学习必备欢迎下载第二章基本初等函数（）2.1.1 指数一教学目标：1知识与技能： （1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二重点、难点1教学重点： （1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2教学难点：分数指数幂及根式概念的理解三学法 ：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法四、教学过程：第一课时一、复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2xa，则x叫做a 的平方根 .同理，若3xa，则x叫做 a 的立方根 .根据平方根、 立方根的定义， 正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如 4 的平方根为2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如8 的立方根为 2；零的平方根、立方根均为零.二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念 .n 次方根：一般地，若nxa，则 x 叫做 a 的 n 次方根（ throot） ，其中 n 1，且 n,当 n 为偶数时， a 的 n次方根中， 正数用na表示，如果是负数， 用na表示，na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 33 页学习必备欢迎下载叫做根式 .n 为奇数时， a 的 n 次方根用符号na表示，其中n 称为根指数， a 为被开方数 .类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？nnnanaanana为奇数 , 的 次方根有一个, 为为正数 :为偶数 , 的 次方根有两个, 为nnanaanan为奇数 , 的 次方根只有一个, 为为负数 :为偶数 , 的 次方根不存在.零的 n 次方根为零，记为00n举例： 16 的次方根为2，527527的 次方根为等等，而27的 4 次方根不存在 .小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.根据 n 次方根的意义，可得：()nnaa()nnaa肯定成立，nna表示 an的 n 次方根，等式nnaa一定成立吗？如果不一定成立，那么nna等于什么？让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n 为奇数，nnaan 为偶数 , ,0|,0nnaaaaa a如34334( 3)273, ( 8)| 8|8小结：当n 为偶数时，nna化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：例题：求下列各式的值（1）33(1)( 8)2(2)( 10)44( 3)( 3)2( 4 )()ab分析：当n 为偶数时，应先写|nnaa，然后再去绝对值.思考：()nnnnaa是否成立，举例说明.课堂练习： 1. 求出下列各式的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 33 页学习必备欢迎下载473473(1) ( 2)(2)(33) (1)(3)(33)aaa2若2211,aaaa求 的取值范围.3计算343334( 8)(32)(23)三归纳小结：1根式的概念：若n 1且*nN，则n,xaxan是 的 次方根 ,n 为奇数时 , =n为偶数时，nxa；2掌握两个公式：(0),|(0)nnnaananaaa an为奇数时 ,()为偶数时 ,3作业： P59习题 2.1 A 组第 1 题第二课时提问：1初中时的整数指数幂，运算性质？00,1(0),0naa a aa aa无意义1(0)nnaaa;()mnm nmnmnaaaaa(),()nmmnnnnaaaba b什么叫实数？有理数，无理数统称实数.2观察以下式子，并总结出规律：a0 105102 5255()aaaa884242()aaaa1212343444()aaaa5105102525()aaaa小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式， （分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：2323(0)aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 33 页学习必备欢迎下载12(0)bbb5544(0)ccc即：*(0,1)mnmnaaanNn为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：*(0,)mnmnaaam nN正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：*1(0,)mnmnaam nNa规定： 0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂无意义.说明： 规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)nmmmmaaaaa由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0, ,)rsrsaaaar sQ（2）()(0, ,)rSrsaaar sQ（3）()(0,0,)rrra ba b QbrQ若a0，P 是一个无理数，则P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本 P62P62.即：2的不足近似值， 从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2.所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，25的近似值从小于25的方向逼近25.当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，25的近似值从大于25的方向逼近25，(如课本图所示) 所以，25是一个确定的实数.一般来说，无理数指数幂(0,)paap是一个无理数是一个确定的实数，有理数指精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 33 页学习必备欢迎下载数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考：32的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,)rsrsaaaarR sR()(0,)rsrsaaarR sR()(0,)rrra ba barR3例题（1） （P51，例 2）求值解：2223323338(2 )2241112 ()21222125(5 )5555151 ( 5)1()(2)2322334 ()344162227()()()81338（2） （P52，例 3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a0）解：117333222.aaaaaa22823222333aaaaaa31442133332()aaa aaaa分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.课堂练习： P54练习第 1， 2，3，4 题小结：1分数指数是根式的另一种写法.2无理数指数幂表示一个确定的实数.3掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.作业： P59习题2.1 第 2 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 33 页学习必备欢迎下载第三课时一教学目标1知识与技能：（1）掌握根式与分数指数幂互化；（2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值 .2过程与方法：通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.3情感、态度、价值观（1）培养学生观察、分析问题的能力；（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力 .二重点、难点：1重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.2难点：有理指数幂性质的灵活应用.三学法 ：讲授法、讨论法. 四教学过程：1复习分数指数幂的概念与其性质2例题讲解例 1 （P52，例 4）计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)( 6)( 3)a ba ba b（2）31884()m n（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除， 最后算加减， 有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序 .我们看到（ 1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？其实，第（ 1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.第（ 2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.解： （1）原式 =2111153262362( 6)( 3)ab=04ab=4a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 33 页学习必备欢迎下载（2）原式 =318884() ()mn=23m n例 2 （P52例 5）计算下列各式（1）34( 25125)25（2）232(.aaaa0）分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.解： （1）原式 = 111324(25125 )25= 231322(55 )5= 2131322255= 1655= 655（2）原式 =12522652362132aaaaaa小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.课堂练习：化简：（1）52932232( 9)( 10 )100（2）32 232 2（3）aaaa归纳小结：1 熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.2含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.作业： P59习题 2.1 A 组第 4 题B 组第 2 题2.1.2指数函数及其性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 33 页学习必备欢迎下载一. 教学目标：1知识与技能通过实际问题了解指数函数的实际背景；理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2情感、态度、价值观让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题，分析问题的能力.3过程与方法展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.二重、难点重点：指数函数的概念和性质及其应用.难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.三、学法： 观察法、讲授法及讨论法. 第一课时一教学过程：1. 情境设置在本章的开头， 问题 （1） 中时间x与 GDP 值中的1.073 (20)xyxx与问题 (2)t51301中时间t 和C-14含量P的对应关系 P=()2，请问这两个函数有什么共同特征.这两个函数有什么共同特征157301()2tPt57301把P=()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用xya（a0 且a1 来表示） .二讲授新课指数函数的定义一般地，函数xya（a 0 且a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为 R.提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22xy（2）( 2)xy（3）2xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 33 页学习必备欢迎下载（4）xy（5）2yx（6）24yx（7）xyx（8）(1)xya（a1，且2a）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a0，x是任意一个实数时，xa是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.000,0xxaaxax当时,等于若当时,无意义若a0，如1( 2) ,8xyxx1先时, 对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在.若a=1, 11,xy是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)xya aa且的形式 才 能 称 为 指 数 函 数 ，5,3,31xxxayxyy1xx为 常 数 , 象 y =2 - 3 , y = 2等 等 ,不 符 合(01)xyaaa且.的形式，所以不是指数函数。我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究a1 的情况画出函数2xy的图象x3.002.502.001.501.000.000.501.001.502.002xy1814121 2 4 再研究， 0a1 的情况，画出函数1()2xy的图象 .- - - - - - - - - - - - - - x y 0 y=2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 33 页学习必备欢迎下载x2.502.001.501.00 0.00 1.00 1.502.00 2.501()2xy14121 2 4 从图中我们看出12()2xxyy与的图象有什么关系?通 过 图 象 看 出12()2xxyyy与的图象关于轴对称 ,实 质 是2xy上 的x , y点( -)xyx,yy1与 =() 上点 (-) 关于 轴对称 .2讨论：12()2xxyy与的图象关于y轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？画出115 ,3 ,( ) ,( )35xxxxyyyy的函数8642-2-4-6-8-55108642-2-4-6-8-10-5510问题： 1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看xya（a1）与xya（ 0a1）两函数图象的特征.问题 2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性 .3xy5xy13xy15xy0 (1)xyaa(01)xyaa0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 33 页学习必备欢迎下载问题 3：指数函数xya（a 0 且a1） ，当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.图象特征函数性质a1 0a1 a1 0a1 向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+ 函数图象都过定点（0，1）0a=1 自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 x0，xa1 x0，xa 1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 x0，xa1 x0，xa 1 5利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在 , xa bf xa上, ( )=（a0 且a 1）值域是( ),( )( ),( );f af bf bf a或（2）若0,xf xf xx则 ( )1;( ) 取遍所有正数当且仅当R;（3）对于指数函数( )xf xa（a0 且a1） ，总有(1);fa（4）当a1 时，若1x2x，则1()f x2()fx；例题：例 1： （P56例 6）已知指数函数( )xf xa（a0 且a1）的图象过点（3，） ，求(0),(1),( 3)fff的值.分析：要求(0),(1),( 3),xfffax13的值, 只需求出得出f()=()再把 0，1，3分别代入x，即可求得(0),(1),( 3)fff.提问：要求出指数函数，需要几个条件？课堂练习： P58练习：第1，2，3 题补充练习： 1、函数1( )( )2xf x的定义域和值域分别是多少?2、当 1,1,( )32xxfx时 函数的值域是多少?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 33 页学习必备欢迎下载解（ 1）,0xR y（ 2） （53，）例 2：求下列函数的定义域：（1）442xy（ 2）| |2( )3xy分析：因为(1,0)xyaaa的定义域是R，所以，要使（1） ， （2）题的定义域，只要使其指数部分有意义就得.3归纳小结作业： P59习题 2.1 A 组第 5、6 题1、理解指数函数(0),101xyaaaa注意与两种情况。2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想.第二课时教学过程：1、复习指数函数的图象和性质2、例题例 1： （P57例 7）比较下列各题中的个值的大小（1） 1.72.5 与1.73 ( 2 )0.10.8与0.20.8( 3 ) 1.70.3 与0.93.1 解法 1：用数形结合的方法，如第（1）小题，画出1.7xy的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5, 3 的点，显然，图象上横坐标就为3 的点在横坐标为2.5 的点的上方，所以2 . 531. 71. 7.8642-2-4-6-8-10-55101.7xy0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 33 页学习必备欢迎下载解法 2：用计算器直接计算：2.51.73.7731. 74. 9 1所以，2.531.71.7解法 3：由函数的单调性考虑因为指数函数1.7xy在 R 上是增函数，且2.5 3，所以，2.531.71.7仿照以上方法可以解决第（2）小题.注：在第（ 3）小题中，可以用解法1，解法 2 解决，但解法3 不适合.由于 1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1 比较大小，进而比较1.70.3与 0.93.1的大小.思考：1、已知0.70.90.80.8,0.8,1.2,abc按大小顺序排列,a b c.2. 比较1132aa与的大小（a0 且a 0）.3课堂练习（1）下图是指数函数xyaxybxycxyd的图象，判断, , ,a b c d与 1 的大小关系；（2）设31212,xxyaya其中a0，a1，确定x为何值时，有：12yy1y2y（3）用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式，若要使存留的污垢，不超过原有的1%，则少要漂洗几次.归纳小结：本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住a 1 或 0a时xya的图象，在此基础上研究其性质.本节课还涉及到指数型函数的应用，形如xyka（a0 且a1）.作业： P59A 组第7 ，8 题P60 B 组第 1，4 题对数一教学目标：1知识技能：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 33 页学习必备欢迎下载掌握对数式与指数式的关系.2. 过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.3情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质.（3）在学习过程中培养学生探究的意识.（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.二重点与难点：（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：推导对数性质三学法 ：讲授法、讨论法、类比分析与发现四教学过程：1提出问题思考： （P62思考题）13 1.01xy中， 哪一年的人口数要达到10 亿、 20 亿、 30 亿，该如何解决？即：1820301.01 ,1.01 ,1.01 ,131313xxx在个式子中，x分别等于多少？象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念） .1、对数的概念一般地，若(0,1)xaN aa且，那么数x叫做以a 为底N 的对数，记作logaxNa叫做对数的底数，N 叫做真数 .举例：如：24416,2log 16则，读作 2 是以 4 为底， 16 的对数 .1242，则41log 22，读作12是以 4 为底 2 的对数 .提问：你们还能找到那些对数的例子2、对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制a 0，且a1 （2）logxaaNNx指数式对数式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 33 页学习必备欢迎下载幂底数a对数底数指数x对数幂N真数说明：对数式logaN可看作一记号，表示底为a（a0，且a1） ，幂为 N 的指数表示方程xaN（a0，且a1）的解 . 也可以看作一种运算，即已知底为a（a0，且a1）幂为 N，求幂指数的运算. 因此，对数式logaN又可看幂运算的逆运算.例题：例 1（P63例 1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1） 54=645 （2）61264（3）1( )5.733m（4）12log 164（5）10log0.012（6）log 102.303e注： （5） 、 （6）写法不规范，等到讲到常用对数和自然对数后，再向学生说明.（让学生自己完成，教师巡视指导）巩固练习： P64练习1、2 3对数的性质：提问：因为a0，a1 时，logxNaaNx则由a0=1 、a1=a如何转化为对数式负数和零有没有对数？根据对数的定义，logaNa=？（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）由以上的问题得到011,aaa（a0，且a1）a0，且a 1 对任意的力，10logN常记为lg N.恒等式：logaNa=N 4、两类对数以 10 为底的对数称为常用对数，10logN常记为lg N.以无理数 e=2.71828为底的对数称为自然对数，logeN常记为ln N.以后解题时， 在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如 100 的对数等于2，即lg1002.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 33 页学习必备欢迎下载说明：在例1 中，10log0.010.01,log10ln10e应改为 lg应改为.例 2：求下列各式中x 的值（1）642log3x（2）log 86x（3）lg100x（4）2ln ex分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解： （1）2223 ()323331(64)(4 )4416x（2）111166366628,()(8)(2 )22xx所以（3）21010010 ,2xx于是（4）222ln,ln,exxee-x由得即e所以2x课堂练习： P64练习 3、4 补充练习： 1. 将下列指数式与对数式互化，有x的求出x的值.（1）12155（2）42logx（3）1327x（4）1( )644x（5）lg0.0001x（6）5ln ex2求logloglog,abcbcNa+的值 (a,b,cR且不等于1， N 0）.3计算331loglog5533的值 .4归纳小结：对数的定义log(bNaaNba0 且a1）1 的对数是零，负数和零没有对数对数的性质l o g1aaa0 且a1 logaNaN作业： P74习题2.2 A 组1、2 P75B 组1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 33 页学习必备欢迎下载对数（2）一教学目标：1知识与技能通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力.2. 过程与方法让学生经历并推理出对数的运算性质.让学生归纳整理本节所学的知识.3. 情感、态度、和价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.二教学重点、难点重点：对数运算的性质与对数知识的应用难点：正确使用对数的运算性质三学法 ：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.四教学过程1设置情境复习：对数的定义及对数恒等式logbaNbaN（a0，且a1，N 0） ，指数的运算性质.;mnm nmnm naaaaaa();mnmnmnnmaaaa2讲授新课探究： 在上课中， 我们知道， 对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道mnm naaa，那mn如何表示，能用对数式运算吗？如：,mnm nmnaaaMaNa设。于是,mnMNa由对数的定义得到log,logmnaaMamMNanNlogm naMNamnMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 33 页学习必备欢迎下载即：同底对数相加，底数不变，真数相乘提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？（让学生探究，讨论）如果a0 且a 1，M0，N0，那么：（1）logloglogaaaMNMN（2）logloglogaaaMMNN（3）loglog()naaMnMnR证明：（1）令,mnMaNa则：mnm nMaaaNl o gaMmnN又由,mnMaNalog,logaamMnN即：logloglogaaaMMNmnN（3）0,log,NnnanNMMa时 令则l o g,bnabnMMa则NbnnaaNb即logloglogaaaMMNN当n=0 时，显然成立 .l o gl o gnaaMnM提问： 1. 在上面的式子中，为什么要规定a0，且a1，M0， N0？2 你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？例题： 1. 判断下列式子是否正确，a0 且a1，x0 且a1，x0，xy，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 33 页学习必备欢迎下载则有（1）logloglog ()aaaxyxy（2）logloglog ()aaaxyxy（3）logloglogaaaxxyy（4）logloglogaaaxyxy（5）(log)lognaaxnx（ 6）1loglogaaxx（7）1loglognaaxxn例 2：用logax，logay，logaz表示出（ 1） （2）小题，并求出（3） 、 （4）小题的值.（1）logaxyz（2）23log8axy（3）75log (42 )z（4）5lg100分析：利用对数运算性质直接计算：（1）loglogloglogloglogaaaaaaxyxyzxyzz（2）222333loglogloglogloglogaaaaaaxyxyzxyzz=112logloglog23aaaxyz（3）7575222log (42 )log 4log 214519（4）2552lg100lg105点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式.让学生完成P68练习的第1，2，3 题提出问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a0，且a1，c0，且e1，b0 logloglogcacbba先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后给出证明过程.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 33 页学习必备欢迎下载设log,log,MNccMa Nbacbc则且11,()NNMMMacaabN所以 c即：loglog,logcacbNNbMMa又因为所以：logloglogcacbba小结： 以上这个式子换底公式，换的底 C 只要满足C0 且 C1 就行了， 除此之外，对 C 再也没有什么特定的要求.提问：你能用自己的话概括出换底公式吗？说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数. 因此，要使用计算器对数，一定要先用换底公式转化为常用对数. 如：2lg 3log 3lg 2即计算32log的值的按键顺序为： “log”“3”“” “log”“”“=”再如：在前面要求我国人口达到18 亿的年份，就是要计算1.0118log13x所以1.0118lg18lg18lg131.25531.13913log13lg1.01lg1.010.043x=32.883733()年练习： P68练习 4 让学生自己阅读思考P66P67的例 5，例的题目，教师点拨.3、归纳小结（1）学习归纳本节（2）你认为学习对数有什么意义？大家议论.4、作业（1）书面作业：74习题 .第 3、4 题P75第 11、12 题2、思考：（1）证明和应用对数运算性质时，应注意哪些问题？（2）222log ( 3)( 5)log ( 3)log ( 5)等于吗?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 33 页学习必备欢迎下载2.2.2 对数函数及其性质一教学目标1知识技能对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.2过程与方法让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.3情感、态度与价值观培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；培养学生严谨的科学态度. 二教学重点、难点1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.2、难点：底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用.三教学过程1设置情境在 221 的例 6 中，考古学家利用157302logP估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C14含量 P，通过关系式，都有唯一确定的年代t与之对应同理，对于每一个对数式logxay中的x，任取一个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以logxayx关于的函数2探索新知一般地，我们把函数logayx（a0 且a1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+） 提问： （ 1） 在函数的定义中，为什么要限定a0 且a1（2） 为什么对数函数logayx（a0 且a1）的定义域是（0，+） 组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 33 页学习必备欢迎下载答：根据对数与指数式的关系，知logayx可化为yax，由指数的概念，要使yax有意义，必须规定a 0 且a1因为logayx可化为yxa，不管y取什么值，由指数函数的性质，ya0，所以(0,)x例题 1：求下列函数的定义域（1）2logayx（2）log (4)ayx（a0 且a1）分析：由对数函数的定义知：2x0；4x0，解出不等式就可求出定义域解： （1）因为2x0，即x0，所以函数2logxay的定义域为|0x x.（2）因为4x0，即x4，所以函数(4)logxay的定义域为|x x4.下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：先完成P70表2 3，并根据此表用描点法画出函数2logxy的图象,再画出0.5log.xy的图象x121 2 4 6 8 12 16 y 1 0 1 2 2.58 3 3.58 4 y 0.5logyxx 2logyx注 意 到 ：122loglogyxx， 若 点2(,)l o gxyyx在的 图 象 上 ， 则 点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 33 页学习必备欢迎下载12( ,)logxyyx在的图象上 . 由于 （, xy） 与 （, xy） 关于x轴对称，因此，12logyx的图象与2logyx的图象关于x轴对称. 所以，由此我们可以画出12logyx的图象.先由学生自己画出12logyx的图象，再由教师画出2logyx与12logyx的图象 .探究：选取底数(a a0，且a1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？.作法：再画出4logyx，3logyx，13logyx和14logyx42-2-4-55提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质.图象的特征函数的性质（1）图象都在y轴的右边（1）定义域是（ 0， +）（2）函数图象都经过（1，0）点（2）1 的对数是 0 （3）从左往右看，当a1 时，图象逐渐上升，当0a1 时，图象逐渐下降.（3）当a1 时，logxay是增函数，当0a1 时，logayx是减函数 .（4）当a 1 时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（ 1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当 0a1 时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（ 1，0）点左边的纵坐标都（4）当a1 时x1，则logax0 0x1，logax0 当 0a1 时4logyx3logyx14logyx13logyx0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 33 页学习必备欢迎下载大于 0 .x1，则logax0 0x1，logax0 由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导） ：a1 0a1 图象性质（1）定义域（ 0，+） ；（2）值域 R；（3）过点（ 1，0） ，即当x=1，y=0；（4）在（ 0，+）上是增函数在（ 0，+）是上减函数例题训练：1. 比较下列各组数中的两个值大小（1）22log 3.4 ,log 8.5（2）0.30.3log1.8 ,log2.7（3）log 5.1,log 5.9aa（a0，且a1）分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：（1）解法 1：画出对数函数2logyx的图象 .在图象上，横坐标为3、4 的点在横坐标为 8.5 的点的下方：所以，22log 3.4log 8.5解法 2： 由函数2logyxR在+上是单调增函数， 且 3.48.5， 所以22log 3.4log 8.5.解法 3：直接用计算器计算得：2log 3.41.8，2log 8.53.1（2）第（ 2）小题类似（3）注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法 1：当a1 时，logayx在（ 0，）上是增函数，且5.15.9.所以，log 5.1alog 5.9a当a1 时，logayx在（ 0，）上是减函数，且5.15.9.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 33 页学习必备欢迎下载所以，log 5.1alog 5.9a解法 2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，令11log 5.1,5.1,baba则令22log 5.9,5.9,baba则则25.9ba则当a1 时，xya在 R 上是增函数，且5.15.9 所以，1b2b，即log 5.1alog 5.9a当 0a1 时，xya在 R 上是减函数，且5.15.9 所以，1b2b，即log 5.1alog 5.9a说明：先画图象，由数形结合方法解答课堂练习：73练习第，题补充练习1已知函数(2 )xyf的定义域为 -1，1，则函数2(log)yfx的定义域为2求函数22log(1)yx x的值域 .3已知log7mlog 7n0，按大小顺序排列m, n, 0, 1 4已知 0a1, b1, ab1.比较1log,log,logaabbb1的大小b归纳小结：对数函数的概念必要性与重要性; 对数函数的性质，列表展现对数函数（第三课时）一教学目标：1知识与技能（1）知识与技能（2）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.2过程与方法学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数的单调性差异.3. 情感、态度、价值观（1）体会指数函数与指数; （2）进一步领悟数形结合的思想.二重点、难点：重点：指数函数与对数函数内在联系难点：反函数概念的理解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 33 页学习必备欢迎下载三教学过程：1复习（1）函数的概念（2）用列表描点法在同一个直角坐标点中画出22logxyyx与的函数图象 . 2讲授新知2xyx3 2 1 0 1 2 3 y1814121 2 4 8 2logyxx3 2 1 0 1 2 3 y1818121 2 4 8 图象如下探究： 在指数函数2xy中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当2logyx2xyx y 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 33 页学习必备欢迎下载成因变量， 那么x是y的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由 .引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论.在指数函数2xy中，x是自变量，y是x的函数（,xR yR） ，而且其在R上是单调递增函数. 过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线， 与2xy的图象有且只有一个交点.由指数式与对数式关系，22logxyxy得，即对于每一个y，在关系式2logxy的作用之下，都有唯一的确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，我们说2log2 ()xxyyxR是的反函数.从我们的列表中知道，22logxyxy与是同一个函数图象.3引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野）当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数.由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数.如3log3xxyy是的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调3logxy中 的3,l o gxyyx写成， 这 样3log(0,)yxx是 指 数 函 数3 ()xyxR的反函数 .以后，我们所说的反函数是,x y对调后的函数，如2 ()xyxR的反函数是2log(0,)yxx.同理，(1xyaa且a1）的反函数是log(ayx a0 且1)a.课堂练习：求下列函数的反函数（1）5xy（2）0.5logyx归纳小结：1. 今天我们主要学习了什么？2你怎样理解反函数？课后思考：（供学有余力的学生练习）我们知道(xyaa01)a且与对数函数(ayx a=log0 且1)a互为反函数， 探索下列问题 .1在同一平面直角坐标系中，画出2logxyyx=2 与的图象，你能发现这两个函数有什么样的对称性吗？2取2xy图象上的几个点，写出它们关于直线yx的对称点坐标，并判断它们精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 33 页学习必备欢迎下载是否在2logyx的图象上吗？为什么？3由上述探究你能得出什么结论，此结论对于log(xayayxa与01)a且成立吗？幂函数一教学目标：1知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质三学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质; 四、教学过程：引入新知阅读教材P77的具体实例（ 1）（5） ，思考下列问题.（1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论答：1、 （1）乘以 1 （2）求平方（3）求立方（4）求算术平方根（5）求 1 次方2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：yx，其中x是自变量，是常数 .探究新知1幂函数的定义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 33 页学习必备欢迎下载一般地，形如yx（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数 .如11234,yxyxyx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2研究函数的图像（1）yx（2）12yx（3）2yx（ 4）1yx（5）3yx一提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像. 42-2-4-6-8-1 0-551015让学生通过观察图像，分组讨论， 探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.通过观察图像，填P91探究中的表格yx2yx3yx12yx1yx定义域R R R |0x x|0x x奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在 第 象限 单 调 增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减定点（1，1）（1， 1）（1， 1）（1， 1）（1，1）3幂函数性质yx12yx2yxy=x3y=x-10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 33 页学习必备欢迎下载（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义， 并且图象都过点 （1，1） （原因：11x） ；（2）x0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在0，+上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x1，x 1 时，x（ 0，1） ，2yx的图象都在yx图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当 1 时，x（ 0，1） ，2yx的图象都在yx的图象上方，形状向上凸，越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3） 0 时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数.在第一家限内， 当x向原点靠近时， 图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴， 当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴 .例题：1证明幂函数( )0,f xx在上是增函数证：任取121,0,),x xx且2x则1212()()fxfxxx=121212()()xxxxxx=1212xxxx因12xx 0，12xx0，所以12()()f xf x，即( )0,f xx在上是增函数 .思考：我们知道，若12()( )0,1()f xyf xfx若得12()()f xf x，你能否用这种作比的方法来证明( )0,f xx在上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？2利用函数的性质，判断下列两个值的大小（1）11662 ,3（2）3322(1) ,(0)xxx（3）22244(4), 4a分析：利用幂函数的单调性来比较大小.5课堂练习画出23yx的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.6归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 33 页学习必备欢迎下载作业： P79习题2.3 第 2、3 题小结与复习一.教学目标1.知识与技能（1）理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系. （2）能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题. 2.过程与方法：通过提问,分析点评 ,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质. 3.情感、态度、价值观（1）提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. （2）培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力. 二.重点、难点重点：指数函数与对数函数的性质。难点：灵活运用函数性质解决有关问题。三、学法：讲授法、讨论法。四、教学过程1、回顾本章的知识结构整数指数幂有理数指数幂无理数指数幂定义图象与性质指数对数定义定义图象与性质对数函数指数函数运算性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 33 页学习必备欢迎下载2、指数与对数指数式与对数式的互化ba NlogaN b 提问：在对数式中，a，N，b 的取值范围是什么？例 1：已知54log27a， 54b3，用108,log81a b表示的值解法 1：由54b3 得54log3b 108log815454log81log10854545454log27log3log212log272ababa解法 2：由54log275427a 得设108log81,10881xx则所以21(5427 )327x即：2(5454)5454axba所以25454,2x axa bxaxab即因此得：2abxa（1）法 1 是通过指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算结果. 法 2 是通过对数化成指数，再由指数的运算性质计算出结果，但法2 运算的技巧性较大。2指数函数与对数函数问题 1：函数logxxayay与中,a 与x分别必须满足什么条件. 问题 2：在同一直角坐标系中画出函数logxxaya 与的图象，并说明两者之间的关系. 问题 3：根据图象说出指数函数与对数函数的性质. 例 2： 已知函数( )y x的图象沿x轴方向向左平移1 个单位后与( )3xf x的图象关于直线yx对称，且(19)2ga，则函数3 (01)axyx的值域为. 分析：函数3xy关于直线yx对称的函数为3log (1)yx33(19)log 182log 2g精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 33 页学习必备欢迎下载3log 23log 2,3(3)2axxayx(0,1,(1,2xy则小结：底数相同的指数函数与对数函数关于yx对称，它们之间还有一个关系式子：log(1,0,0)aNaN aaN例 3：已知1( )log(01)1axf xaax且（1）求( )fx的定义域（2）求使( )0fx的x的取值范围分析：（1）要求1( )log1axf xx的定义域，则应有10101010101xxxxxx或（ 2 ） 注 意 考 虑 不 等 号 右 边 的0化 为l o g1a， 则 （ 2 ） 小 题 变 为1loglog 1,1aaxx再分a1和0a1两种情况分别求出1110111xxxx和. 建议：通过提问由学生作答课堂小结：1指数与对数实质上只是同一数量关系的两种不同的形式，它们之间可以互化，这种等价互化也是指数运算和对数运算的常用方法. 2底数相同的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于yx对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的，通过函数图象， 利用数形结合， 记作指数函数与对数函数的性质 . 作业： P82A 组3 7 P83B 组3 4 精选学习资料 - 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