典型共点力作用下物体的平衡例题例 1 如图 1 所示，挡板AB和竖直墙之间夹有小球，球的质量为m ，问当挡板与竖直墙壁之间夹角缓慢增加时，AB板及墙对球压力如何变化。极限法 例 2 如图 1 所示，细绳CO与竖直方向成30角， A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连，已知物体B所受到的重力为100N，地面对物体B的支持力为80N，试求（1）物体 A所受到的重力；（2）物体 B与地面间的摩擦力；（3）细绳 CO受到的拉力。例 3 如图 1 所示，在质量为1kg 的重物上系着一条长30cm的细绳，细绳的另一端连着圆环， 圆环套在水平的棒上可以滑动，环与棒间的静摩擦因数为0.75 ，另有一条细绳，在其一端跨过定滑轮，定滑轮固定在距离圆环0.5m 的地方。当细绳的端点挂上重物G，而圆环将要开始滑动时，试问（1）长为 30cm的细绳的张力是多少？（2）圆环将要开始滑动时，重物G的质量是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页（3）角多大？分析 选取圆环作为研究对象，分析圆环的受力情况：圆环受到重力、细绳的张力 T、杆对圆环的支持力N、摩擦力f 的作用。解 因为圆环将要开始滑动，所以，可以判定本题是在共点力作用下物体的平衡问题。由牛顿第二定律给出的平衡条件Fx=0， Fy=0，建立方程有 N-Tcos=0，N-Tsin 0。设想：过O作 OA的垂线与杆交于B点，由AO=30cm ，tg =， 得 BO的长为 40cm 。 在直角三角形中， 由三角形的边长条件得AB =50cm， 但据题述条件AB=50cm ，故 B点与滑轮的固定处B点重合，即得=90。（1）如图 2 所示选取坐标轴，根据平衡条件有Gcos+Tsin -mg=0，Tcos -Gsin =0。解得 T 8N ，（2）圆环将要滑动时，得 mGg Tctg ， mG=0.6kg 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页（3）前已证明为直角。例 4 如图 1 所示，质量为m 5kg 的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数求当物体做匀速直线运动时，牵引力F 的最小值和方向角。分析 本题考察物体受力分析： 由于求摩擦力f 时， N受 F 制约，而求 F最小值，即转化为在物理问题中应用数学方法解决的实际问题。我们可以先通过物体受力分析。据平衡条件，找出F 与关系。进一步应用数学知识求解极值。解作出物体m受力分析如图2，由平衡条件。Fx=Fcos-N=0 （1）Fy=Fsin +N-G=0 （2）由 cos （ - ） =1 即 =0 时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页 =30， =30说明 本题中我们应用了数学上极值方法，来求解物理实际问题，这是在高考中考察的一项重要能力。在以后解题中我们还会遇到用如：几何法、三角形法等数学方法解物理问题，所以，在我们学习物理时，逐步渗透数学思想，对解决物理问题是很方便的。但要注意，求解结果和物理事实的统一性 。例 5 如图 1，A、B两物体质量相等，B用细绳拉着，绳与倾角的斜面平行。A与 B，A与斜面间的动摩擦因数相同，若A沿斜面匀速下滑，求动摩擦因数的值。例 6、如图 7，半径为R的光滑半球的正上方，离球面顶端距离为h的 O点，用一根长为l 的细线悬挂质量为m的小球，小球靠在半球面上试求小球对球面压力的大小题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页例题 1 一个光滑的圆球搁在光滑的斜面和竖直的档板之间（图1），斜面和档板对圆球的弹力随斜面倾角变化而变化的范围是：A 斜面弹力N1变化范围是（mg ，）B 斜面弹力N1变化范围是（0，）C 档板的弹力N2变化范围是（0， + ）D 档板的弹力N2变化范围是（mg ， ）答： A、C 解：圆球受三个力，其中重力的大小和方向均为确定的，档板对圆球的弹力N2的方向始终是水平的，亦为确定的。 而斜面对圆球的作用力的大小和方向均在变化中，但不论如何变动，只要取一个确定的值，圆球就在三力作用下处于平衡状态，则此三力就组成一个封闭的三角形，如图2 所示：由于 0 90，所以mg N1， 0N2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页解出。例题 2 如图 3 所示 , 用两根绳子系住一重物, 绳 OA与天花板夹角不变, 且45 ,当用手拉住绳OB ，使绳 OB由水平慢慢转向OB 过程中， OB绳所受拉力将A 始终减少 B始终增大C 先增大后减少 D先减少后增大答： D解：重物受三个力，其中重力大小方向确定，OA方向不变， OB绳受力的大小方向变化。在变化过程中，重物所受三力平衡，可组成一个封闭三角形，现图示如下：从图中可很直观地得出结论。由于45, +=90所以 45 , 此时 TOB取得最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页例题 3 如图 4 所示，一重球用细线悬于O点，一光滑斜面将重球支持于A点，现将斜面沿水平面向右慢慢移动，那么细线对重球的拉力T 及斜面对重球的支持力N的变化情况是：AT 逐渐增大， N逐渐减小；B T 逐渐减小， N逐渐增大；C T 先变小后变大，N逐渐减小；D T 逐渐增大， N先变大后变小。例 7、一质量为50kg 的均匀圆柱体，放在台阶旁，台阶高度（r 为柱体半径） 。柱体最上方 A处施一最小的力F，使柱体刚能开始以P轴向台阶上滚，求此最小力析：圆柱体不能看作质点，选其为研究对象，分析其受力如图13（a）所示先将圆柱体在P点所受的支持力N和静摩擦力 f 合成，得到合力Q，则圆柱体受mg 、Q、F 三个力作用，这三个力必为共点力，且Q 、 F二力的合力为定值，如图13（b）所示，显然当F 与 Q垂直时，F 有最小值，由题给条件知，OAP=30 ，则：Fmin=Tsin30 =mg sin30 =250N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页由以上两例可以发现，将多力问题转化为三力问题时，常先将同一接触面上的弹力和摩擦力合成，在求解时用的较多的分析思路是三力的动态平衡问题的分析思路，请读者再进一步加以体会（2）利用正交分解法分析求解当受力较多时，利用合成法需要几次合成才能得出结论，分析起来较繁琐最常见的多力平衡问题就是直接建立正交坐标系，在分析物体受力后，利用正交分析法求解例 8、如图 14 为一遵从胡克定律的弹性轻绳，其一端固定于天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连当绳处在竖直位置时，滑块 A对地面有压力作用B为紧挨绳的一光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度现用一水平力F 作用于 A，使它向右作直线运动在运动过程中，作用于A的摩擦力A 、逐渐增大 B、逐渐减小C 、保持不变 D、条件不足，无法判断析：取物体A为研究对象，分析A受力如图15，并沿水平和竖直方向建立正交坐标系由于物体向右做直线运动，则y轴方向上受力平衡，即：Tsin N=mg 依题意，绳的拉力T=kx， x 为弹性绳的形变量，则地面对物体的支持力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页与 A物体在 B正下方时地面对物体的支持力相同也就是说，在物体向右运动过程中，地面对物体的支持力不变，由滑动摩擦力公式知，正确答案为C解决物理问题的关键在于有正确的分析思路和解题步骤上面我们虽然分成几种情况来讨论平衡问题，但不难发现，突破障碍后，其解题的思路和步骤是完全一样的这就要求我们，在学习物理的平衡知识时，首先要建立一个解题的基本模式，即解题基本步骤及几种常见题型的特点，则无论在何处遇到此类问题，都能够迅速唤起基本模式，通过原型启发，迅速重视相关知识，从而顺利地解决问题解平衡问题是这样，解决其它问题也是这样，如果我们坚持这样去做，就会达到会学、要学、乐学的高境界三、练习题1如图 16，AB为一轻质杆，BC为一细绳， A总通过绞链固定于竖直墙上，若在杆上挂一重物，并使其逐渐由B向 A移动，试分析墙对杆A端的作用力如何变化？2半径为R的光滑球，重为G ，光滑木块，重为G，如图示放置至少用多大的力F（水平力）推木块，才能使球离开地面？木块高为h3两根长度相等的轻绳下端是挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板上的M 、N点 M 、N两点间的距离为S，如图 18 所示已知两绳所能承受的最大拉力均为T，则每根绳的长度不得短于多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页球，在图示情形下处于静止状态，求绳对球的拉力大小及斜面给球的支持力的大小5如图20，AB 为一轻质梯子，A 端靠在光滑墙面上，B 端置于粗糙水平面上当重为G的人由 B端逐渐爬上梯子的A端时，梯子始终没动试分析墙对梯子的作用力与地面给梯子的作用力分别如何变化？6如图 21，一木块质量为m ，放在倾角为的固定斜面上，木块与斜面间的动摩擦因数为当用水平方向的力F 推这木块时，木块沿斜面匀速上升，则此水平推力多大？附答案：1先减小，后增大4 T=N=10N 5墙对 A支持力逐渐增大，地面对B支持力不变，静摩擦力逐渐增大静力学中四类极值问题的求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页最（大或小）值问题是中学物理习题中常见的题型之一，这类题型渗透在中学物理的各个部分，技巧性强，解法颇多。深入探究最值问题的解答，能有效地提高运用数学知识解决问题的能力，培养灵活性和敏捷性。1不等式法：例 1 无限长直电杆立于地面，与地面之间的摩擦力足够大。如图1 示，用长为L 的绳拉电杆，若所用拉力T 恒定时，绳栓在电线杆的何处最容易拉倒？分析与解： 设绳线栓在离地h 高处，则拉力T 的力矩最大时，最容易拉倒电杆，如图 1， cos =h/L ，则 T的力矩观察此式， T、L 一定，因h2+（L2-h2）=L2是一常数，故当h2=L2-h2评点： 解此类问题，首先根据力的平衡列出方程，然后观察方程特征，发掘其隐含条件，若a0，b0,a b=常数 , 则当 a=b 时， ab 积最大。这里运用了不等式的一个重要性质（ab） /22. 三角函数法：例 2 重量为 G的物体在水平而上作匀速运动，设物体与地面之间如图 2 示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页分析与解： 物体受共点力作用而平衡，由平衡条件得：水平方向： Fcos =N 竖直方向： N Fsin =G 解得 F= G （ cos sin ）为使 F 最小，只需cos sin 最大，因为（cos +sin ） =（cossin +cossin ） /sin =sin （ +） /sin 而 =ctg-1，故当 =30时， F最小，最小值为Fmin=Gsin G 2。评点： 求解此类问题的一般思路是先根据物理规律求出待求量的表达式，再根据三角函数的有界性：|sin | 1 或|cos | 1 求最值。3极限推理法：例 3 如图 3，用力 F 推质量为M的物体，物体与地面间的摩擦因数为，求外力F 与水平方向交角最小为多大时，无论外力 F 多么大均不能使物体前进？分析与解： 物体受共点力作用，当不动时必满足：Fcos（ MgFsin ）化简得： F（cso- sin ） Mg 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页因为无论F多大，上式均成立，则当F时，不等式也成立，此时取最小值0因此最小角满足方程 cos0- sin 0=0，tg 0=1/，0=arctg1/。评点：此类题通过对关系式的推理分析、=0时 F 无论多大物体都不能被推动，因而 F时所满足的角便是最小值。这是一种极限推理分析的方法。4矢量三角图示法例 5 一重为 G的光滑球放在倾角为的斜面上， 被一挡板PQ挡住， Q处为固定转轴，如图4 示，挡板可以逐渐放平，何时球对挡板的压力最小。分析与解： 小球受重力、斜面的支持力和挡板支持力三个共点力作用而平衡。由挡板对球支持力的动态变化，可作力矢量三角形。如图5 所示，由图知当挡板逐渐放平的过程中， 斜面对球的支持力N1一直逐渐减小， 而挡板对球的支持力N2将先减小后增大，故当挡板与斜面垂直时球对挡板压力最小。评点： 质点在三个共点力作用下而平衡，各力之间的动态变化的规律，由力矢量三角形可直观地作出判断。这是处理此类平衡问题常用的一种方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页