名师整理优秀资源第三单元万有引力定律和人造地球卫星高考要求 ：1、了解开普勒三大定律的内容；2、掌握万有引力定律并能应用；3、知道万有引力和重力的不同；4、会用万有引力定律和圆周运动知识研究人造卫星；5、理解同步卫星运动的各物理量；6、理解三种宇宙速度，会推导第一宇宙速度；7、知道航天技术发展。知识要点 ：一、开普勒对行星运动的描述1、 开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的焦点上。即轨道定律。2、 开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等。即面积定律。（此定律不作要求）3、 开普勒第三定律：所有行星的轨道长半轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。即R3/T2K。也叫周期定律。K 值与行星无关，只与中心天体质量有关。二、万有引力定律1、 内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体的引力的大小，跟它们质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成正比，引力的方向在两物体的连线上。2、 公式： FGm1m2/r2，其中 G6.671011Nm2/kg2。叫引力常量。3、 适用条件：适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。4、 引力常量G 的测定：是卡文迪许通过扭力秤装置测出了引力常量的数值。引力常量的测出的重要意义表现在：证明了万有引力的存在和使万有引力定律有实用价值。三、万有引力和重力1、 重力是万有引力产生的：由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力，重力实际上是万有引力的一个分力，另一分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的F向变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重Fmg力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大。通常的计算中因重力和万有引和相差不大，而认为两者相等，即mgGMm/R2，gGM/R2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，因为物体所受引力随物体离地面高度的增加而减小，即 g GM/(R h)2。2、 在赤道处，物体的万有引力分解的两个分力F向和 mg 刚好在一条直线上，则有FF向mg，所以 mgFF向GMm/R2mR自2。1） 因地球自转角速度很小，GMm/R2 mR自2，所以 mgGMm/R2。 （一般情况下不考虑自转带的影响，认为重力等于万有引力。）2） 假设地球自转加快，即自变大，由mgGMm/R2mR自2知物体的重力将变小，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页名师整理优秀资源当 GMm/R2mR自2时， mg0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度 自 GM/R3，比现在地球自转角速度要大得多。四、应用万有引力定律分析天体的运动1、 基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。GMm/r2mv2/rm2r m(2/T)2rm(2f)2r 应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算。2、 天体质量和密度的计算（以地球质量为例）1） “g、R”计算法：若已知地球半径R 和地球表面的重力加速度g，依 mgGMm/R2得 MgR2/G， 地M/V 3g/4GR。“GMgR2”通常称为黄金代换式，在求解一些问题时很有用处。2） “T、r”计算法：若已知地球的卫星（如月球）绕地球做匀速圆周运动的周期T 和半径 r，由 GMm/r2m(2/T)2r，得 M42r3/GT2， 地 M/V 3 r3/GT2R3。若某一卫星绕地球在近地表面做圆周运动，则rR，此时 地3 /GT2，只需测定运行周期即可。3、 人造卫星：绕地球飞行的物体。人造卫星的发送分三个阶段：发射升空阶段、飘移进入轨道阶段和进入预定轨道上绕地球运行阶段。在第一阶段有竖直向上的加速度，处于超重状态；第三阶段有竖直向下的加速度且为重力加速度，故处于完全失重状态。4、 人造地球卫星绕地球运行时的向心加速度、线速度、 角速度、 周期、动能与半径r 的关系：1） 由 GMm/r2ma 得卫星的向心加速度aGM/r21/r2， 故 r 越大，向心加速度a 越小。2） 由 GMm/r2mv2/r 得卫星的线速度v GM/r 1/r，故 r 越大，线速度v 越小。地球卫星的最大速度vm GM/R gR 7.9km/s。3） 由 GMm/r2m2r 得卫星的角速度 GM/r31/r3，故 r 越大，角速度 越小。4） 由 GMm/r2m(2/T)2r 得卫星的周期T2 r3/GM r3，故 r 越大，周期越大。地球卫星的最小周期T2R3/GM 2 R/g 84min 5） 由 GMm/r2mv2/r 得卫星的动能EkGMm/2r 1/r，故 r 越大，同一卫星的动能Ek越小。5、 三种宇宙速度1） 第一宇宙速度：人造卫星有地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，又叫环绕速度，大小为v7.9km/s。是最小发射速度，也是最大环绕速度。推导：见4、2） 。2） 第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，又叫脱离速度，大小为v11.2km/s。3） 第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，又叫逃逸速度，大小为v16.7km/s。6、 同步卫星（通信卫星均为同步卫星）：相对一地球静止的卫星称为地球同步卫星。地球同步卫星有四个一定：位置一定：一定在地球赤道上空；周期一定： T86400s，即地球的自转周期。高度一定： h3.6 107m。速率一定： v3.1 km/s。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页名师整理优秀资源典型例题 ：例 1、飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T。如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，RR0从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆的地球表面B A在 B 点相切，如图所示，如果地球半径为R0，求飞船由A 点到B 点所需要的时间。例 1 图例 2、如图所示，在半径为R 的铅球中控出一个球形空穴，空穴与R 球相切，并能通过铅球的球心。在未挖去空穴前铅球质量为M。O m 求铅球对与铅球球心距离为d 的质量为 m 的小球的万有引力是d 多大？例 2 图例 3、组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率。如果超过该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体的圆周运动，由此能得到半径为R、密度为 、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T。下列表达式中正确的是（）A T2R3/GM；BT23R3/GM ；CT /G；DT 3/G。例 4、太空中有一颗恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是6h。在行星的赤道处用弹簧秤测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10%，求此行星的平均密度。 （已知引力常量 G6.671011Nm2/kg2，结果取三位有效数字）例 5、地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，经估算，地核的平均密度为 _kg/m3。 （结果取两位有效数字，G6.671011Nm2/kg2，R地6.4106m）例 6 两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，球两星的总质量。例 7、在圆轨道上的质量为m 的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R，地面上的重力加速度为 g，则（）A卫星运动的速度为2gR；B卫星运动的周期为42R/g；C卫星运动的加速度为g/2；D卫星的动能为mgR/4。例 8、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1 上，然后P 经点火，使其沿椭圆轨道2 运行，最后再次点火，将卫星送入同2 步轨道 3。轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道2、3 相切于 P 点（如图1 所示），则当卫星分别在1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正Q 3 确的是（）A卫星在轨道3 上的速率大于在轨道1 上的速率；B卫星在轨道3 上的角速度小于在轨道1 上的角速度；例 8 图C卫星在轨道1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道2 上经过 Q 点时的加速度；D卫星在轨道2 上经过 P点时的加速度等于它在轨道3 上经过 P 点时的加速度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页名师整理优秀资源例 9、2001 年 1 月 20 日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98的经线在同一平面内。若把甘肃嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98和北纬 40，已知地球半径R、地球自转周期 T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接必站所需的时间。（要求用题给的已知量和符号表示）例 10、1990 年 3 月，中国紫金山天文台将1965 年 9 月 20 日发现的第2752 号小行星命名为吴健雄星，其直径2R 32km，如该小行星的密度和地球密度相同，则对该小行星而言，第一宇宙速度为多少？（已知地球半径R06400km，地球的第一宇宙速度v18km/s）例 11、月球半径约为地球半径的1/4，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的1/6，则（）A月球平均密度约为地球平均密度的1.5 倍；B环月卫星的最小周期大于环地卫星的最小周期；C环月卫星的第一宇宙速度大于环地卫星的第一宇宙速度；D地球质量约为月球质量的16 倍。例 12、同步卫星离地心距离r，运行速率v1，加速度a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是（）A a1/a2r/R；Ba1/a2 (R/r)2；Cv1/v2r/R ；Dv1/v2(R/r)1/2。例 13、已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v2 2GME/RE ，其中G、ME、RE分别是引力常量、地球的质量和半径。已知G6.671011Nm2/kg2， c2.9979 10 8m/s。求下列问题：逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M 1.981030kg，求它的可能最大半径（这个半径叫Schwarzchild 半径） ；在目前天文观测范围内，物质的平均密度为1027kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光的真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？例 14、若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平满月月球面内，且均为正圆，又知这两种转动同秘，如图所示，月相变满月地球化的周期为29.5 天（图示是相继两次满月时，月、地、日相对29.5天位置的示意图） 。求：月球绕地球转一周所用的时间T（因月球总有一面朝向地球，故T 恰是月球自转的周期） （提示：可借鉴太阳恒星日、太阳日的解释方法）。例 14 图答案：例 1、(RR0)T/4R (RR0)/2R；例 2、GMm(7d28dR2R2)/8d2(dR/2) ；例 3、AD ；例 4、3.03103kg/m3；例 5、1.2104；例 6、42R3/GT2；例 7、BD ；例 8、BD ；例 9、 (R2gT2/42)2/3 R22R(R2gT2/42)1/3cos/ c；例 10、20m/s；例 11、B；例 12、AD ；例13、 2.94103m， 4.011026m4.241010光年；例14、2.73 天；练习题 ：1、人造地球卫星运行时，其轨道半径为月球轨道平均半径的1/3，则此卫星运行的周期大约是（ ）A 14 天之间；B4 8 天之间；C816 天之间；D大于 16 天。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页名师整理优秀资源2、宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间丫中会处于完全失重中，下列说明中正确的是（）A宇航员仍旧受重力的作用；B宇航员受力平衡；C宇航员受的重力正好充当向心力；D宇航员不受任何作用力。3、有两个大小一样，同种材料组成的均匀球体紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若用上述材料制成两个半径更小的靠在一起的均匀球体，它们间的万有引力将（）A等于 F；B小于 F；C大于 F；D无法比较。4、设地球的质量为M，赤道半径为R，自转周期为T，则地球赤道上质量为m 的物体所受重力的大小为（式中F 为万有引力常量）A GMm/R2；B (GmM2/R2)(42mR/T2)2；CGMm/R242mR/T2；D GMm/R242mR/T2。5、为了估算一个天体的质量，需要知道绕该天体做匀速圆周运动的另一小星球的条件是（）A质量和运转周期；B运车周期和轨道半径；C轨道半径和质量；D环绕速度和质量。6、下列各组物理数据中，能够估算出月球质量的是（）A月球绕地球运行的周期及月、地中心间的距离；B绕月球表面运行的飞船的周期及月球的半径；C绕月球表面运行的飞船的周期及线速度；D月球表面的重力加速度。7、已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，用以上各量表示，地球质量M _ 8、已知地球半径约为6.4106m，又知月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为_m。 （月球周期取30 天，结果保留一位有效数字）9、一艘宇宙船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该行星上，宇宙飞船上务有以下实验仪器：A弹簧秤一个；B精确秒表一只；C天平一台（附砝码一套）；D物体一个。为测定该行星的质量M 和半径 R，宇航员在绕行及着陆后各进行一次测量，依据测量数据可以求出 M 和 R（已知万有引力常量G） 。绕行时测量所用的仪器为_（用仪器的字母序号表示），所测物理量_ 。着陆后测量所用的仪器为_，所测物理量_，用测量数据求该星球质量M_，用测量数据求该星球半径R_。10、宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为3。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页名师整理优秀资源11、科学家发现太空中的射线都是从很远的星球发射出来的，当射线爆发时，在数秒钟内所产生的能量，相当于太阳在过去一百亿年内所发生的能量的总和的一千倍左右，大致相当于太阳质量全部亏损得到的能量。科学家利用超级计算机对 射线的爆发状态进行了模拟，发现射线爆发是起源于一个垂死的星球“坍塌”过程，只有星球“坍塌”时，才能释放这么巨大的能量，已知太阳光照射到地球所需时间为t，地球公转周期为T，真空中的光速为c，万有引力恒量为G，试推算出一次射线爆发所产生的能量。12、两个人造卫星A、B 绕地球做圆周运动，周期之比为TATB18，则轨道半径之比和运动速率炎比分别为（）A R AR B41，v A v B12；BR AR B41，v Av B21；CR AR B14，v A v B12；DR AR B14，v Av B21 13、同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星，（）A 它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同值；B 它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的；C 它只能在赤道的正上方，但离地心距离可按需要选择不同值；D 它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的。14、下列关于地球同步通信卫星的说法中，正确的是（）A为避免通信卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上；B通信卫星定点在地球上空某处，各个通信卫星的角速度相同，但线速度可以不同；C不同国家发射通信卫星的地点不同，这些卫星轨道不一定在同一平面内；D通信卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上。15、可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道（）A 与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆；B 与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆；C 与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表是静止的；D 与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表是运动的。16、某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近视看做圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为r1， 后来变为r2，r2 r1，以 Ek1、Ek2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、T2表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则（）A Ek2Ek1，T2T1；BEk2Ek1，T2T1；CEk2Ek1，T2T1；DEk2Ek1，T2T1。17、两颗卫星在同一轨道平面同向绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面高度等于R，b 卫星离地高度等于3R，则： a、b 两卫星的周期之比是多少？若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a 至少以过多少个周期两卫星相距最远？18、已知某行星半径为R，以其第一宇宙速度运行的卫星绕行星的周期为T，那么在该行星上发射的同步卫星，速度控制在v 时即可与行星自转同步，则同步卫星距该行星表面的高度为多少？该行星自转周期是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页名师整理优秀资源19、地球同步卫星到地心的距离r 可由 r3 a2b2c/42求出。已知式中 a 的单位是m，b 的单位是s，c 的单位是m/s2，则： （）A a 是地球半径，b 是地球自转的周期，c 是地球表面处的重力加速度；B a是地球半径， b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是同步卫星的加速度；C a是赤道周长， b 是地球自转的周期，c 是同步卫星的加速度；D a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是地球表面处的重力加速度。20、据观察，在土星外围有一个模糊不清的圆环，为了判断该环是与土星相连的连续物，还是绕土星运转的小卫星群，又测出了环中各层的线速度v 以及该层到土星中心的距离R，进而得出 v 与 R 的关系，下列判断正确的是（）A若 v 与 R 成正比，则此环是连续物；B若 v 与 R 成正比，则此环是小卫星群；C 若 v2与 R 成正比，则此环是小卫星群；D 若 v2与 R 成正比，则此环是连续物。21、一卫星绕某行星做匀速圆周运动。已知行星表面的重力加速度为g行，行星的质量M 与卫星的质量 m 之比 M/m81，行星和半径R行与卫星的半径R卫之比 R行/R卫3.6，行星与卫星之间的距离 r 与行星的半径R行之比 r/R行60。设卫星表面的重力加速度为g卫，则在卫星表面有 GMm/r2mg卫。经过计算得出： 卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的三千六百分之一。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若错误，求出正确结果。22、在 1990 年 4 月被“发现号”航天飞机送上太空的哈勃望远镜，已经在寂寞的太空度过了十多年，但哈勃望远镜仍然老当益壮，就在不久前，还在星系的黑暗中找到了宇宙中失踪的氢，一些科学家已经考虑给哈勃望远镜作大手术，以便这只太空中明亮的眼睛再逢第二春，宇宙飞船要追上哈勃望远镜应该（）A只能从较低轨道上加速；B只能从较高轨道上加速；C只能在同望远镜同一高度轨道上加速；D无论什么轨道，只要加速都行。23、 “黑洞”是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊天体，它的密度极大，对周围的物质（包括光子）有极强的吸引力，根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面也将被吸入。最多恰能绕黑洞表面做圆周运动，根据天文观测，银河系中心可能有一个黑洞，距该可能黑洞6.01012m 远的星体正以2.0106m/s 的速度绕它旋转，据此估算该可能黑洞的最大半径 R 是多少？（保留一位有效数字）答案： 1、B；2、AC ；3、B；4、C；5、B；6、BC；7、gR2/G；8、 4108m；9、 B，周期 T，A、C、D，物体的质量m、重力 F，F3T4/16G4m3，FT2/42m；10、23 LR2/3Gt2；11、42c5t3/GT2； 12、D；13、D；14、D；15、CD；16、C；17、 0.252， 0.77Ta；18、 42 R3/v2 T2R， 83R3/ v3T2；19、 AD；20、AC；21、不正确，式中的并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度，在卫星表面：Gm/R2卫g卫，在行星表面：GM/R2行g行，所以 g卫/g行0.16；22、A；23、3108m；精选学习资料 - 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