优秀学习资料欢迎下载第十章波动基本知识小结平面简谐波方程)c o s ()(c o skxtAtAyVx；vVTvkT,/1,2,2。 弹 性 波 的 波 速 仅 取 决 媒 质 性 质 ： 弹 性 体 中 横 波 的 波 速/NV，弹性体中纵波的波速/YV，流体中纵波波速/kV，绳波波速/TV。 波 的 平 均 能 量 密 度2221A， 波 的 平 均 能 流 密 度VAI2221。波由波密射向波疏媒质，在边界处，反射波与入射波相位相同；波由波疏射向波密媒质，在边界处，反射波比入射波相位落后，相当损失半个波长；例如：在自由端无半波损失，在固定端有半波损失。振动方向相同、频率相同、位相差恒定的二列波叫相干波，相干波叠加叫波的干涉。振幅相同、传播方向相反的两列相干波叠加产生驻波现象；驻波方程txAycoscos22；波节两边质元振动相位相反，两个波节之间质元振动相位相同；相邻波节或相邻波腹间距离为/2，相邻波腹波节间距离为/4。多普勒公式：vvSVVVV0，在运用此公式时，以波速 V 为正方向，从而确定V0、VS的正负。10.2.1 频率在 20 至 20000Hz 的弹性波能使人耳产生听到声音的感觉。 0oC 时， 空气中的声速为331.5m/s,求这两种频率声波的波长。解：mvVvVvV58.16/,/,205 .33111mvV3221058.1620/5.331/10.2.2 一平面简谐声波的振幅A=0.001m ，频率为1483Hz，在20oC的水中传播，写出其波方程。解：查表可知，波在20oC 的水中传播，其波速V=1483m/s.设o-x 轴沿波传播方向，x 表示各体元平衡位置坐标，y 表示各体元相对平衡位置的位移，并取原点处体元的初相为零，则：)22966cos(001.0)(2cosxttvAyVx10.2.3 已知平面简谐波的振幅A=0.1cm, 波长 1m,周期为10-2s,写出波方程（最简形式）.又距波源9m 和 10m 两波面上的相位差是多少？解：取坐标原点处体元初相为零，o-x 轴沿波传播方向，则波方程的最简形式为)100(2cos10)(2cos)(cos3xtAtAyxTtVx2)10100(2)9100(2tt10.2.4 写出振幅为A,频率 v=f,波速为 V=C, 沿 o-x 轴正向传播的平面简谐波方程.波源在原点o,且当 t=0 时，波源的振动状态是位移为零，速度沿o-x 轴正方向。解：设波源振动方程为)cos(tAy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载t=0 时，2,0sin, 0cosAuAydtdy波方程)(2cos)(2cos22CxVxtfAtvAy10.2.5 已知波源在原点（x=0）的平面简谐波方程为),cos(cxbtAyA,b,c 均为常量 .试求：振幅、频率、波速和波长；写出在传播方向上距波源l 处一点的振动方程式，此质点振动的初相位如何？解：将)cos(cxbtAy与标准形式)cos(kxtAy比较， =b,k=c, 振幅为A,频率 v= /2 =b/2,波速 V= /k=b/c, 波长=V/ v=2/c. 令 x=l, 则)cos(clbtAy，此质点振动初相为 cl. 10.2.6 一平面简谐波逆x 轴传播，波方程为),3(2cosVxtvAy试利用改变计时起点的方法将波方程化为最简形式。解：令t =t+3, 则)(2cosVxtvAy，即将计时起点提前3s,即可把方程化为如上的最简形式。10.2.7 平面简谐波方程)(2cos54xty， 试用两种方法画出st53时的波形图（ SI） 。解：由波方程可知：A=5, v=4, v=1, =v/v=4 st53时，)(cos5)(2cos55122453xyx方法一： 令512xx，先画出cos52xy的波形图， 然后将y 轴右移512即可。方法二：找出x、y 的对应点，根据余弦函数规律描出。10.2.8 对于平面简谐波)(2cosxTtrS中，r=0.01m,T=12s,=0.30m,画出 x=0.20m 处体元的位移-时间曲线。画出t=3s,6s 时的波形图。解：波方程)(2cos01.0)(2cos3. 012xtxTtrS令 x=0.20，)8(cos01.0)(2cos01.063. 02. 012tSt；令t=t-8,根据 T=12s 及余弦曲线的规律， 先画出cos01.06tS的 S -t 曲线，再把S轴向左移动8 秒，即得S-t 曲线。S (m) S-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t (s) - 0.01 令 t=3, )(2cos01.0)(2cos01.01233 .03.0123xxS= x(m) y y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载)(cos01.0403320x.令403xx，根据m40343.0及余弦曲线的规律， 先画出cos01.0320xS的 S -x 曲线， 再把 S 轴向左移动 3/40m，即得 S-x 曲线。S(m) S0.01 x(3/40m) -1 0 1 2 3 4 5 6 7 t=6s 时的波形图，可把t=3s 时的波形图左移m40312363.0，即 1 个单位，就是t=6s 时的波形图（虚线所示）。10.2.9 两图分别表示向右和向左传的平面简谐波在某一瞬时的波形图，说明此时x1,x2,x3以及 1,2,3各质元的位移和速度为正还是为负？它们的相位如何？（对于 x2和2只要求说明其相位在第几像限）解：根据)(sin),(cosVxVxtAutAy及波形图随时间 t 的移动方向，可做出如下判断：x1 x2 x3 123位移正最大负0 正最大负0 速度0 负负最大0 正正最大相位0 或 2像限/2 0 或 2像限-/2 10.2.10 图（ a） 、 （b）分别表示t=0 和 t=2s 时的某一平面简谐波的波形图。试写出平面简谐波方程。解：由波形图知：A=2m, =2m.由图（ a） ，原点处质元t=0 时，y=A, 可判断其初相为零.比较y/m v （a） 、 （b）两图 ,（b）图可看2 作（ a）图向右移动0.5m 得到。0 1 2 x/m Vt=0.5,V=0.5/2=0.25m/s. -2 =2V/=20.25/2=0.25 图（ a）)25.0(cos2)(25.0cos2)(cos225. 0xtttyxVx0 1 2 x/m 图（ b）10.3.1 有一圆形横截面的铜丝，受张力 1.0N,横截面积为1.0mm2.求其中传播纵波和横波时的波速各为多少？铜的密度为8.9 103kg/m3,铜的杨氏模量为12109N/m2. 解：纵波波速smVY/1016.13103. 8101239. 铜丝的线密度mkgs/109.8100 .1109.8363， 铜丝中传播的横波是绳波，横波波速smVT/6.103109.8110.3.2 已知某种温度下水中声速为1.45103m/s,求水的体变模量。解：水中声波速度kV水的体变模量aPVk923321010.2)1045.1(100.1x y x1 x2 x3 v x y 1 v 2 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载10.4.1 在直径为14cm 管中传播的平面简谐波，平均能流密度为9erg/s.cm2，v=300Hz， V=300m/s. 求最大能量密度和平均能量密度，求相邻同相位波面间的总能量。解：平均能流密度232221./109msJVAI 能量密度)(sin222VxtA，最大能量密度353001092222max/1063mJAVI. 平均能量密度35max212221/103mJA管的横截面积2222101421054. 1)(14. 32mRs，相邻同相位波面间的距离为mvV1300300，其间总能量为JsE725106.41054.1110310.4.3 面向街道的窗口面积约40m2,街道上的噪声在窗口的声强级为60dB,问有多少声功率传入室内？（即单位时间进入多少声能）解：据声强级定义：0610,6lg,60lg1000IIIlIIII，所以传入室内的声功率WISW5126100.440101010.4.4 距一点声源10m 的地方，声音的声强级为20dB，求：距声源 5m 处的声强级；距声源多远就听不见1000Hz 的声音了？解：设r=r1=5m 时,声强为 I1,声强级为IL1；r=r2=10m 时，声强为I2,声强级为IL2221222211)(,4412rrIIrIrI， 用声强级表示：2)lg(10lg10lg10lg10120221022201rrIIrIrIII即dBILILrr02.2602.6204lg1020)lg(1022112设 r=r3时听不到声音，即对应的声强级IL3=0 23210,2lg,020lg10lg10lg103232030232IIIIIIIIIIILILmrrrIrIIIrrII1001010,)(,4423223322232322310.5.1 声音干涉仪用于显示声波的干涉，见图。薄膜S 在电磁铁的作用下振动，D 为声音检测器， SBD 长度可变， SAD 长度固定，声音干涉仪内充满空气。当B 处于某一位置时，在D 处听到的声强为 100 单位的最小声音，将 B 移动则声音加大， 当 B 移动 1.65cm 时听到强度为900 单位的最强音。求：声波的频率；到达D 处二声波振幅之比，已知声速为342.4m/s 解： D处听到的声强是由SAD 和 SBD 传过来的两列相干波叠加结果；声强最小，说明两列相干波在 D 处的相位相反，合振幅为两个分振幅之差；声强最大，说明两列相干波在D 处相位相同，合振幅为两个分振幅之和；两列波在D 处的相位差由相反变为相同，相位差改变为 ，因此两列波传播距离的改变为/2，有：HzvmV5188,106.6,1065.122106. 64.3422223/1900/100/,/2121222121IIAAAAIIr B A S D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载10.5.2 两个波源发出横波，振动方向与纸面垂直，两波源具有相同的相位，波长0.34m.至少求出三个x 数值使得在P 点合振动最强，求出三个x 数值使得在P点的合振动最弱。解：由于两个波源的相位相同，因而二波在P点引起的两个分振动的lP 相位差xxll22)(l-x当2, 1 , 0(22nnx）时，合振动最强。取n=0,1,2, 得 x1=0, x2=0.34m, x3=2=0.68m 当2, 1 , 0()12(2nnx） 时， 合振动最弱。 取 n=0,1,2, 得 x1=/2=0.17m, x2=3/2=0.51m, x3=5/2=0.85m 10.5.3 试证明两列频率相同，振动方向相同、传播方向相反而振幅大小不同的平面简谐波相叠加可形成一驻波与一行波的叠加。证明；设满足要求的两列平面简谐波的波方程为：tkxAkxtAAkxtkxtAkxtAAkxtAkxtAAAkxtAkxtAyAAkxtAykxtAycoscos2)cos()()cos()cos()cos()()cos()cos()()cos()cos(),cos(),cos(221221222121212211（应用三角函数公式：22coscos2coscos）显然，前一项表示一行波，后一项为一驻波10.5.4 入射波)(2000cos1010344xty在固定端反射，坐标原点与固定端相距0.51m,写出反射波方程.无振幅损失 .(SI) 解：反射波的振幅、频率、波速均与入射波相同；反射波传播方向与入射波传播方向相反；入射波在原点处振动初相为零，设反射波在坐标原点处振动初相为 ，固定端反射有半波损失，所以61) 1()1(,201000/3451. 0442.综合以上考虑，反射波方程为61)(2000cos1010344xty)(2000cos1010344xt10.5.5 入射波方程为)(2cosxTtAy，在 x=0 处的自由端反射，求反射波的波方程。无振幅损失。解：反射波的振幅、周期、波长与入射波相同；反射波传播方向与入射波相反；由于在x=0 处的自由端反射，无半波损失，反射波与入射波在原点的初相相同。综合以上考虑，反射波方程为)(2cosxTtAy10.5.6 10.5.7 图表示某一瞬时入射波的波形图，分别画出在固定端反射和在自由端反射时，反射波的波形图，无振幅损失。解：方法： 可先把界面后边的入射波补画上去，如图 1；固定端反射时，损失半个波长，可把界面后边的波形去掉半个波长，然后把剩余波形映射过去即可，如图2；自由端反射，无半波损失，直接把界面后边的波形映射过去即可，如图3。x 1 2 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载10.5.8 一平面简谐波自左x/m 向右传播，在波射线上某质元0.2 A 的振动曲线如图示。后来此01 2 3 4 5 t/s 波在前进方向上遇一障碍物而-0.2 反射，并与该入射平面简谐波叠加而成驻波， 相邻波节波腹距离为3m,以质元 A 的平衡位置为o-y轴原点，写出该入射波波方程。解：相邻波节波腹间距离是/4=3,=12m,k=2 /=/6；从 A 点振动曲线可知：A=0.2m,T=2s, =2/T=；设 A 点振动方程为),(cos2.0txt=0.5s 时，x= - 0.2,- 0.2=0.2cos()222,.综合以上考虑，入射波波方程应为)cos(2.0)cos(2.026ytkytx10.5.9 同一媒质中有两个平面简谐波波源作同频率、同方向、同振幅的振动。两波相对传播，波长8m.波射线上A、B 两点相距20m.一波在 A 处为波峰时， 另一波在 B 处相位为 -/2.求 AB 连线上因干涉而静止的各点的位置解：以 A 点为坐标原点，y 建立图示坐标系，x 表示各质A B x 元的平衡位置，y 表示各质元的振动位移。设：)cos(),cos(2221xtAyxtAy，据题意，波 1 使 A 处 (x=0)质元位移最大时，波2使 B 处(x=20) 质元的振动相位为 -/2,即 t=0时，5.5,20840222)5.5cos(22xtAy. 合振动位移为零（即静止）的条件是：两波在这些点引起的分振动的相位差)12()()5.5(22nxtxt，将=8 代入并整理，可得x = 4n+13, n = 0, 1, 2, 3. 由于0x20,取 n = -3, -2, -1, 0, 1, 对应的x = 1, 5, 9, 13, 17m. 10.5.10 一提琴弦长50cm,两端固定，不用手指按时，发出的声音是 A 调： 440Hz，若欲发出C 调： 528Hz，手指应按在何处？解：基频决定音调，取n=1，,211211TlTlvv所以，cmcmlvvlllvv67.4150528440,1111，即手按在41.67cm可发出 C 调音10.5.11 张紧的提琴弦能发出某一种音调，若欲使它发生的频率比原来提高一倍，问弦内张力应增加多少倍？解：TTTTvvvvvTTTl42)(,222122，即弦内张力应增加 3 倍。10.7.1 火车以速率v 驶过一个在车站上静止的观察者，火车发出的汽笛声频率为f.求观察者听到的声音的频率的变化。设声速是v0. 解：根据多普勒公式，当火车驶进车站时，观察者听到的频率fvVVV001；当火车驶出车站时，观察者听到的频率fvVVV002。10.7.2 两个观察者A 和 B 携带频率均为1000Hz 声源。如果A静止， 而 B 以 10m/s 的速率向A 运动，那么 A 和 B 听到的拍是多少？20m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载设声速为340m/s. V V 解： A 听到的拍频vA=v2 - v1其中： v1 =v=1000Hz, sVVVv 2vA VsB Hz1030100010340340， vA=1030-1000=30Hz. B 听到的拍频vB=v1 - v2 .其中： v2 =1000Hz, vvVVV01HzvHzB2910001029,1029100034010340. 10.7.3 一音叉以vs=2.5m/s 速率接近墙壁， 观察者在音叉后面听到拍音频率v=3Hz,求音叉振动频率。声速340m/s. 解：设音叉振动频率为f.人从音叉直接听到的频率v v fffvsVVV9927.05 .23403401vs人 听 到 的 从 墙 反 射 回 来 的 频 率 （ 即 墙 接 受 到 的 频 率 ）fffvsVVV0074.15. 23403402. vvv12,即3)9927.00074.1 (vfHzf204)9927.00074.1/(3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页