩下的180 元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3 片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2 片软件，不买磁盘，只有1 种方法；第三类，再买1 片软件，再买1 盒磁盘或不买磁盘，有2 种方法；第四类，不买软件，再买 2 盒磁盘、 1 盒磁盘或不买磁盘，有3 种方法；于是由分类计数原理可知，共有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载N=1+1+2+3=7种不同购买方法，应选C。例 2、在中有 4 个编号为1，2，3，4 的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法？解：根据题意，有相邻边的小三角形颜色不同，但“对角”的两个小三角形可以是相同颜色，于是考虑以对角的小三角形1、4 同色与不同色为标准分为两类，进而在每一类中分步计算。第一类： 1 与 4 同色，则1 与 4 有 5 种涂法， 2 有 4 种涂法， 3 有 4 种涂法，故此时有 N1=544=80 种不同涂法。第二类： 1 与 4 不同色，则1 有 5 种涂法， 4 有 4 种涂法， 2 有 3 种涂法， 3 有 3 种涂法，故此时有 N2=5433=180 种不同涂法。综上可知， 不同的涂法共有80+180=260种。例 3、用数字 0，1，2，3，4，5 组成无重复数字4 位数，其中，必含数字2 和 3，并且2 和 3 不相邻的四位数有多少个？解：注意到这里“ 0”的特殊性，故分两类来讨论。第一类：不含“ 0”的符合条件的四位数，首先从1，4，5 这三个数字中任选两个作排列有种； 进而将 2 和 3分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有种排法，于是由分步计数原理可知，不含0 且符合条件的四位数共有=36个。第二类：含有“ 0”的符合条件的四位数，注意到正面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”：首先从1，4，5 这三个数字中任选一个，而后与0，2，3 进行全排列，这样的排列共有个。其中，有如下三种情况不合题意，应当排险：（1）0 在首位的，有个；（2）0 在百位或十位，但2 与 3 相邻的，有个（3）0 在个位的，但2 与 3 相邻的，有个因此，含有0 的符合条件的四位数共有 =30 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载于是可知，符合条件的四位数共有36+30=66 个例 4、某人在打靶时射击8 枪，命中4 枪，若命中的4 枪有且只有3 枪是连续命中的，那么该人射击的8 枪，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有（）A.720 种 B.480 种 C.24 种 D.20 种分析： 首先，对未命中的4 枪进行排列， 它们形成5 个空挡，注意到未命中的4 枪“地位平等”，故只有一种排法，其次，将连中的3 枪视为一个元素，与命中的另一枪从前面5个空格中选2 个排进去， 有种排法，于是由乘法原理知， 不同的报告结果菜有种。例 5、（1）；（2）若，则 n= ；（3）；（4）若，则 n的取值集合为；（5）方程的解集为；解：（1）注意到n 满足的条件原式 =（ 2 ） 运 用 杨 辉 恒 等 式 ， 已 知 等 式所求 n=4。（3）根据杨辉恒等式原式 = =精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载=（4）注意到这里n 满足的条件n5 且 nN*在之下，原不等式由、得原不等式的解集为5 ，6，7， 11 （5）由注意到当y=0 时，无意义，原方程组可化为由此解得经检验知是原方程组的解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页