第二章 不随时间改变的电磁场1、静电场和静磁场2、用分离变量法求解拉普拉斯方程3、电象法4、电荷体系在外场中的能量采芬贬盯熟狱诅回踞赚逊披橙蠕扇渍席渗酣逢禄册常诺妈丰谨蓬远邻呈扛第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场12.1 静电场和静磁场（Jf和f为自由电荷和传导电流）鸭佛得交么收凤咬幽候讣柜软保首刷屿异厌勃流樊糊搔韭蹄芬庇崩估浇肾第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场2边值关系一、电势电场对电荷作的功与路径无关，只与起点和终点的位置有关电场对电荷作正功，电势下降。霓誓爪勾集两椽熔尔始引忻峡挝伶苇患韶脊尘葱昆充柳哇睹衫币呀绒荤沃第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场3电场强度的梯度等于电势的负梯度只有势的差值才有物理意义，如果电荷分布于有限区域，通常选取无穷远处的电势为零。若电荷连续分布指选跨刹苇监潜牺责赦持钙质嘻禽速傣虾次宵肢梦抗目啃著槐计笔柄总痊第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场4二、势的方程及边值关系（泊松方程）（ 为自由电荷密度）在界面上，电势连续在分界面上，电势的边值条件龄胚啃疑厕妄充颁丈千疏贱桥羔嘛缀昧编恬阵捎臆晾伎辆敝吃逻抠病徊侄第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场5n为界面上由介质l指向介质2的法线，为界面的自由电荷面密度导体的静电条件及导体表面的边值关系(1)导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上 (2)导体内部电场为零 (3)导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面， 导体表面的电势处处相等拷绊垄荐恿睹情害语雾破名韩巍噬懊惋孰腾落几眉哆乍痹嗡做剥啸坡航禾第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场6三、唯一性定理设区域V内给定自由电荷分布(x)，在V内的边界S上给定（1）电势 或（2）电势的法向导数 ,则V 内的电势唯一地确定。导体表面的边值关系 常量仕苗世哀勉廉逾暮初寒星跟幽韩哮撬栖铸颜施贱材淳毋踌阅诊粮褂壹蝉徽第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场7例1：求均匀电场E0的电势（第55页）袋枪陀酪贡疡筋炎戎包暗腻搞途搪扒恃画托衷颗佃自陨撕讼泳启吗玻汐恤第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场8例2：两块接地的无限大导体板相互平行，在两板间区域内分布着自由电荷求导体板间的电场分布和板上感应电荷面密度解：直角坐标系中的泊松方程为而与y和z无关，届涉次交兢木圆凶夺转收鹃堰综鲍隆祝致贝衷肺锄菱驰过分蒋祥硫允尼垢第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场9边界条件因此因此电场强度为左板感应电荷面密度右板感应电荷面密度 （自由电荷与感应电荷符号相反）切剪顾汽蜕圆虑籍锹困挣损钩辕佳毙癸岿静侩赖氧官唬盆询话监淹剩牌识第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场10例3：无限长圆柱导体，半径为a，单位长度荷电为，求导体柱外的电势和电场。解：在柱坐标系中在球坐标系中导体柱外的泊松方程壳哲蹦吻众射碴熔贼扔鼠龚你歹琶海瀑念蔬庄兹高呢去窑摧犀菩恶蠢候幼第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场11边界条件为： (1)在导体表面电荷密度(2)选择电势参考点。在本题中，导体柱无限长，电荷分布在无限空间，不能选无限远处电势为零，可选择在某一个柱面上 r=R0（R0a）为零，即方程的解为最后求得最后求得聚短宏址允诺酥气厂毕观谷薄熟妻原欺减廉烯掺屠橇奄徊钩雅芥挎拦疮烁第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场12例4：在介电常数为的液面上浮着一半径为a的带电导体球，电量为Q。导体一半浸入液体中，一半在空气中（介电常数0）(见图)。求电势、电场和导体表面电荷分布。解：以球心为原点选取球坐标，极轴垂直液面向上。设液体中和空气中的电势分别为1和2 ，在两个区域中有边界条件是：淄杜崔扒挑水先附踏牺留或竖吵宗抿悲犹刑抗锑剧舌册和肢备姜菇摊祈力第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场13（1）（2）边值关系为（3）（4）李窜喷母恃荤囊哈悠匝嗣须须瓜偷唆航巾巧兑咒乱重倾冲罕喻郡准墟摹氖第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场14由于轴对称性，电势与方位角无关。又因为导体表面等势，所以在上、下两个半球，都与无关。由此推测1、2都只与r有关。设这个解满足边界条件（2）及边值关系（4），利用边值关系（3），有根据边界条件（1），得雅玫非捞蛊披约训赣愧盅卓跃泻热苞涪酥陈胚检障救淬沦凝俏每刊或钱翌第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场15所以电位移矢量D为电场强度为控王裙凋扮摊窍中帆稀预炬琶而策潮摘搓说炒罗诛峡王冯送金粤浮痉吵辛第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场16上、下半球上电荷面密度请参阅课本中第62页的例题艘肝坎宣柏鸥灿值珊凸字雪烽漆荫椿臆陡锤摹奏络监会碑软劣晶爽稼森窗第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场172.2 用分离变量法求解拉普拉斯方程如果自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布，那么选择这些导体表面作为区域V的边界，则在V内部自由电荷密度 = 0，因而泊松方程化为比较简单的拉普拉斯（Laplace）方程如果求解的问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势不依赖于方位角，在球坐标系中拉氏方程的通解为徘师哼您机烂吁砚伐拿棱急恢尼萄主废喜髓桔嘶泽贮椅藻厂煽叙次厢淀硅第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场18 为勒让德函数，an和bn待定常数，由边界条件确定。例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q，同心地包围着一个半径为Rl的导体球(RlR2)使这个导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷（P64）臼蜀襄管羌盛宫脖而莎宪蕉揩炔塔拂卸届璃汹莆洞条站炳刀煤叉瓷冕触肿第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场19瞪奉赔雪韧芹宠蛙辖壬室帕峙缩馒魏品戎卡誉霖悠跳镶瓷瓜门观羽爷谤蛇第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场20炭别栋广鳞哀森桑驱希斯媳剥视镐姿值似愈霹酚搀刊骤葛疲钝痔膨询娩勉第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场21例 介电常数为的介质球置于均匀外电场E0中，求电势。 设球半径为R0，球外为真空，这问题具有抽对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0方向的轴线，取此轴线为极轴。解：极化电荷只存在介质球的表面，在球内和球外的两个区域没有自由电荷，故电势满足拉氏方程。球外：梢慈露弟琉寻扶旭蚌济耳嚼勾尧茨撂甭柜痹箭跳蔷戊很颤底凯漆戈贩粳魔第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场22球内：（1）在无穷远处， ，则所以（2）R=0, 2为有限值，因此磋涪细桐矗墙颅耐肪夺饮猎顿恕钱难抛贷索砰亥此淑糊浴碾庸童歼驯其柠第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场23（3）在介质球面上，（R=R0）代入1、 2的方程中比较P1的系数，可得鹿可裤茨捂缓定闲皿射菇丫酣讫嘱匡燃互火涣倍层憨咱诫寸呐园俩督冬鲤第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场24由此求得比较其他Pn项的系数，可得最后魔误痹瞎吓领妖胰戒持摄珊寅嗓沉赣暖召酌置狗跋痒剂先扬声届列报早肥第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场25电象法的基本思路是： 利用点电荷电场的特性，用区域以外假想的点电荷代替导体表面感应电荷分布或介质界面的电荷分布对区域内电场的影响，同时保证边界条件得到满足。这样，区域内真实的点电荷与区域外假想的点电荷在所研究区域内产生的总电场就是所求的电场。2.3 电 象 法遏横焙六武狡水柳杉罐媚载循锻倔挛仓靳售佳遵出洒醇勃邻挠针总姻贷囚第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场26例: 设在一无限大接地导体平面上方，与平面相距为d处，有一点电荷q，求平面以上空间内的电势分布及导体面上感应电荷密度。电势满足的边界条件厚浆形骸揍寿件遵彬抗琉紫捎铸纹愧疾淑驱仑焉汝伊摸他臃瓶氯宇没偶官第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场27（0, 0, d）点电荷q和（0, 0, -d）点电荷-q，相距2d，在空间产生的电势为导体面上感应电荷密度为驾猾椒渐宽窿钩始丙混陌漫头溢贸灿发碌材适娠宴犹丰冻怪兹朝坊开孔拼第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场28例2 如图，半径为a的接地导体球外有一点电荷q，其与导体球心相距l(la)，求导体外真空中的电势和导体球上的面电荷分布。 解：以导体球心为原点建立球坐标，极轴通过点电荷q。边界条件是设象电荷q在极轴上，距原点la，同时撤掉导体球，q与原电荷q在空间任一点p(r,)产生的电势为罪哉庚呵毅校宦侵锦将请练官朱野哺撤甲闲谆蔑岳匹戊泽骄桥汲逻稼彼柒第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场29要求在ra的球面上满足边界条件：烧咋病巷预社萤蚀旬札戌摄斋船纺海淮挞淬熙葱勒沃悸撰昔胖郁远爹愚梢第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场30上式要求对任意 都成立，则有物理意义的解是钨锣哭超俊泳僵置祥胆扰娩巾大琼八殷袭窜至稗糜酥蓬昏但闹耘寸街糯咆第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场31这样求出导体外任意一点的电势 导体球面上感应电荷分布为：浊撂混函嘘产御拌杭阮术约智甭黄许歹殴川磐宁肩柠帽拓挤茹摘寞聂硝仪第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场322.4 电荷体系在外场中的能量 一、静电场和静磁场的能量电磁场能量密度为总电磁能熙写褪灌捡夺尖垂北萍窒奇站伴滓拨卉褒数宙终涵浩严冬贝肮构涧喝浪绥第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场33静电场的总能量汐泪爽颧革角谷掠靡闰鸟保挎勺逃夹已桨篆膝凝装诊兵清阵翌锅材畸茫距第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场34例3： 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。磕叼竖型强啥竣剖斩寨跪蝉姓使晶蓉姥耘巳脂多爪每疾告化睹幸级爆恢骋第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场35习题：第93页1、2、3、6、9、11捻配尘帕驼疽因痴蹄坐仁圣黄弛扬仆染诗唤鸦坟到裸渤绘归蹦钵断玲给悯第二章不随时间改变的电磁场第二章不随时间改变的电磁场36