第2课时 指数函数及其性质的应用 一般地，函数一般地，函数y= =ax（a0 0，且且a）叫做）叫做指数函数指数函数. .1.1.指数函数的定义是什么？指数函数的定义是什么？（2 2）在）在R R上是上是减函数减函数（1 1）过定点（）过定点（0 0，1 1），即），即x=0x=0时，时，y=1y=1 性性质质（0 0，+） 值值域域R R定义定义域域图图象象a1a10a10a12.2.指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质（2 2）在）在R R上是上是增函数增函数 0101定点，定点，单调单调性是性是考查考查重点重点1.1.理解指数函数的单调性与底数的关系；理解指数函数的单调性与底数的关系；2.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题；能运用指数函数的单调性解决一些问题； ( (重点）重点）3.3.通过典型例题初步掌握指数函数的图象和性质在解通过典型例题初步掌握指数函数的图象和性质在解题中的应用题中的应用. .（难点）（难点）探究点探究点1 1 指数函数的定义域和值域指数函数的定义域和值域【例【例1 1】 求函数求函数 的定义域及值域的定义域及值域【解析【解析】由由x x1010得得x1,x1,所以函数所以函数 的定义域是的定义域是x|x1.x|x1.令令 则则t tt|t0.t|t0.根据指数函数根据指数函数y=2y=2t t的图象可知的图象可知y=2y=2t ty|yy|y0 0且且y1y1，所以函数所以函数 的值域是的值域是y|yy|y0 0且且y1.y1.该函数是该函数是指数函数指数函数吗？吗？先求定义域，确定指数的取值范围，利用单调性求值先求定义域，确定指数的取值范围，利用单调性求值求下列函数求下列函数 的定义域与值域的定义域与值域. .【解题关键【解题关键】【变式练习【变式练习】【例【例2 2】 求函数求函数f f（x x）=4=4x x-3-32 2x+1+3+3（0x40x4）的）的值域值域. .【解析【解析】因为因为0x40x4，所以，所以1212x x1616，所以所以f f（x x）=4=4x-3-32 2x+1+3=+3=（2 2x x）2-6-62 2x+3+3= =（2 2x x-3-3）2-6-6，所以当所以当2 2x x=3=3时，时，y=fy=f（x x）取最小值）取最小值-6-6，当当2 2x x=16=16时，时，y=fy=f（x x）取最大值）取最大值163163，故函数故函数f(xf(x) )的值域为的值域为-6,163.-6,163.令令t=t=2 2x x ，则函数，则函数可看成关于可看成关于t t的二的二次函数次函数函数函数y=ay=af(xf(x) )定义域、值域的求法定义域、值域的求法(1)(1)定义域定义域函数函数y=ay=af(xf(x) )的定义域与的定义域与y=f(xy=f(x) )的定义域相同的定义域相同. .(2)(2)值域值域 换元换元 ，令，令t=f(xt=f(x) )；求求t=f(xt=f(x) )的值域的值域t tM M；利用利用y=ay=at t的单调性求的单调性求y=ay=at t，t tM M的值域的值域. .换元法换元法【提升总结【提升总结】【变式练习【变式练习】求函数求函数f(xf(x)=3)=3x x1 1的定义域、值域的定义域、值域. .【解析【解析】因为因为f(xf(x)=3)=3x x1=( )1=( )x x1 1，所以函数所以函数f(xf(x)=3)=3x x1 1的定义域为的定义域为R.R.由由x xR R得得( )( )x x0 0，所以，所以( )( )x x-1-1-1-1，所以函数所以函数f(xf(x)=3)=3x x1 1的值域为的值域为( (1,+).1,+).关键关键探究点探究点2 2 指数函数在实际问题中的应用指数函数在实际问题中的应用例例3.3.截止到截止到19991999年底，我国人口约年底，我国人口约1313亿。如果今后亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在能将人口年平均增长率控制在1%1%，那么经过，那么经过2020年后，年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？我国人口数最多为多少（精确到亿）？分析：分析：可以从经过可以从经过1 1年后、年后、2 2年后、年后、3 3年后等具体的年后等具体的人口数入手，归纳经过人口数入手，归纳经过x x年之后的人口数的函数关年之后的人口数的函数关系式，再把经过系式，再把经过2020年后的人口数表示出来，进行具年后的人口数表示出来，进行具体计算体计算. .由特殊到一般由特殊到一般解：解：设今后人口年平均增长率为设今后人口年平均增长率为1%1%，经过，经过x x年后，我年后，我国人口数为国人口数为y y亿亿.1999.1999年底，我国人口约为年底，我国人口约为1313亿亿. .经过经过1 1年（即年（即20002000年），人口数为年），人口数为经过经过2 2年（即年（即20012001年），人口数为年），人口数为（亿）；（亿）；（亿）（亿）. .经过经过3 3年（即年（即20022002年），人口数为年），人口数为所以，经过所以，经过x x年，人口数为年，人口数为当当x=20x=20时，时， （亿）。（亿）。所以，经过所以，经过2020年后，我国人口数最多为年后，我国人口数最多为1616亿。亿。（亿）；（亿）；（亿）（亿） 在实际问题中，经常会遇到类似本例的指数增在实际问题中，经常会遇到类似本例的指数增长模型：设原有量为长模型：设原有量为N N，每次的增长率为，每次的增长率为p p，经过，经过x x次增长，该量增长到次增长，该量增长到y y，则，则 形形如如 的函数的函数是一是一种种 指数型函数指数型函数 ，这是非常有用的函数模型。，这是非常有用的函数模型。【提升总结【提升总结】普通纸普通纸140140张的厚度大约是张的厚度大约是1 1厘米，一张纸足够厘米，一张纸足够大大，可以任意折叠的纸，折可以任意折叠的纸，折1010次后纸张的厚度次后纸张的厚度为多少米？为多少米？【变式练习【变式练习】探究点探究点3 3 人口增长率问题的进一步探究人口增长率问题的进一步探究（1 1）如果人口年平均增长率保持在）如果人口年平均增长率保持在2%2%，利用计算器，利用计算器分别计算分别计算20202020到到21002100年，每隔年，每隔5 5年相应的人口数。年相应的人口数。以例题中计算的以例题中计算的20202020年我国的人口数年我国的人口数1616亿为基准。亿为基准。这时函数模型是这时函数模型是20252025年的人口数是年的人口数是20302030年的人口数是年的人口数是20352035年的人口数是年的人口数是20402040年的人口数是年的人口数是20452045年的人口数是年的人口数是20502050年的人口数是年的人口数是20552055年的人口数是年的人口数是20602060年的人口数是年的人口数是20652065年的人口数是年的人口数是20702070年的人口数是年的人口数是20752075年的人口数是年的人口数是20802080年的人口数是年的人口数是20852085年的人口数是年的人口数是20902090年的人口数是年的人口数是20952095年的人口数是年的人口数是21002100年的人口数是年的人口数是这么多人口可以想象吗？这么多人口可以想象吗？从这个图象上可以看从这个图象上可以看出随着出随着x x的增大，函数的增大，函数值的增长越来越快，值的增长越来越快，呈现一种呈现一种“爆炸式爆炸式”的增长趋势。的增长趋势。（2 2）你看到人口的增长呈什么趋势？）你看到人口的增长呈什么趋势？我们使用软件画出函数我们使用软件画出函数 的图象的图象x xy yO某工厂现在的年利润是某工厂现在的年利润是1 0001 000万元，该工厂年利万元，该工厂年利润的增长率是润的增长率是20%20%，则，则1010年后该工厂的年利润是年后该工厂的年利润是多少万元？（精确到万元）多少万元？（精确到万元）答案：答案：构造指数型构造指数型函数函数【变式练习【变式练习】解题关键：解题关键：根据指数函数的性质，注意采用根据指数函数的性质，注意采用 中间值中间值0 0和和1 1进行比较。进行比较。探究点探究点4 4 指数函数在解题中的应用指数函数在解题中的应用例例4.4.三个数三个数 的大小顺序是（的大小顺序是（ ）. .解析：解析：所以，所以，B B一般都选用一般都选用这两个值这两个值三个数三个数 的大小顺序是（的大小顺序是（ ）. .解析：解析：注意与注意与1 1的的比较！比较！B B【变式练习【变式练习】例例5.5.解下列不等式：解下列不等式：解题关键：解题关键：根据指数函数的单调性把指数不等式根据指数函数的单调性把指数不等式 转化为代数不等式转化为代数不等式. .解析：解析：（1 1）由由 ，得，得根据指数函数的单调性得根据指数函数的单调性得解这个不等式得解这个不等式得（2 2）当）当0a10a1a1时，根据指数函数的单调性得不等式时，根据指数函数的单调性得不等式3x-12x-43x-12x-4，解这个不等式得，解这个不等式得x-3.x-3.所以，当所以，当0a10a1a1时，不等式的解集是时，不等式的解集是x-3.x-3.分类分类讨论讨论 本题的不等式通常称为指数不等式，解这类不本题的不等式通常称为指数不等式，解这类不等式的基本方法是根据指数函数的单调性转化为代等式的基本方法是根据指数函数的单调性转化为代数不等式，在底数不确定时要注意分类讨论数不等式，在底数不确定时要注意分类讨论. .转转化化的的思思想方法！想方法！【提升总结【提升总结】如果如果a5xax7(a0，且，且a1)，求，求x的取值范围的取值范围【变式练习【变式练习】本题中，若将本题中，若将“a5xax7(a0，且，且a1)”改为改为“(a2a2)5x(a2a2)x7”，如何求解？，如何求解？【互动探究【互动探究】4.4.函数函数y=4y=4x x+2+2x+1x+1+5+5，x1x1，22的最大值为（）的最大值为（）A A20 B20 B25 C25 C29 D29 D3131【解析【解析】因为因为x1x1，22，所以，所以2222x x44，所以所以y=4y=4x x+2+2x+1x+1+5=+5=（2 2x x）2 2+2+22 2x x+5=+5=（2 2x x+1+1）2 2+4+4，当当2 2x x=4=4时，时，y ymaxmax= =（4+14+1）2 2+4=29+4=29C C指数函数及其性质的应用指数函数及其性质的应用性质的应用性质的应用指数型函数指数型函数当指数型函数的底数大于当指数型函数的底数大于1 1时，随着自变时，随着自变量的增加，函数值呈现量的增加，函数值呈现“爆炸式爆炸式”增长增长. .数值的大小比较数值的大小比较指数不等式指数不等式指数方程指数方程利用转化利用转化除了人格以外，人生最大的损失，莫过于失掉自信心了。