专题八 三角形和四边形在近几年中考中，涌现了大量以三角形、四边形为素材或背景，或设置有关两三角形全等、相似，或有关特殊三角形、四边形形状的性质及判定，或借助一定的图形变换(折叠、平移、旋转、剪拼等)与动态操作，酝酿与构建相关图形的某种状态与结论，进行相关计算、作图、证明或探究，这对于培养与训练学生的空间观念、动手操作、合情推理和探究能力等具有重要的作用解决这类问题的关键应把握三角形、四边形的性质与特征，加强相关图形之间的联系，利用所给图形及图形之间形状、大小、位置关系，进行观察、实验、比较、联想、类比、分析、综合从动态、变换操作的角度，运用分类讨论思想分析与解决有关两个三角形(全等或相似)、特殊三角形、特殊四边形的问题，进一步体会三角形与四边形之间相互转化、相互依存的内在关系，从而提高学数学、用数学的能力与素养在解决此类问题时要注意：平移、对称、旋转等只是改变了图形的位置，而没在改变图形的形状与大小与三角形、四边形有关的计算、证明例1：已知，在ABC中，BAC90，ABC45，点D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与点 B，C 重合)以 AD 为边作正方形 ADEF，连接 AC，CF.(1) 如图 Z81(1)，当点 D 在线段 BC 上时，求证：CFCDBC ；(2) 如图 Z81(2)，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出 CF，BC，CD 三条线段之间的关系；(3) 如图 Z81(3)，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A，F 分别在直线 BC 的两侧，其他条件不变请直接写出 CF，BC，CD 三条线段之间的关系；，对角线 AE，DF 相交于若正方形 ADEF 的边长为 点 O，连接 OC，求 OC 的长度(1)(3)(2)图 Z81思路分析：由于ABC 是等腰直角三角形，利用 SAS 即可证明BADCAF，从而证得 CFBD，把这种全等(或相似、平行、垂直、倍分等)的关系类比应用于后续问题，是解动态几何问题的常用方法(1)证明：BAC90，ABC45，ACBABC45.ABAC.四边形 ADEF 是正方形，ADAF，DAF90.BAD90DAC，CAF90DAC，BADCAF.BADCAF(SAS)BDCF.BDCDBC，CFCDBC.(2)解：CFCDBC.(3)解：CDCFBC.BAC90，ABC45，ACBABC45.ABAC .四边形 ADEF 是正方形，ADAF，DAF90.BAD90BAF，CAF90BAF，BADCAF.BADCAF(SAS)ACFABD.ABC45，ABD135.ACFABD135.FCD90.FCD 为直角三角形名师点评：题目中首先提供某种特殊情形下的结论，然后将其进行拓展、延伸到一般情况，进一步探究相关结论，解答此类问题的关键是由特殊到一般、由简单到复杂的思维方式，这类试题不仅结论可以类比，而且思维方法、证明过程也可通过类比得出与三角形、四边形有关的操作探究题例 2：某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的，且含60角的直角三角板ABC与AFE按如图Z82(1)所示位置放置，现将 Rt AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角(090)，如图Z82(2)，AE与BC交于点M，AC与EF交于点 N，BC 与 EF 交于点 P.(1)求证：AMAN；(2)当旋转角30时，四边形 ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由(1)(2)图 Z82思路分析：(1)要证 AMAN，只需证明其所在的ABM 与AFN 全等(2)探究四边形 ABPF 的形状，须抓住旋转角 30，结合直角三角形中的 60，30，90进行思考(1)证明：EAC90，NAFEAC90，NAF.又BF，ABAF，ABMAFN(ASA)AMAN.(2)解：四边形 ABPF 是菱形理由如下：30，EAF90，BAF120.又BF60，BBAF60120180，FBAF60120180.AFBC，ABEF.四边形 ABPF 是平行四边形又ABAF，ABPF 是菱形名师点评：探究四边形的形状要熟练掌握特殊四边形(平行四边形、菱形、矩形、正方形)的判定方法，关键是挖掘背景图形中所含的条件