名师总结优秀知识点等差数列知识点1. 等差数列的定义：daann1（d为常数）（2n） ；2等差数列通项公式：*11(1)()naanddnad nN，首项 :1a，公差 :d ，末项 :na推广：dmnaamn)(从而mnaadmn；3等差中项（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项即：2baA或baA2（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa4等差数列的前n 项和公式：1()2nnn aaS1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn（其中 A、B是常数，所以当d0时， Sn是关于 n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n时，1na是项数为2n+1 的等差数列的中间项12121121212nnnnaaSna（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5等差数列的判定方法（1） 定义法： 若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn, （其中 A 、B是常数）。6等差数列的证明方法定义法：若daann1或daann 1( 常数Nn)na是等差数列7. 提醒 ：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5 个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知 3 求 2。（2）设项技巧：一般可设通项1(1)naand奇数个数成等差，可设为，2 , ,2ad ad a ad ad（公差为d） ；偶数个数成等差，可设为，3 ,3ad ad ad ad, （ 注意；公差为2d）8. 等差数列的性质：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页名师总结优秀知识点（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为 0. （2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当mnpq时, 则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa. 注：12132nnnaaaaaa，（4）若na、nb为等差数列，则12nnnabab，都为等差数列(5) 若na是等差数列，则232,nnnnnS SSSS，也成等差数列（6）数列na为等差数列 ,每隔 k(k*N)项取出一项 (23,mm kmkmkaaaa)仍为等差数列（7）设数列na是等差数列， d 为公差，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前 n 项的和1. 当项数为偶数n2时，121135212nnnn aaSaaaana奇22246212nnnn aaSaaaana偶11nnnnSSnanan aa偶奇11nnnnSnaaSnaa奇偶2、当项数为奇数12n时，则21(21)(1)1nSSSnaSnaSnSSaSnaSnn+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中an+1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项） （8） 、nb的前n和分别为nA、nB，且( )nnAf nB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页名师总结优秀知识点（9） 等差数列na的前 n 项和mSn， 前 m 项和nSm， 则前 m+n 项和m nSmn(10) 求nS的最值法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。法二： （ 1） “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当，001da由001nnaa可得nS达到 最大值 时的n值（2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即 当，001da由001nnaa可得nS达到 最小值 时的n值或求na中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，nS取最大值（或最小值） 。若S p= S q则其对称轴为2pqn注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于1a和d的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量等差数列基础练习题一、填空题1. 等差数列 8，5，2，的第 20 项为_. 2. 在等差数列中已知a1=12, a6=27, 则 d=_ 3. 在等差数列中已知13d，a7=8，则 a1=_ 4.2()ab与2()ab的等差中项是 _- 5. 等差数列 -10 ，-6 ，-2 ，2，前 _项的和是 54 6. 正整数前 n 个数的和是 _ 7. 数列na的前 n 项和23nSnn，则na_. 8. 在等差数列中已知a1=12, a6=27, 则 d=_ 9. 在等差数列中已知13d，a7=8，则 a1=_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页名师总结优秀知识点10.在等差数列 an 中，an=m ，an+m=0 ，则 am= _ 。11 在等差数列 an 中，a4+a7+a10+a13=20 ，则 S16= _ 。12 在等差数列 an 中，a1+a2+a3+a4=68 ，a6+a7+a8+a9+a10=30 ，则从 a15 到 a30 的和是 _ 。13 已知等差数列 110， 116， 122 ，则大于 450而不大于 602的各项之和为 _ 。14 若是方程的解，则_。15 若公差， 且是关于的方程的两个根，则_。二、选择题1 若lg 2,lg(21),lg(23)xx成等差数列，则 x 的值等于（） A.0 B. 2log 5 C. 32 D.0或 32 2、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么 a ：b 等于 （ ）A、 B、 C、或 1 D、3. 在等差数列na中31140aa，则45678910aaaaaaa的值为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页名师总结优秀知识点A.84 B.72 C.60 . D.48 4. 在等差数列na中，前 15 项的和1590S，8a为（）A.6 B.3 C.12 D.4 5. 等差数列na中, 12318192024,78aaaaaa, 则此数列前 20下项的和等于A.160 B.180 C.200 D.220 6. 在等差数列na中, 若34567450aaaaa，则28aa的值等于（）A.45 B.75 C.180 D.300 7. 设nS是数列na的前 n 项的和，且2nSn，则na是（） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列8. 数列 3，7，13，21，31，的通项公式是（） A. 41nan B. 322nannn C. 21nann D.不存在9、设数列 an 和bn 都是等差数列，其中a1=25， b1=75，且a100+b100=100 ，则数列 an+bn 的前 100 项和为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页名师总结优秀知识点A、 0 B、 100 C、10000 D、505000 10. 等差数列na中, 12318192024,78aaaaaa, 则此数列前20下项的和等于A.160 B.180 C.200 D.220 11 一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是 24 与 30, 若此数列的最后一项比第-10 项为 10，则这个数列共有（ ）A、 6 项 B 、8 项 C、10 项 D 、12 项三、计算题1. 求集合|21,*60Mm mnnNm，且中元素的个数，并求这些元素的和2. 设等差数列na的前 n 项和公式是253nSnn，求它的前 3 项，并精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页名师总结优秀知识点求它的通项公式3. 如果等差数列na的前 4 项的和是 2，前 9 项的和是 -6，求其前 n项和的公式。4. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列na的有关未知数：（1）151,5,66nadS求 n 及na； （2）12,15,10,nndnaaS求及精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页