mathsoft十三章多元函数积分学Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望mathsoft第三节第三节 二重积分的应用二重积分的应用第四节第四节 三重积分的概念及计算方法三重积分的概念及计算方法第五节第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分三重积分高等数学电子教案 西电教师：任春丽mathsoft第一节第一节 二重积分的概念及性质二重积分的概念及性质一、二重积分的概念1、引例、引例（1） 计算曲顶柱体的体积（如图）设曲面且在D上连续第一节 二重积分的概念及性质mathsoft解解: step1 分割：任意划分D为n个小区域step2 近似：step3 求和:定义域第一节 二重积分的概念及性质mathsoftV=step4 取极限（2）计算平面薄板的质量第一节 二重积分的概念及性质mathsoft设有一平面薄板占有xoy面上闭区域D,在点P(x,y)的面密度为且在D上连续解解：step1 分割： DXYO第一节 二重积分的概念及性质mathsoftstep 2 近似：step3 求和：step4 取极限：上面引例可以看到：两个引例的实际意义第一节 二重积分的概念及性质mathsoft不同，但都归结为同一形式的和式极限。我们把这种和式的极限抽象为二元函数在平面 闭区域D上的二重积分的定义。2、定义：、定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数。如果和式极限从在，则称此极限值为f(x,y）在区域D上的二重积分，记作，即第一节 二重积分的概念及性质mathsoft积分区域被积函数积分变量面积元素积分符号因而，引例（1）体积被积表达式第一节 二重积分的概念及性质mathsoft引例（2） 质量注 (1）极限存在指：任意分割、任意取点、和式极限值相等(2) 在直角坐标系下，若用平行与x轴，y轴的直线族划分D,则XYO第一节 二重积分的概念及性质mathsoft从而（3）二重积分为数，与变量符号无关即故记第一节 二重积分的概念及性质mathsoft 3、二重积分存在的充要条件如果f(x,y)在闭区域D上连续，则4、二重积分的几何意义（以D为底，f(x,y)未定的曲顶柱体的体积）（曲顶柱体体积的负值）第一节 二重积分的概念及性质mathsoft一般的曲顶柱体体积的代数和例例1、计算解：解：由几何意义（上半球体的体积）第一节 二重积分的概念及性质mathsoft二、二重积分的性质假设以下各积分存在性质性质1k为常数性质性质2性质性质3 （可加性）第一节 二重积分的概念及性质mathsoft（除分界线）性质性质4 如果性质性质5 (不等式性) 如果在D上第一节 二重积分的概念及性质mathsoft特别的:性质性质6 (估值性) 设第一节 二重积分的概念及性质mathsoft性质性质7 (积分中值定理) 设f(x,y)在闭区域D上连续,则至少存在一点证明：证明：第一节 二重积分的概念及性质mathsoft由闭区域连续函数的介值定理,至少存在一点第一节 二重积分的概念及性质mathsoft三、举例例例2、 设区域D:是变量y的奇函数XYO解：解：第一节 二重积分的概念及性质mathsoft是变量x的偶函数注：注：上述性质，称为二重积分的奇偶对称性对于一般函数也成立例例3、 估计下列积分值第一节 二重积分的概念及性质mathsoft（2）求D上的最大最小值XY o D解：解：第一节 二重积分的概念及性质mathsoftEp4:第一节 二重积分的概念及性质mathsoft其中D由x=0,y=0及x+y=1围成解：解：Ep5：解：解：第一节 二重积分的概念及性质mathsoft第一节 二重积分的概念及性质mathsoft第二节第二节 二重积分的计算方法（二重积分的计算方法（1）一、区域的类型及表示1、X-型区域：型区域：穿过区域D的内部且平行于 D的 边界相交至多两点aaaxxxbbbxxxyyyooo第二节 二重积分的计算方法mathsoft2、Y-型区域：型区域：穿过区域D的内部且平行于x轴的直线与D的边界相交至多两点3、其它类型、其它类型 如图非X-型，非Y-型区域xyycdooxy第二节 二重积分的计算方法mathsoft例例1、闭区域D由所围成，使用联立不等式表示区域D解：解：法一、法一、D是X型区域 则法二、法二、D是Y-型区域且第二节 二重积分的计算方法mathsoft二、利用直角坐标计算二重积分解：解：一方面一方面：曲顶柱体的体积另一方面另一方面：利用平行截面为已知的立体体积计算设：区域D为X-型得截面面积第二节 二重积分的计算方法mathsoft一般的综上：第二节 二重积分的计算方法mathsoft类似的，若D为Y-型区域称为先x后y的二次积分情形仍成立关键，步骤如下：第二节 二重积分的计算方法mathsoft第一步：第一步：画区域D的图形第二步：第二步：确定类型，求投影曲间，穿入、穿出线方程，并用联立不等式表示区域第三步：第三步：将二重积分写成二次积分例例2、计算其中区域D是由解：解：画图 求出交点（-1，1）及（4，2）(4,2)(-1,1)第二节 二重积分的计算方法mathsoft法一法一 D是X-型区域，且法二法二 D是Y-型区域，且(4,2)(-1,1)第二节 二重积分的计算方法mathsoft例例3、计算，其中D由所围成解：解：D是X-型区域第二节 二重积分的计算方法mathsoft又 D是Y-型区域无法积分这说明此积分先x后y的顺序的方法失效注：注：上述两例说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要恰当的选择二次积分的顺序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f(x,y)的特性。第二节 二重积分的计算方法mathsoft例例4、改变二次积分的积分次序均为X-型，画出区域D如图视为Y-型区域解：解：第二节 二重积分的计算方法mathsoft则原式=例例5、计算由曲面所围立体的体积解：解：立体如图，且在xoy面上投影区域第二节 二重积分的计算方法mathsoft第二节 二重积分的计算方法mathsoft第二节第二节 二重积分的计算方法（二重积分的计算方法（2）三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分对于某些二重积分，利用直角坐标计算往往是很困难的，而在极坐标系下计算则比较简单。如：积分区域为圆形，被积函数为时，可考虑极坐标系下计算。方法如下1、化为极坐标系下的二重积分，由定义且将区域D第二节 二重积分的计算方法mathsoft放在极坐标系中第一步第一步 分割:用两族曲线r=常数同心圆=常数射线任意分割区域D为n个小区域除含边界的小区域外，其它小闭区域面积第二节 二重积分的计算方法mathsoft第二步第二步 取且对应的直角坐标系为则从而其中为极坐标系下的面积元素 注注: 相当于二重积分作了变量代换,因而换元就要换限第二节 二重积分的计算方法mathsoft2、化为二次积分情形（情形（1）极点在D的外部情形（情形（2）极点在D的边界上D第二节 二重积分的计算方法mathsoft 情形（情形（3）极点在D内D第二节 二重积分的计算方法mathsoft例例1：计算D是由曲线解：解：第二节 二重积分的计算方法mathsoft例例2、将化为极坐标系下的二次积分解：解：在极坐标系下第二节 二重积分的计算方法mathsoft例例3、求球体被圆柱面所截得的（含在圆柱面内部的）立体的体积。解：解：由对称性体积在极坐标系下故第二节 二重积分的计算方法mathsoft第二节 二重积分的计算方法mathsoft一、几何应用一、几何应用1、立体的体积、立体的体积:2、平面图形面积、平面图形面积:3、曲面的面积、曲面的面积:第三节第三节 二重积分的应用二重积分的应用第三节 二重积分的应用mathsoft解解:（方法:小元素法,即微分法）第三节 二重积分的应用mathsoft第三节 二重积分的应用mathsoft第三节 二重积分的应用mathsoft例例1:求半径为a的球面面积。解解:第三节 二重积分的应用mathsoft第三节 二重积分的应用mathsoft例例2:解解: 第三节 二重积分的应用mathsoft第三节 二重积分的应用mathsoft1、平面薄片的重心、平面薄片的重心二、物理应用二、物理应用第三节 二重积分的应用mathsoft质点系对y轴的静力矩质点系对x轴的静力矩质点系的质量第三节 二重积分的应用mathsoft(2)设有一平面薄片，区域为D，面密度P(x,y)(在D(3)上连续) 求:解解:第三节 二重积分的应用mathsoft第三节 二重积分的应用mathsoft例例3:解解:第三节 二重积分的应用mathsoft第三节 二重积分的应用mathsoft第三节 二重积分的应用mathsoft2、平面薄片的转动惯量、平面薄片的转动惯量第三节 二重积分的应用mathsoft解解:第三节 二重积分的应用mathsoft例例4:解解:第三节 二重积分的应用mathsoft3、平面薄片对质点的引力、平面薄片对质点的引力例例5:解解:面积微元第三节 二重积分的应用mathsoft第三节 二重积分的应用mathsoft第三节 二重积分的应用mathsoft例例6:解解:第三节 二重积分的应用mathsoft第三节 二重积分的应用mathsoft一、概念一、概念引例引例:解解:第四节第四节 三重积分的概念及计算方法三重积分的概念及计算方法第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft抽去其物理意义,引入三重积分的定义。定义定义:记作:第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft注注:第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft1、先一后二法、先一后二法:二、直角坐标系下二、直角坐标系下,的计算方法的计算方法第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft先一后二积分法为z-x-y的积分顺序的三次积分类似的,有其他五种几分顺序第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft例例1:解解:第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft例例2:解解:第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft2、先二后一法、先二后一法先二后一法先二后一法第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft例例3:解解: 方法一: 先一后二法第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft方法二: 先二后一法第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft例例4:解解:第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft练习练习:解解: 先一后二法第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft解解:第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft先二后一法:第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft第四节 三重积分的概念及计算方法mathsoft一、柱面坐标计算三重积分一、柱面坐标计算三重积分1、柱面坐标:第五节第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分利用柱面和球面坐标计算三重积分第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft柱面坐标系下的三组坐标面:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft例例1:解解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft例例2:解解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft 二、球面坐标计算三重积分二、球面坐标计算三重积分1、球面坐标第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft球面坐标系下的三组坐标面:以o为心的球面以o为顶点的圆锥面过z轴的半平面第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft3、化为三次积分第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft如如:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft例例3:解解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft例例4:解解: 利用球面坐标计算第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft三、三重积分的应用三、三重积分的应用第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft例例5:解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft例例6:解解:第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分mathsoft第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分教师：任春丽