学习必备欢迎下载课程标题函数的基本性质学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。重点与难点（1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。学习过程一、函数的单调性1单调函数的定义（1）增函数： 一般地，设函数( )f x的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值1x、2x, 当1x2x时都有12()()f xf x，那么就说( )f x在这个区间上是增函数。（2）减函数： 如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x、2x, 当1x2x时都有12()()f xf x，那么就说( )f x在这个区间上是减函数。（3）单调性： 如果函数( )yf x在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数( )yf x在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做( )yf x的单调区间。2、单调性的判定方法（1）定义法：判断下列函数的单调区间：21xy（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数， 从左往右，图像下降即为减函数 。（3）复合函数的单调性的判断：设)(xfy，)(xgu，,bax，,nmu都是单调函数， 则( )yf g x在,ba上也是单调函数。若)(xfy是, m n上的增函数，则 ( )yf g x与定义在,ba上的函数)(xgu的单调性相同。若)(xfy是, m n上的减函数， 则 ( )yf g x与定义在,ba上的函数)(xgu的单调性相同。即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正” ）练 习 ： （ 1 ） 函 数24xy的 单 调 递 减 区 间 是， 单 调 递 增 区 间为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载（2）5412xxy的单调递增区间为3、函数单调性应注意的问题：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域( 如一次函数 ) ，可以是定义域内某个区间( 如二次函数 ) ，也可以根本不单调( 如常函数 ) 函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数4例题分析证明：函数1( )f xx在(0,)上是减函数。证明：设任意1x，2x（ 0，+）且12xx，则2112121211()()xxf xfxxxx x，由1x，2x（ 0，+） ，得120x x，又12xx，得210xx，12()()0f xf x，即12()()f xfx所以，1( )f xx在(0,)上是减函数。说明： 一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：xy1不能说)0 ,(),0(是原函数的单调递减区间；练习： 1 根据单调函数的定义，判断函数3( )1f xx的单调性。2根据单调函数的定义，判断函数( )fxx的单调性。二、函数的奇偶性1奇偶性的定义：（1）偶函数： 一般地，如果对于函数( )f x的定义域内任意一个x，都有()( )fxf x，那么函数( )f x就叫做偶函数。例如：函数2( )1f xx,4( )2f xx等都是偶函数。（2）奇函数： 一般地，如果对于函数( )f x的定义域内任意一个x，都有()( )fxf x，那么函数( )f x就叫做奇函数。例如：函数xxf)(，xxf1)(都是奇函数。（3）奇偶性： 如果函数( )f x是奇函数或偶函数，那么我们就说函数( )f x具有奇偶性。说明： 从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）()( )fxf x或()( )fxf x必有一成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载因此， 判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()fx， 看是等于( )f x还是等于( )f x， 然后下结论； 若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。（ 4）函数0)(xf既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足)()(xfxf也满足)()(xfxf。（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y轴对称， 反过来，如果一个函数的图形关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。（6）奇函数若在0x时有定义，则(0)0f2、函数的奇偶性判定方法（1）定义法（2）图像法（3）性质罚3例题分析：判断下列函数的奇偶性：（1）2( )|f xxx（）（2）21( )2 |2|xf xx（）说 明：在 判 断()fx与( )f x的 关 系 时 ， 可 以 从()fx开 始 化 简 ； 也 可 以 去 考 虑()()fxfx或( )()f xfx；当( )f x不等于 0 时也可以考虑()( )fxf x与 1 或1的关系。五小结： 1函数奇偶性的定义；2判断函数奇偶性的方法；3特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。二、函数的最大值或最小值学习评价 自我评价你完成本节学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载经典例题1下面说法正确的选项（）A函数的单调区间可以是函数的定义域B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2在区间)0 ,(上为增函数的是（）A1yB21xxyC122xxyD21xy3函数cbxxy2)1 ,(x是单调函数时，b的取值范围（）A2bB2bC 2bD2b4如果偶函数在,ba具有最大值，那么该函数在,ab有（）A最大值B最小值C 没有最大值D 没有最小值课后作业1在区间 (0， )上不是增函数的函数是（）Ay=2x1 By=3x21 Cy=x2Dy=2x2x1 2函数 y=(x1)-2的减区间是 _ _3偶函数( )f x在 0,上单调递增，则(2),( 3),()2fff从小到大排列的顺序是；4已知( )f x是 R 上的偶函数，当0x时，2( )2f xxx，求( )f x的解析式。5 （ 12 分）判断下列函数的奇偶性xxy13；xxy2112；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页