学习必备欢迎下载数列求和方法盘点一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n 项和：1 23+n=(1)2n n，1+3+5+ +(2n-1)=2n2222123 +n =(1)(21)6n nn，3333123 +n =2(1)2n n等. 例 1 求2222222212345699100解：原式22222222(21 )(43 )(65 )(10099 )3711199由等差数列求和公式，得原式50 (3 199)50502变式练习 ：已知3log1log23x，求的前 n 项和 . 解：1n21二、倒序相加法此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 例 2 求222222222222123101102938101的和解：设222222222222123101102938101S则222222222222109811012938101S两式相加，得21111 05SS，三、裂项相消法常见的拆项公式有：1()n nk1 11()k nnk，1nkn1()nknk，1(21)(21)nn111()2 2121nn，等 . 例 3 已知222112(1)(21)6nn nn，求22222222235721()11212312nnnN的和nxxxx32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载解：22221216112(1)(1)(21)6nnnann nn nn，1116122 3(1)1111161223116 11ln.1nSn nnnnn小结： 如果数列na的通项公式很容易表示成另一个数列nb的相邻两项的差，即1nnnabb，则有11nnSbb.这种方法就称为裂项相消求和法. 变式练习： 求数列311，421，531，)2(1nn，的前n项和 S. 解：)2(1nn=211(21nn）Sn=)211()4121()311(21nn=)2111211(21nn=42122143nn四、错位相减法源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如nna b的数列，其中na为等差数列，nb为等比数列，均可用此法. 例 4 求2335(21)nxxxnx的和解：当1x时，21122(1)(21)1(1)1nnnxxxnxSxxx；当1x时，2nSn小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列nb的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n 项和公式求和. 变式练习： 求数列 a,2a2,3a3,4a4,nan, (a 为常数 )的前 n 项和。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载) 1(2)1(ann解： （1）若 a=0, 则 Sn=0 （2）若 a=1,则 Sn=1+2+3+ +n=(1)2n n（3）若 a0 且 a1 则 Sn=a+2a2+3a3+4a4+ + nan， aSn= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) Sn=a+ a2+ a3+an- nan+1= Sn= 当 a=0 时，此式也成立。Sn= 五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求. 例 5 求数列11111246248162nn， ， ，的前n项和nS23411111111(2462 )(1)222222nnnSnn n变式练习： 求数列11111 ,2,3,4,392781的前n项和解：21122 3nnn基本练习1.等比数列na的前项和S 2，则2232221naaaa_. 2.设1357( 1) (21)nnSn，则nS_. 3.1111447(32)(31)nn. 4. 1111.243 546(1)(3)nn=_ 5. 数列2211,(12),(122 ),(1222),n的通项公式na，前n 项和nS111nnnaaaa)1(1)1(121aanaaaann)1(1)1 (121aanaaaann精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载6 ;,212,25,23,2132nn的前 n 项和为 _ 提高练习1数列 an满足： a11，且对任意的m， nN*都有： amnam an mn，则20083211111aaaa( ) A20094016B20092008C10042007D200820072数列 an、 bn 都是公差为1 的等差数列，若其首项满足a1 b15，a1b1，且 a1，b1N*，则数列 nba前 10 项的和等于( ) A100 B85 C70 D55 3设 m=1 2+2 3+3 4+(n-1)n，则 m 等于( ) A.3)1(2nnB.21n(n+4) C.21n(n+5) D.21n(n+7) 4若 Sn=1-2+3-4+ +(-1)n-1n，则 S17+S3350等于( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 5设 an为等比数列 , bn为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列 cn是 1,1,2,则 cn的前 10项和为( ) A.978 B.557 C.467 D.979 61002-992+982-972+22-12的值是( ) A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 7一个有2001 项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为. 8若 12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，则 a= ,b= ,c= . 9已知等差数列an 的首项 a11，公差 d0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列 bn 的第二、三、四项(1)求数列 an与 bn的通项公式；(2)设数列 cn对任意自然数n均有1332211nnnabcbcbcbc成立求 c1c2c3 c2003的值10已知数列 an的前 n 项和 Sn满足 :Sn=2an+(-1)n,n1. (1)求证数列 an+32(-1)n 是等比数列 ; (2)求数列 an的通项公式；(3)证明：对任意的整数m4,有.8711154maaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载基础练习答案1、413n2、( 1)nn3、31nn4、1111122323nn5、121;22nnn62332nnnS。提高练习答案1解： amnamanmn， an1ana1nan1n，利用叠加法得到：2) 1(nnan，)111(2)1(21nnnnan，)200911(2)20091200813121211(211112008321aaaa20094016答案： A. 2解： ana1n1，bnb1n1 nbaa1bn1a1(b1n1)1 a1b1n25n2n 3 则数列 nba也是等差数列，并且前10 项和等于：85102134答案： B. 3解：因为an=n2-n.，则依据分组集合即得. 答案 ;A. 4解：对前n 项和要分奇偶分别解决，即：Sn=)(2)(21为偶为奇nnnn答案： A 5解由题意可得a1=1,设公比为q,公差为 d,则2212dqdq q2-2q=0,q 0,q=2,an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n, cn=2n-1+1-n,Sn=978. 答案： A 6解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+ +(2+1)=5050. 答案： B 7 解： 设此数列 an,其中间项为a1001, 则 S奇=a1+a3+a5+a2001=1001a1001,S偶=a2+a4+a6+a2000=1000a1001. 答案 : 100010018解：原式 =.6326)12()1(23nnnnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载答案：61;21;319解： (1)由题意得 (a1d)(a113d)(a14d)2(d0) 解得 d2， an2n1，可得 bn 3n1(2)当 n1 时， c13；当 n2 时，由nnnnaabc1，得 cn23n1，故).2(32),1(31nncnn故 c1c2c3 c2003 3232 32 2 320023200310 (1)证明由已知得an=Sn-Sn-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1(n2), 化简得an=2an-1+2(-1)n-1(n2), 上式可化为an+32(-1)n=2an-1+32(-1)n-1(n2), a1=1,a1+32(-1)1=31. 故数列 an+32(-1)n 是以31为首项，公比为2 的等比数列 . (2)解由（ 1）可知 an+32(-1)n=321n. an=312n-1-32(-1)n=322n-2-(-1)n,故数列 an的通项公式为an=322n-2-(-1)n. (3)证明由已知得maaa11154=mmmm)1(21631331151913123)1(21121121232232=)20110151311(21)21111151311(21=.871201051201041513)21(511513)21525234(21211)211 (513421555mmm故)4(8711154maaam精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页