学习必备欢迎下载 2.3函数的奇偶性与周期性了解函数奇偶性的含义.在高考中，函数的奇偶性、周期性常与函数的其他性质结合在一起命题，综合考查学生对函数基本概念及性质的理解，题型以选择、填空为主.1.奇偶函数的概念(1)偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数 .(2)奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数 .2.奇偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称 .3.具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即定义域关于是一个函数具有奇偶性的条件 .4.周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数 f(x)，如果存在一个T，使得当 x 取定义域内的值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数 .T 叫做这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 .5.函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数 f(x)为奇函数，在 a，b上为增 (减)函数，则 f(x)在b， a上应为；(2)若函数 f(x)为偶函数，在 a，b上为增 (减)函数，则 f(x)在b， a上应为.6.奇偶函数的 “ 运算 ” (共同定义域上 ) 奇 奇，偶 偶，奇 奇，偶 偶，奇 偶. 7.函数的对称性如果函数 f(x)，xD，满足 ?xD，恒有 f(ax)f(bx)，那么函数的图象有对称轴；如果函数 f(x)， xD，满足 ? xD，恒有 f(ax) f(bx)，那么函数的图象有对称中心.8.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(xD)在定义域内有两条对称轴xa，xb(ab)，则函数 f(x)是周期函数，且周期T2(ba)(不一定是最小正周期，下同).(2)如果函数 f(x)(xD)在定义域内有两个对称中心A(a， 0)，B(b，0)(a0 时，f(x)x21x，则 f(1)() A 2 B0 C1 D2 解： f(x)为奇函数， f(1) f(1) 2. 故选 A.(2013 东北三校联考 )若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则 f(3)f(4)() A 1 B1 C 2 D2 解： 函数 f(x)的周期为 5，f(3)f(4)f(2)f(1)，又f(x)为 R 上的奇函数， f(2)f(1) f(2)f(1) 21 1.故选 A.设函数 f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a. 解： 令 g(x)x，h(x)exaex，因为函数g(x)x 是奇函数，则由题意知，函数h(x)exaex为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，h(0)0，解得 a 1.故填 1.若 f(x)a 2xa12x1是奇函数，则a. 解： 由 f(x) f(x)对任意 x 恒成立，即 f(x)a 2xa12x1（1a）2xa12x f(x)a 2xa112x对任意 x 恒成立，所以1aa，即 a12.故填12.类型一函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)(x1)1x1x；(2)f(x)x22x1，x0，x22x1，x0；(3)f(x)4x2x；(4)f(x)x211x2；(5)f(x)loga(xx21)(a0 且 a1) .解： (1)定义域要求1 x1 x 0，1x 1，f(x)的定义域不关于原点对称，f(x)不具有奇偶性(2)解法一 (定义法 )：当 x0 时， f(x) x22x1， x0，f(x)(x)22(x)1x22x1 f(x)；当 x0 时， f(x)x22x1， x0，f(x) (x)22( x)1 x22x1f(x)f(x)为奇函数解法二 (图象法 )：作出函数f(x)的图象， 由图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数(3)4x2 0，x0 ，2 x 2 且 x0 ，定义域关于原点对称又 f(x)4（ x）2x4x2x，f(x) f(x)故函数 f(x)为奇函数(4)f(x)的定义域为 1，1，关于原点对称，又f(1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载f(1)0，即 f(1)f(1)，且 f(1) f(1)，故 f(x)既是奇函数，又是偶函数(5) 函数的定义域为R，又f(x)f(x) logax（ x）21loga(xx21) loga(x21x)loga(x2 1x) loga(x21x)(x21x) loga(x21 x2)loga10. 即 f(x) f(x)，f(x)为奇函数【评析】 (1)判断函数奇偶性的步骤是：求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；验证f(x)是否等于 f(x)，或验证其等价形式f(x) f(x)0 或f（ x）f（x） 1(f(x)0) 是否成立 (2)对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断(3)对于含有 x 的对数式或指数式的函数通常用 “ f(x) f(x)0” 来判断(2013 广州模拟 )判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)(x1)1x1x；(2)f(x)lg（4x2）|x2|x4|；(3)f(x)x2x，x0，x2x，x0.解： (1)由1x1x 0，得 1 x1，即函数f(x)的定义域是 x|1 x1，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)由4x20，|x2|x4| 0，得 2x2，即函数 f(x)的定义域是 x|2x2又 f(x)lg（4x2）|x2|x4|lg（4x2）2x x416lg(4x2)，f(x)16lg4(x)216lg(4x2)f(x)，所以函数f(x)是偶函数(3)当 x0 时， f(x)x2x， x0，f(x)(x)2x x2x f(x)；当 x0 时， f(x) x2x， x0，f(x)(x)2xx2x f(x)f(x)是奇函数类型二利用函数性质求解析式已知函数 f(x)满足 f(x) f(x2)13. (1)求证： f(x)是周期函数；(2)若 f(1)2，求 f(99)的值；(3)若当 x0，2时， f(x)x，试求 x4，8时函数 f(x)的解析式 .解：(1)证明：由题意知f(x)0 ，则 f(x2)13f（x）.用 x2代替 x 得 f(x4)13f（x2）f(x)，故 yf(x)为周期函数，且周期为 4. (2)若 f(1)2，则 f(99)f(24 43)f(3)13f（1）132. (3)当 x4，6时， x40，2，则 f(x4)x4，又周期为4，所以 f(x)f(x4)x4. 当 x(6，8时， x6(0，2，则 f(x6)x6，根据周期为 4，则 f(x2)f(x6)x6. 又 f(x) f(x2)13，所以 f(x)13f（x2）13x6. 所以解析式为f(x)x4，4 x 6，13x6，6x 8.【评析】 本题存在规律性：若f(xa) f(x)b(常数 )，则f(x)的周期为 2a(a0)；同理， f(xa)f(x)或 f(xa)1f（x）或 f(xa)1f（x），均可推得f(x)的周期 T2a(a0)已知函数 f(x)，xR 的图象关于y 轴对称，且当 x0，1时，f(x)x2，同时 f(x2)f(x)，求 f(x).解： 由题意知函数f(x)是偶函数，也是以2 为周期的周期函数所以先求出一个周期内的表达式，然后推广到整个定义域即可0 x 1 时， f(x)x2，且 f(x)为偶函数，当 1 x 0 时， f(x)x2. 1 x 1 时， f(x)x2. f(x)为周期函数，且周期为2，f(x2n)f(x)(nZ)故 f(x)(x2n)2(x(2n1，2n1)(nZ)类型三奇偶性与单调性的综合设定义在 2，2上的偶函数 f(x)在区间 0，2上单调递减，若f(1m)f(m)，则实数 m 的取值范围是_.解： f(x)是偶函数， f(x)f(x)f(|x|)f(1m)f(m) ? f(|1m|)f(|m|)又当 x0，2时， f(x)是减函数，|1m|m|，2 1m 2，2 m 2.解得 1 m12. 故填)1，12.【评析】 在解题过程中抓住偶函数的性质，将1m，m 转化到同一单调区间上，避免了由于单调性不同导致1m 与 m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化另外，不要忘记定义域已知定义域为 (1，1)的奇函数yf(x)，在(1，1)上又是减函数，且满足f(2x1)f( )130，则 x的取值范围为 _.解：由奇函数的性质得f(2x1)f( )13，又 yf(x)是(1，1)上的减函数，则12x11，2x113，解得13x 1.故填()13，1.类型四函数周期性和奇偶性的应用已知函数 f(x)是 R 上的偶函数，且满足f(5x)f(5x)，在0，5上有且只有f(1)0， 则 f(x)在2014，2014上的零点个数为 () A808 B806 C805 D804 解： 函数 f(x)是 R 上的偶函数，在 0，5上有且只有一个零点，所以在 5，0上也只有一个零点，而f(5x)f(5x)，说明函数yf(x)的图象以直线x5 为对称轴，所以f(x)的周期是 10，每个周期上有两个零点，因此 f(x)在2010，2010上有402010 2804 个零点，而f(2011)f(2011)0，所以 f(x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载在2014，2014上的零点个数为806.故选 B.【评析】 求函数在较大区间(这里是 2014，2014)上的零点个数，我们自然想到利用函数的周期性，但题目中没有明确给出周期，因此考虑利用条件f(5x)f(5x)进行转化本题利用了结论： “ 若 f(x)为偶函数，又关于直线xa 对称，则其周期 T2a(a0)；若 f(x)为奇函数，且关于直线xa 对称，则其周期 T4a(a0)” . 已知函数 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(2)0，对任意的 xR，都有 f(x4)f(x)f(4)成立，则 f(2014)的值为 () A4024 B2014 C2012 D0 解： 函数 yf(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2)0，则f(2)0. f(x4)f(x)f(4)，令 x 2，得 f(2)f(2)f(4)，f(4)0. f(x4)f(x)，即 4 为 f(x)的周期f(2014)f(503 42)f(2)0，故选 D. 1.判断函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，如果函数定义域不关于原点对称，那么它不具有奇偶性)，然后再判断f(x)与 f(x)的关系，从而确定函数的奇偶性.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了方便判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或应用定义的等价形式： f(x) f(x) ?f(x) f(x)0?f（ x）f（x） 1(f(x)0) 进行判断 .3.判断函数奇偶性的方法通常有(1)定义法：根据定义判断.(2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y 轴对称 .(3)运用奇偶函数的运算结论.要注意的是定义域应为两个函数定义域的交集.4.判断周期函数的一般方法(1)定义法： 应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件， 合理赋值，巧妙转化 .考点梳理栏目中有关周期的结论应熟记.(2)公式法：若函数f(x)是周期函数，且周期为T，则函数f(axb)(a0) 也为周期函数，且周期T T|a|. 5.函数奇偶性和周期性的应用已知奇 (偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换 .如：若 x0，则 x0；若 1x2，则 3x24 等.如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇 (偶)函数而言 )或某一周期内 (对周期函数而言 )考虑，然后推广到整个定义域上.6.解题中要注意以下性质的灵活运用(1)f(x)为偶函数 ? f(x)f(|x|)；(2)若奇函数 f(x)在 x0 处有定义，则f(0)0；(3)若 f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x轴上 .1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0， ) 上单调递减的函数是 () Ayln1|x|Byx3Cy2|x|Dycosx解： yln1|x|为偶函数，且x0 时， yln1|x| lnx为减函数 故选 A.2已知对任意实数x，有 f(x) f(x)，g(x)g(x)，且 x0 时， f (x)0，g (x)0；则 x0 时() Af (x)0，g (x)0 Bf (x)0，g (x)0 Cf (x)0，g (x)0 Df (x)0，g (x)0 解： 由二者的奇偶性结合图象，可得答案，故选 B. 3.(2013 沈阳一模 )已知偶函数f(x)在区间 0， ) 上单调递减，则满足不等式f(2x1)f( )53成立的 x的取值范围是 () A.)13，43B.()13，43C.()13，43D.)13，43解：因为偶函数f(x)在区间 0，) 上单调递减，所以f(x)在区间 ( ，0上单调递增，若f(2x1)f( )53，则532x153，解得13x43.故选 B.4.若函数 f(x)满足 f(x) f(x2)2，且 f(2)2，则 f(2014)() A2 B 2 C1 D2010 解： 由 f(x2)2f（x）得 f(x4)2f（x2）f(x)，4是函数 f(x)的周期， f(2014)f(503 42)f(2)2.故选 A.5.(2012 重庆)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且以2 为周期，则 “ f(x)为0，1上的增函数 ” 是“ f(x)为3，4上的减函数 ”的() A既不充分也不必要的条件B充分不必要的条件C必要不充分的条件D充要条件解：由 f(x)是定义在 R 上的偶函数知， 若 f(x)在0，1上是增函数，则f(x)在1，0上是减函数，又f(x)以 2 为周期，则f(x)在3，4上也是减函数，反之也成立故选 D.6.(2012 山东改编)定义在 R上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x).当 3 x1 时，f(x) (x2)2.当 1 x3 时，f(x)x，则 f(1)f(2)f(3)f(2 014)() A336 B337 C1 678 D2 014 解： 由已知得函数f(x)以 6 为周期，据分段函数在其两段上的解析式得f(1)1， f(2)2， f(3)f(36)f(3) 1， f(4)f(46)f(2)0，f(5)f(56)f(1) 1，f(6)f(0)0，因此 f(1)f(2) f(6) 1，故由周期函数的性质得f(1) f(2) f(2 014) 335f(1)f(2)f(6)f(1)f(2)f(3)f(4)335 112(1)0337.故选 B.7.已知奇函数f(x)与偶函数 g(x)满足 f(x)g(x)axa-x2，且 g(b)a，则 f(2)的值为.解： f(x)g(x)axax2，f(x)g(x)a-xax2，又 f(x)为奇函数， g(x)为偶函数， f(x)g(x)axax2.f(x)axax，g(x)2，a2，f(2)2222154.故填154.8.(2013 四川 )已知 f(x)是定义域为R 的偶函数， 当 x0 时，f(x)x24x.那么，不等式f(x2)5 的解集是 _.解： 当 x0 时， f( )x f()x x24x，作出函数f(x)的图象，解得不等式f(x)5 的解集是 5x5，f(x2)5 的解集是 5x25，即 7x3.故填()7，3 . 9.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且满足：f(x)f(2x)；当 0 x1时， f(x)x2. (1)判断函数 f(x)是否为周期函数；(2)求 f(5.5)的值 .解： (1)由f（x） f（2x），f（x） f（ x）?f(x)f(2x)? f(x)f(x2)? f(x)是周期为 2 的周期函数(2)f(5.5)f(41.5)f(1.5)f(21.5)f(0.5)0.25. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载10.已知函数 f(x)的定义域为 (2，2)，函数 g(x)f(x1)f(32x).(1)求函数 g(x)的定义域；(2)若 f(x)为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式g(x) 0 的解集 .解： (1)由题意可知2x12，232x2，1x3，12x52，解得12x52，故函数 g(x)的定义域为()12，52. (2)由 g(x) 0 得 f(x1)f(32x) 0. f(x1) f(32x)又f(x)为奇函数， f(x1) f(2x3)，而 f(x)在(2，2)上单调递减，x1 2x3，12x52，解得12x 2，不等式 g(x) 0 的解集为(12，2. 11.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数且对任意实数x，恒有 f(x2) f(x)，当 x0，2时， f(x)2xx2. (1)求证： f(x)是周期函数；(2)当 x2，4时，求 f(x)的解析式；(3)计算 f(0)f(1) f(2013)的值 .解： (1)证明：因为f(x2) f(x)，所以 f(x4) f(x2)f(x)，因此， f(x)是以 4 为周期的函数(2)x2，0时， x0，2，f(x) 2xx2，因为 f(x)是奇函数，所以 f(x) f(x) (2xx2)2xx2，当 x2，4时， x4 2，0，所以 f(x4)2(x4)(x4)2，因为 f(x)以 4 为周期，所以 f(x)f(x4)(x 4)22(x4)x26x8. (3)由 (1)、(2)可知 f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3) 1，所以 f(0)f(1)f(2)f(2013)503 f(0)f(1)f(2)f(3)11. 设函数 f(x)是定义在 1，0)(0，1 上的偶函数，当 x1，0)时， f(x)x3ax(aR).(1)求 f(x)的解析式；(2)若 a(0，1时， f(a)0，求 a 的值；(3)是否存在实数a 使得 x(0，1时， f(x)的最大值为1? 解： (1)令 x(0，1，则 x1，0)，f(x) x3ax. 又f(x)是偶函数， f(x)f(x)f(x) x3ax，x(0，1f(x)x3ax，x1，0），x3ax，x（0，1.(2)a(0，1且 f(a)0，a3a20， a2(a1)0，解得 a1， a0(舍去 ) 故a1. (3)当 x(0，1时， f(x) x3ax，f (x) 3x2a，0x2 1，3 3x20，当 a3 时， f(x)在(0，1上是递增的，f(x)maxf(1)a11，解得 a2，不合题意，舍去当 0 a 3 时， f (x)a3x2，令 f (x)0，得 xa3或xa3(舍去 )当 x 变化时， f (x)，f(x)的变化情况如表：x 0，a3a3a3，1f (x)0f(x)最大值f(x)在 xa3处取最大值为a33aa31?0a327433223 符合题意当 a0 时， f (x) 3x2a0，f(x)在(0，1上单调递减，故 f(x)无最大值综上所述，存在实数a3322使得 x(0，1时，f(x)有最大值 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页